黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2025-2026学年高一下学期4月月考（含答案）

哈师大青冈实验中学2025-2026年4月份考试高一数学试卷满分:150分时间:120分钟一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)1.已知复数z=−3−2i，则A.1B.iC.5D.5i2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若aA.π6B.π3c.5π6D.π63.如图，在矩形ABCD中，​E为​CD的中点，则A.AB−12ADB.14.如图,在河岸CD上测量河对面A,B两点间的距离,测得∠ACD=60∘,∠A.22B.2D.25.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，AB=2e1+3keA.−12B.6.如图，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点，若AP=3A.911B.511C.37.已知正方形ABCD的边长为1， ​E为线段​AB的中点，​F为​CD边上的动点，则A.−14,14B.8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bA.C=π3B.当a=C.当a+b=4时，△ABC面积的最大值为1D.当△ABC为锐角三角形时，二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.)9.已知复数z1=5A.z2是纯虚数B.z1z2在复平面内对应的点位于第二象限10.下列结论正确的是()A.若a=b，则a=bB.若b=λa，则​a与C.若a=3,1,b=0,D.三个不共线的向量OA,OB,OC，满足OA⋅AB11.已知a,b,c分别为△ABC内角A.若acosA=bcosBB.在锐角△ABC中,不等式sinAC.若B=π3,a=23，且ΔD.若∠ABC=120∘,∠ABC的平分线交AC于点三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知平面上两点A2,1，B−1,2，若13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c14.已知平面向量a,b，且a=b=2，a⋅b=2，向量c满足c−四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(13分)已知向量a(1)若向量a与c共线，求m的值；(2)若a−2b⊥c16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求A；(2)若a=23,bc=17.(15分)已知向量a与b的夹角θ=3π4,且(1)求a⋅b，a(2)求a与a+b(3)若b=2,2，求a在18.(17分)如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发1min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为100m/min，山路AC长为1260m，经测量得cosC(参考数据:26019≈13.68,520(1)求索道AB的长；(2)当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min19.(17分)在平面四边形ABCD中,AB=(1)若BC=(i)若A,B,C,D四点共圆(ii)求四边形ABCD面积S的最大值.(2)若∠BAD=π3，∠BCD=2π3，AC与BD交于点O，记∠CAD哈师大青冈实验中学2025-2026年4月份考试高一数学答案1-–8AADABDCC9、AC10、BD11、BCD12、−15.(13分)【答案】(1)m=解:(1)∵a2=2,1,c=3∴2m(2)∵a=2,116.(15分)【答案】(1)A=2π(2)​4(1)由asinB+3bcos而sinB≠0,整理得tanA=−3,因为(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得b2+c2=8，进而得17.(15分)【答案】(1)a⋅b=−6,a+b=(1)由已知，得a⋅ba+b(2)设a与a+b的夹角为α则cosα因此，a与自 =a(3)因为b=2所以a在b上的投影向量为a18.(17分)【答案】(1)500(2)113min；(3)(1)在ΔABC中，由cosC=1213可得sinC所以sinB由正弦定理ABsinCAB(2)设乙出发tmin，甲、乙的距离为d，由余弦定理得，d2=50+50t2+100t2−即0≤t≤5,故当t=1所以当乙出发了113 min(3)由正弦定理ABsinC=BCsinA乙从​B出发时,甲已经走了501+5+1=350m设乙步行的速度为vm/min,则1040故−3≤1040v−即49.1≤为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min乙步行的速度应控制在​49.1,19.(17分)【答案】(1)(i)AC=5(1)设∠ABC=α，∠ADC=β在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2即8−8cosα=(i)若A,B,C,D四点共圆可得cosβ由cosα−cosβ=−98可得2则AC2=8−(ii)因为四边形ABCD面积S=即sinα+sinβ=12又因为sinα+sin当且仅当α+β即14S2+81所以四边形ABCD面积S的最大值为57(2)在△ABD中