海南大材料力学课件第9章 压杆稳定

海南大学机电工程学院机械工程系第九章压杆稳定

第九章压杆稳定

§9-1

压杆稳定的概念

§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力§9-2

两端铰支细长压杆的临界压力§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式§9-5

压杆的稳定校核§9-6

提高压杆稳定性的措施一、工程实例

§9–1

压杆稳定的概念二、失稳平衡案例事故原因：压杆稳定性不足1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.1.平衡的稳定性三、稳定的基本概念稳定性：平衡物体在其平衡状态下抵抗干扰的能力。失稳：不稳定的平衡物体在任何微小的外界干扰下的变化或平衡过程。判断方法：在平衡位置给物体任何一微小扰动，扰动小时候观察物体是否自动回复原平衡位置。稳定平衡随遇平衡不稳定平衡稳定平衡随遇平衡不稳定平衡F＜FcrF=FcrF＞Fcr临界压力：Fcr受压直杆平衡的三种形式平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值s<ss变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆四、稳定问题与强度问题的区别压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？mmFmxmwBxylM(x)=-FwFxyB

§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.令n=1,得当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.mxmwBxylF1.细长压杆的形式两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力2.其它支座条件下的欧拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1

=0.7

=0.5

=2欧拉公式的统一形式（

为压杆的长度因数）5.讨论

为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度

l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度

l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.

若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I

若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，弹性模量E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.分析思路：解：x8801000yzy所以连杆的临界压力为134.6kN.xOy面：约束情况为两端铰支m=1，I=Iz，l=1mxOz面：约束情况为两端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880

压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算.欧拉公式临界应力

按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式一、临界i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.

称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳.令令则则

若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度

，并按较大者计算压杆的临界应力

cr。

只有在

cr≤

p的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力

cr）.或令二、欧拉公式的应用范围

即l

≥

1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.

当

＜

1但大于某一数值

2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.

1的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，

p=200MPa，得式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出.

2是对应直线公式的最低线.直线公式

的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.

或令三.常用的经验公式1.压杆的分类（1）大柔度杆（细长压杆）（2）中柔度杆（中长压杆）（3）小柔度杆（短粗压杆）四、压杆的分类及临界应力总图（1）大柔度杆（细长压杆）l1l2——直线型经验公式——细长压杆（2）中柔度杆（中长压杆）l1l2（3）小柔度杆（短粗压杆）l1l21.计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2.对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，其截面面积和惯性矩按未削弱的尺寸计算。但进行强度计算时需按削弱后的尺寸计算。五、注意问题例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A杆先失稳.杆A杆B杆CdF1.3a

BF1.6aCaFA例题3压杆截面如图所示.两端为柱形铰链约束，若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支.已知，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，

p=200MPa.求压杆的临界应力.30mm20mmyz解：30mm20mmyz

因为

z

>

y

，所以压杆绕

z

轴先失稳，且

z

=115>

1，用欧拉公式计算临界力.例题4外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F.试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力.

已知：E=200GPa，

p=200MPa，

s=240MPa，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa.解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆

=1（2）当l=3/4lmin时，Fcr=?用直线公式计算1.稳定性条件

2.计算步骤

（1）计算最大的柔度系数

max；

（2）根据

max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.

§9-5

压杆的稳定校核

例题5活塞杆由45号钢制成，

s=350MPa，

p=280MPaE=210GPa.长度l=703mm，直径d=45mm.最大压力

Fmax=41.6kN.规定稳定安全系数为nst=8-10.试校核其稳定性.活塞杆两端简化成铰支解：

=1截面为圆形不能用欧拉公式计算临界压力.如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直线公式计算临界应力.

2<

<

1临界压力是活塞的工作安全因数所以满足稳定性要求.例题6油缸活塞直经D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，

s

=220MPa，E=210GPa，[nst]

=6.试确定活塞杆的直经.pD活塞杆活塞d解：活塞杆承受的轴向压力应为活塞杆承受的临界压力应为把活塞的两端简化为铰支座.pD活塞杆活塞d用试算法求直径（1）先由欧拉公式求直径求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直径计算活塞杆柔度由于

>

1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的.例题7AB的直径d=40mm，长l=800mm，两端可视为铰支.材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa.比例极限

p=200MPa，屈服极限

s=240MPa，由AB杆的稳定条件求[F].（若用直线式a=304MPa，b=1.12MPa）ABCF0.60.30.8解：取BC

研究ABCF0.60.30.8FN用直线公式[F]=118kN不能用欧拉公式A