福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知fx是定义在R上的可导函数，若limΔx→0f(2)−f(2+Δx)Δx=A.13 B.−1 C.−132.已知平面α的一个法向量为n=1,1,1，点A2,1,0为平面α上一点，则点P2,3,4到平面αA.23 B.2 C.33.函数y=xlnx的图象在x=e处的切线方程是(

)A.y=−x+1 B.y=x−1 C.y=−2x+e D.y=2x−e4.在空间四边形ABCD中，若向量AB=−3,5,2,CD=−7,−1,−4，点E,F分别为线段A.222 B.302 C.5.已知函数gx=ax−sinx在区间−1,1上不单调，则实数aA.cos1<a<1 B.cos1≤a<1 C.cos1<a≤16.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直，且AA1=4，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2A.57 B.56 C.457.若函数hx=ex+b−lnxA.−13 B.ln3−13 8.曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点Px1,y1和点Qx2,y2的曼哈顿距离为LPQ=x1−x2+A.3−5,4−5 B.4−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面四个结论中，正确的是(

)A.点A1,−1,2关于xOz平面对称的点的坐标是1,1,2

B.若a⋅b<0，则向量a,b的夹角是钝角

C.已知a=0,1,1,b=0,0,−1，则10.对于函数f(x)=lnxx2A.f(x)在x=e处取得极大值12e

B.f(x)有两个不同的零点

C.f(2)<f(π11.如图，在长方形ABGH中，AH=3，AB=1，点C，F，D，E是所在边BG和AH上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得AD，DE重合，AB，EH重合，GH，BC重合，FC，FG重合，得到六面体ABDFC，其直观图如图所示，则(

)

A.该六面体的表面积为3

B.点A到平面BDF的距离为33

C.二面角A−FD−C的余弦值为13

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知m=3,0,2,n=x2,0,4，若13.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD1∩A114.若eax−lnx−1−ax≥0对任意的x∈0,+∞恒成立(其中e为自然对数的底数)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=ax−lnx+b(1)求实数a,b的值；(2)求fx在区间1,e上的值域．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AC，BA=AC=AD=CD=PA=2，AE=EC．

(1)若BC上有一点F，满足BF=FC，证明：平面PBC⊥平面PAF．

(2)求平面PBC与平面17.(本小题15分)

将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为V．

(1)建立V关于x的函数，并求V的最大值;(2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为V0，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长x的取值(用仅含V0的式子表示)18.(本小题17分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B(1)若点N在底面ABCD内，且DN//平面AFC1，求点N(2)若平面C1FA截长方体ABCD−A1B1C1(3)在(2)的条件下，已知点M在侧面ADD1A1内，且D1M//AF，当直线ME19.(本小题17分)已知函数fx(1)讨论fx(2)设函数gx(i)当a=1时，证明：gx(ii)若Fx有两个零点，求实数a的取值范围．

参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.±13.0

14.a≥115.解：(1)由fx=ax−ln因为fx在x=2处取得极值3−所以f′2=a−经验证，fx在x=2故a=1,b=2．(2)由(1)可得f′x因为x∈1,e，所以当1<x<2时，f′x<0，当2<x<e故函数fx在1,2上单调递减，在2,e因为f1且f1−fe故fx在区间1,e上的值域为3−

16.(1)证明：连接，PF，

由BF=FC知，F为BC的中点，

∵AB=AC，∴AF⊥BC，

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，

∵PA∩AF=A，PA，AF⊂平面PAF，

∴BC⊥平面PAF，又BC⊂平面PBC，

∴平面PAF⊥平面PBC；

(2)解：以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由BA=AC=AD=CD=PA=2，

可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(−3,1,0)，E(0,1,0)，

设平面PBC的法向量为n1=(a,b,c)，

PB=(2,0,−2)，PC=(0,2,−2)，

则n1⋅PB=2a−2c=0n1⋅PC=2b−2c=0∴a=b=c，取c=1，得n1=(1,1,1)．

设平面PED的法向量为n2=(d,e,f)，

PD=(−3,1,−2)，PE=(0,1,−2)，

则n2⋅17.解：(1)∵底边长为a−2x，高为x，

∴V(x)=x(a−2x)2(0<x<a2)，

∴V(x)=a2x−4ax2+4x3，

∴V′(x)=a2−8ax+12x2，

令V′(x)=0，即12x2−8ax+a2=0，解得x=a6(x=a2舍去)．

当0<x<a6时，V′(x)>0；当a6<x<a2时，V′(x)<0，

所以V(x)在(0,a6)上单调递增，在(a6,a2)上单调递减，

可得V(x)max=V(a6)=a6(a−a18.解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,2,3)，F(0,0,2)，

(1)设N(x,y,0)，则DN=(x,y,0)，

设平面AFC1的法向量为n=(a,b,c)，

AF=(−1,0,2)，AC1=(−1,2,3)，

则n⋅AC1=−a+2b+3c=0n⋅AF=−a+2c=0，取a=4，则b=−1，c=2，即n=(4,−1,2)，

因为DN//平面AFC1，所以n⋅DN=(4,−1,2)⋅(x,y,0)=4x−y=0，

取BC的中点K，连接DK，

则点N的轨迹是线段DK，DK=22+(12)2=172;

(2)连接AE，C1E，设E(1,2,t)，

得FC1=(0,2,1)，FA=(1,0,−2)，FE=(1,2,t−2)，

由于A，E，C1，F四点共面，可设FE=mFA+nFC1，

即(1,2,t−2)=m(1,0,−2)+n(0,2,1)，

则m=12n=2t−2=−2m+n，解得m=1n=1t=1,

所以E(1,2,1)，此时AE=(0,2,1)，

因为FC1=(0,2,1)，所以AE=FC1，

又|AE|=5，19.解：(1)f′x①当a≤0时，1−ax2>0∴f′x>0，故fx②当a>0时，令f′x=0，得x=aa，易得当0<x<a当x>aa时，f′x<0综上所述，当a≤0时，fx在0,+∞当a>0时，fx在0,a(2)(i)证明：当a=1时，gx令φx=12x−且φ1故∃x0∈当0<x<x0时，φx>0,g′x∴gx在0,x0∴g(x)∵14<x0∴hx∴gx(ii)(方法一)Fx=lnx−a令kx=ln化简得k′x令mx=1x−12∴kx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，