《Ks5u解析》河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

邢台市2017—2018学年高二（上）第三次月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若，则中至少有一个大于”的否命题为（）A.若中至少有一个大于，则B.若，则中至多有一个大于C.若，则中至少有一个大于D.若，则都不大于【答案】D【解析】“中至少有一个大于”表示“中只有一个大于”或“中两个都大于”，故其否定为“没有一个大于”，所以所给命题的否命题为“若，则都不大于”。选D。2.下列方程表示焦点在轴上且短轴长为的椭圆是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由条件得只有选项A中的椭圆满足短轴长为2，且焦点在y轴上。选A。3.如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，,且，则下列判断错误的是（）A.平面B.与平面所成的角为C.D.平面平面【答案】C【解析】选项A中，由于，平面，平面，所以平面。故A正确。选项B中，平面，所以即为与平面所成的角，又，因此，所以B正确。选项C中，由于根据条件无法得到平面，所以是错误的。故C不正确。选项D中，可证得平面，又平面，所以平面平面，因此D正确。综上选C。4.若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的焦距为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】双曲线方程即为，所以，又，可得，所以。选B。5.设有下面四个命题：抛物线的焦点坐标为；，方程表示圆；，直线与圆都相交；过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.那么，下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于：由题意可得，命题为真命题；对于：当时，方程为，表示圆，故命题为真命题；对于：由于直线过定点（3,2），此点在圆外，故直线与圆不一定相交，所以命题为假命题；对于：由题意得点在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线。所以命题为真。综上可得为真命题，选B。6.若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（）A.是椭圆B.是一条直线C.是双曲线的一支D.与的值有关【答案】D【解析】设动圆的半径为r，由两圆外切可得，所以.①当时，动圆的圆心的轨迹是直线。②当时，所以，此时动圆的圆心的轨迹是双曲线的一支。综上可得选D。7.当双曲线的离心率取得最小值时，的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，当且仅当，即时等号成立。此时双曲线的方程为，所以渐近线方程为。选A。8.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。由得，所以，整理得。选A。9.已知为正数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设，则在上单调递减。若，则，即；若，即，则有。综上可得“”是“”的充要条件。选C。10.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据几何体三视图可以看出原组合体的上面一个四棱锥，下面为圆柱的一半(如图所示)，其体积一个四棱锥的体积和一个半圆柱的体积之和：.【点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．本题由正视图和俯视图可以想象出原几何体为组合体，下部分为半个圆柱，由正视图和侧视图可以想象出组合体的上部分为四棱锥，画出几何体的直观图，借助三视图修改直观图并标清数据，利用体积公式求出体积.11.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。由双曲线的定义得，又，所以。在中，由余弦定理得。选C。点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常涉及到正（余）弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式。解题中常用到定义式的平方，再结合余弦定理和三角形的面积公式求解。12.过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设，过A,B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E。∵，∴。由抛物线的定义得，又，解得。∴。选D。点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线与直线垂直，则的倾斜角为__________．【答案】【解析】由题意得直线的斜率为，所以直线线的倾斜角为。答案：14.如图，是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面，且点到平面的距离为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为且点到平面的距离为1，∴球心到平面的距离为1，∵截球所得截面的面积为，∴截面圆的半径为3，故由R∴球的表面积点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理15.若分别是椭圆短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设点坐标为，则。由题意得，解得。所以椭圆的方程为，因此。答案：点睛：求椭圆离心率或其范围的方法（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．16.如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，四边形为矩形，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为__________．【答案】【解析】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则，所以.∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上。以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，D(0,3)，易得，故点C在双曲线的右支上。∵,所以当三点共线时，且C在线段BD上时，取得最小值。将直线的方程与联立消去y整理得，解得。结合图形可得取得最小值时点C的横坐标为，即点C到AH的距离为。答案：点睛：本题的综合性较强，解题时首先要从题意出发分析得到点C的轨迹，然后根据几何图形的性质得到，并由此得到当三点共线时可得最小值，这些地方都体现了解析几何与平面几何联系十分紧密，解题时要充分考虑平面几何知识的运用。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）当时，判断的真假；（2）若为假，求的取值范围.【答案】（1）真（2）【解析】试题分析：由题意可得当为真时，当为真时。（1）当时可得假真，故为真。（2）从为假的对立考虑，可得为真时，从而可得当为假时。试题解析：因为，所以若为真，则，由得，若为真，则，解得。（1）当时，为假命题为真命题，故为真命题；（2）若为真，则，所以，若为假，则或，故实数的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设出点M的坐标，由可得到x,y的关系式，即为的方程。（2）根据直线和圆相交时的弦长的计算方法可以得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得。试题解析：（1）设点的坐标为，则，所以，即，所以的方程为，.（2）由（1）知为圆心是，半径是的圆，设到直线的距离为，则，因为，所以，由点到直线的距离公式得，解得.19.已知椭圆的一个焦点为，设椭圆的焦点为椭圆短轴的顶点，且椭圆过点.（1）求的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：试题解析：（1）由椭圆的一个焦点为，得.设椭圆的方程为，则，①又，②由①②解得，所以椭圆的方程为.（2）由，消去整理得，设，则，所以。20.如图，四边形是正四棱柱的一个截面，此截面与棱交于点，,其中分别为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，若四面体与四棱锥的体积相等，求的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，可得平面，从而，可证得平面，于是可得平面平面。（2）由题意可得四面体的体积.取的中点，连，可得，又有，故平面。过作，交于，则平面，从而由可得，所以。试题解析：（1）证明：在正四棱柱中，底面，底面，所以，又，所以平面，又平面所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)解：在中，,所以，因为，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，所以四面体的体积.取的中点，连，因为，所以，又平面，所以，所以平面,过作，交于，则平面，所以.故.又,所以.21.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，根据离心率为可得，故可得到C的方程。（2）由为线段的中点。设，当时，由“点差法”可得直线的斜率为，从而直线的方程可求得为，过定点；当时，过点。故可得直线过点。试题解析：（1）由题意知，又椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）因为直线的方程为，设，①当时，设，显然，由可得，即,又，所以为线段的中点，故直线的斜率为，又，所以直线的方程为即，显然恒过定点，②当时，过点，综上可得直线过定点.点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．22.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.（1）若的坐标为，求的值；（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为可得，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线的方程为，由求得，由切点在抛物线上可得到，即为所求。（2）由（1）得到以线段为直径的圆为圆。由题意只需考虑斜率为正数的直线即可，根据几何知识得，故的方程为，由弦长公式可得，又，所以，最后根据可得。试题解析：（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，则抛物线的方程为.设切线的方程为，代入得，由得，当时，点的横坐标为，则，当时，同理可得.综上得。（2）由（1）知，，所以以线段为直径的圆为圆，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，因为为直线与圆的