江苏连云港市海州区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平质量监测数学（含答案）

2025-2026学年度高二第二学期期中学业水平质量监测数学试题注意事项1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。一、单项选择题(共8小题满分40分)1.C53⋅A.120B.60C.240D.222.设随机变量X∼N2,σ2,且A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.已知向量m=1,−1,2是直线l的一个方向向量，向量n=−2,k−1A.-4B.-2C.124.已知随机变量X的分布列如下:X-2012Pm161n若EX=0,则A.735.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5∘,则PN∣A.23B.59C.16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BA.13B.33C.27.某游客计划3天内游览完A,B,C,D,E这5A.36B.72C.90D.1448.如图，已知两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a0<a<2.当MN(第八题图)A.12C.22D.二、多项选择题(共3小题满分18分)9.已知空间向量a=1,−A.若3a+b=2,−2,8,则C.若a在b上的投影向量为13b,则x=4D.若a与b10.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则()A.老师不排在两端的概率为2B.学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为1C.学生甲、乙、丙连排在一起的概率为1D.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为211.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点(第十一题图)A.AP//平面B.不存在点P，使得平面PBD1⊥C.直线C1P与平面A1CD.若正方体棱长为1,则以P为球心，PD为半径的球体被平面A1C1D三、填空题(共3小题满分15分)12.若C243n+8=13.现有五种不同的颜料可用,从这五种染料中选取染料给四棱锥P−ABCD14.某篮球运动员进行定点投篮训练.已知他第一次投篮命中的概率为0.5.若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4.该运动员第二次投篮命中的概率为_____；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立,设这4组投篮训练中成功的次数为X,则期望EX四、解答题(共5大题满分77分)15.(13分)从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛.(1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法?(2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？16.(15分)已知2x−1xn,n(1)求n的值与展开式中各项的系数和；(2)求展开式中二项式系数最大的项.17.(15分)如图，三棱锥P−AOB中，PO⊥平面AOB，AO=OB，∠(1)求证:AO⊥平面POC(2)求平面PAB与平面POC夹角的余弦值.18.(17分)某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式.调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为34,14，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为45(1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；(2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望.19.(17分)如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,(1)求证:CM//平面PAB(2)若AB⊥AD(i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；(ii)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1?若存在,求出BQBD2025-2026学年度高二第二学期期中学业水平质量监测数学参考答案(2026.04)一、单项选择题(共8小题满分40分)题号12345678答案ABDCBABB二、多项选择题(共3小题满分18分)题号91011答案ABACDAC三、填空题(共3小题满分15分)12.213.42014.3四、解答题(共5大题满分77分)15.(1)选1名男生，有C31选3名女生，且女生甲必须在内，有C52所以符合条件的不同选法有C31⋅C(2)符合条件的选法有两类:第1类，2名男生，2名女生的选法有C32第2类,3名男生,1名女生的选法有C33所以男生不少于2名的不同选法有C32⋅C16.(1)由题知,Cn1=Cn令x=1得展开式中各项的系数和为2(2)因为n=6，所以展开式共有由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，所以T4=17.(1)因为PO⊥平面AOB,AO⊂平面AOB,因此PO⊥AO,在等腰△OAB中，易知∠OAB=∠ABO=30由正弦定理可得AO=sin30∘⋅AB在□AOC中,由余弦定理O可得OC=1,故有AO2+因为PO∩OC=O,PO,OC⊂所以AO⊥平面POC..6(2)由(1)知，OA、OP则以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则O0又AC:CB=2:因为AO⊥平面POC,所以平面POC的一个法向量为m又PA=设平面PAB的法向量为n=x,y,z,则令x=1,则可得平面PAB的一个法向量,为所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为cosθ9分18.(1)设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为"游客步行下山",由题意可知PA由全概率公式PC即该游客是步行下山的概率为34..8(2)由(1)可知每位游客步行下山的概率均为34，故这4人中步行下山的游客人数X故PX=所以X的分布列为X01234P256364271282764812563分X的数学期望EX=19.(1)取PA中点N，连接BN，MN，因为M为PD中点,所以MN//AD,且又BC=1,BC//所以四边形BCMN为平行四边形,即CM//又BN⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM//(2)(i)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊥以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系:则A0所以AB=因为PA⊥平面ABCD,PA⊂所以平面PAB⊥平面ABCD又因为平面PAB∩平面ABCD=AB,AB所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个