人教版八年级数学上册 11章全章同步练习汇人教版八年级数学上册 11章全章同步练习

人教版八年级数学上册全章同步练习汇总

11.1与三角形有关的线段同步练习

一.选择题

I.（2021春•沐川县期末）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（）

A.2cm,2cm,\cmB.2cm,2cm,2cm

C.2cmy2cm,3cmD.2cm,2any4cm

2.（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出△A8C中8C边上的高是（）

3.（2020秋•厦门期末）若4。是的中线，则下列结论正确的是（）

A.ADLBCB.BD=CDC.ZBAD=ZCADD.AD=-BC

2

4.（2021春•宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是（）

3.（2U21春啃龙县期末）如图，在△ANC中，AH=\OyAC=8,A"为中线，贝必人4。与△AC/J的周

长之差为（）

6.（2021春•嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（）

A.三角形的角平分线B.三角形的中线

C.三角形的高D.三角形的高和中线

7.（2021春•道外区期末）如图，图中三角形的个数共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

8.（2021春•历城区期中）如图，AELLBC于点。，GC_L8c于点C,L48于点尸，下列关于高的

说法中正确的是（）

A.中，人。是边上的高B.△/WC中，GC是8c边上的高

C.aGBC中，C/7是8C边上的高D.aGBC中，GC是BG边上的高

9.（2021春•定陶区期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框48CD,E,F,G,，分别是四条边

上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）

A.G,，两点处B.A,C两点处C.E,G两点处D.B,厂两点处

10.（2021春•焦作期末）有四根细木棒，长度分别为3cm,5M7cm,9cm,从中任取三根拼成三角

形，则所拼得的三角形的周长不可能杲（）

A.21anB.17c/??C.19cmD.15cm

二.填空题

11.（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具

有.

12.（2021春•朝阳区校级期末）已知三角形的两边长分别为2和4,第三边长为整数，则该三角形的

周长最大值为.

13.（2021春•九江期末）小明现有两根4（“、9cm的木棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形木框，

现从5cmy7cm,9cm,1\an,13cw,17cm的木棒中选择第三根（木棒不能折断），则小明有种

选择方案.

14.（2019秋•潮南区期中）若4ABe中，N4C8是钝角，AO是BC边上的高，若AO=2,8D=3.CD

=1,则AABC的面积等于.

15.（2021春•夏津县期末）已知a,b,c是三角形的三边长，化简：。+。卜匕-〃-加

16.（2021春•庐山市期末）在一个三角形中，如果有一条边的长是另一条边长的2倍，H有两条边

的和是另一条边的2倍，那么我们就把这样的三角形叫2倍边三角形.如果一个2倍边三角形中

有一条边长为6,则这个三角形的另外两条边的和可以是.

三.解答题

17.（2021春•靖江市月考）如图,在三角形A6C中，A3=10皿AC=6cm>。是8C的中点,E点、

在边A3上.

（I）若三角形的周长与四边形ACQE的周长相等，求线段AE的长.

（2）若三角形A8C的周长被。石分成的两部分的差是2c?〃，求线段AE的长.

18.（2020秋•恩施市月考）已知a、b、。是"BC的三边长,^\a+b-c\+\b-a-c\-\c-a+b\.

19.（2020秋•安庆期中）已知：如图，点。是△A6C内一点.

求证：

（1）BD+CD<AB+AC-

（2）AD+BD+CD<AB+BC+AC.

A

D

BC

20.（2020秋•开州区校级月考）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲

养鸡，已知第一条边长为根米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米.

①用含机的式子表示第三条边长；

②第一条边长能否为10米？为什么？

③若第一条边长最短，求〃，的取值范围.

答案与解析

一.选择题

1.（2021春•沐川县期末）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（）

A.2cm,2cm,1cmB.2cm,2cm,2cm

C.2cm,2cm,3cmD.2cm,2o%

【解析】解：A、・.・2+l>2,・••能组成三角形;

&•・•2+2>2,・••能组成三角形；

C、・・・2+2>3,・••能组成三角形；

D、・・・2+2=4,・••不能组成三角形.

故选：

2.（2021春•长春期末）下列四个图中，正确画出AABC中8C边上的高是（）

【解析】解：根据三角形高线的定义，3C边上的高是过点A向3c作垂线垂足为，

纵观各图形，选项都不符合题意，选项。符合题意.

故选：C.

3.（2020秋•厦门期末）若是的中线，则下列结论正确的是（）

A.ADLBCB.BD=CDC.ZBAD=ZCADD.AD=­BC

2

【解析】解：・・・AD是AABC的中线,

：.BD=DCy

故选：B.

4.（2021春•宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是（）

［锐角钝角、/直角_锐角\

三角队"角形1三角於弋角形）

腰直叙，\/钝&\/

角

A.B.

,等腰、/

都不

（二角外弓角形）（相等的，等腰4

列学

c.d.

【解析】解：4等腰直角三角形应该是直角三角形,不符合题意；

8、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；

。、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；

。、等腰三角形包括等边三龟形，不符合题意；

故选：氏

5.（2021春•青龙县期末）如图,在“8C中,5B=10,AC=8,A。为中线，贝IJ/UB。与△AC。的周

长之差为（）

A

:

A.1B.2C.3D.4

【解析】解：・・工。是“BC中BC边上的中线，

：,BD=DC=—BC

2y

・••AABD与△4。。的周长之差

=（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）

=AB-AC

=10-8

=2.

则A/W。与△ACO的周长之差=2.

故选：B.

6.（2021春•嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（）

A.三角形的角平分线B.三角形的中线

C,三角形的高D.三角形的高和中线

【解析】解：因为在三角形中，

它的中线、角平分线一定在三角形的内部，

而钝角三角形的两条高在三角形的外部.

故选：C.

7.（2021春•道外区期末）如图，图中三角形的个数共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【解析】解：图中是三角形的有：小。。、2BOD、LAOB.AABC、LABD.

故选：C.

8.（2021春•历城区期中）如图，AZ）_L8C于点。，GC_L8C于点C,L48于点尸，下列关于高的

说法中正确的是（）

A.AABC中，AO是8C边上的高B.△"（?中，GC是边上的高

C.aGBC中，C/7是8C边上的高D.aGBC中，GC是8G边上的高

【解析】解：・・・AO_LBC于点。，

•••△ABC中，A。是BC边上的高，故4选项正确，8选项错误；

•••C凡LAB于点乙

•••△G3C中，是4G边上的高，故C选项错误，。选项错误.

故选：A.

9.（2021春•定陶区期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框人8C。，E,F,G,〃分别是四条边

上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）

H

D

A.G,”两点处B.A,C两点处C.E,G两点处D.B,尸两点处

【解析】解：工人师傅做了•个长方形窗框ABCD,工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一

根木条，这根木条不应钉在从G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定

性.

故选：C.

10.（2021春•焦作期末）有四根细木棒，长度分别为3刖,5cm门cm,9cm,从中任取三根拼成三角

形，则所拼得的三角形的周长不可能是（）

A.21cmB.17cmC.19c/”D.\5cin

【解析】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为3、5、7;3、5、9;3、7、9;5、7、

9,

V3+5>7;3+5<9;3+7>9;5+7>9;

故①3、5、7;②3、7、9;③5、7、9,可以围成的三角形共有3种，

周长分别为15cm,19cm,21cm,只有17cM不适合,

故选：B.

二.填空题

11.（2021春•项城市期末）射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳

定性.

【解析】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪二角形，说明三角形具有稳定性，

故答案为：稳定性.

12.（2021春•朝阳区校级期末）已知三角形的两边长分别为2和4,第三边长为整数，则该三角形的

周长最大值为11.

【解析】解：设第三边为出

根据三角形的三边关系，得：4-2V〃V2+4,

即2VaV6,

Ta为整数，

・•・〃的最大整数值为5,

则三角形的最大周长为2+4+5=11.

故答案为：11.

13.（2021春•九江期末）小明现有两根4°〃、的木棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形木框，

现从50%7cm,90%Wan,13。*17c〃?的木棒中选择第三根（木棒不能折断），则小明有三

种选择方案.

【解析】解：根据三角形的三边关系，得：第三根木棒应而V13c〃z.故7cm,9c11cm

能满足，有三种选择方案.

故答案是：三.

14.（2019秋•潮南区期中）若中，NAC8是钝角，A。是8c边上的高，若AO=2,BD=3.CD

=1,则AABC的面积等于2.

【解析】解：如图.

•:BD=3,CD=\,

:・BC=BD-CD=2,

又•・•A。是8c边上的高，AD=2,

:./\ABC的面积=^BC*AD=—x2x2=2.

22

故答案为2.

15.（2021春•夏津县期末）已知*b,c是三角形的三边长,化简：\a-b-c\+\b-c+a\-\c-a-b\=

-a+b^-c.

【解析】解：Ta、b、c是三角形的三边长，

/.a+b>c,b+c>a,a+b>cy

：・a-b-c〈G,b-c+a>0,c-a-b<0y

\a-b-c\+\b-c+a\-\c-a-b\=-a+b+c+h-c+a+c-a-b=-a+b+c.

故答案为：-a+什。

16.（2021春•庐山市期末）在一个三角形中，如果有一条边的长是另一条边长的2倍，且有两条边

的和是另一条边的2倍，那么我们就把这样的三角形叫2倍边三角形.如果一个2倍边三角形中

有一条i力长为6,则忒个三角形的另外两条i力的和可以是12,9或3、4.5或4、8.

【解析】解：设最短边为x,其他两边分别为2%,1.5%

当x=6时，其他两边为12,9,因为6+9>12,符合题意；

当2x=6时，其他两边为3,4.5,因为3+4.5>6,符合题意；

当1.5x=6时，其他两边为4,8,因为4+6>8,符合题意；

故答案为：12,9或3,4.5或4,8.

三.解答题

17.(2021春•靖江市月考)如图，在三角形中，/18=10"*AC=6cmy。是的中点，E点

在边A8上.

0)若二角形BQE的周长与四边形4COE的周长相等，求线段AE的长.

(2)若三角形A8C的周长被OE分成的两部分的差是2c刑求线段AE的长.

【解析】解：(1)由图可知二角形BDE的周长=BE+BD+DE,四边形ACOE的周长=AE+AC+OC+QE,

又三角形BDE的周长与四边形ACQE的周长相等，D为BC中点，

:.BD=DC,BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE,

BPBE=AE+AC,

AB=l(kwz,AC=6cm,

：.\0-AE=AE+(),

'.AE=2ctn.

(2)由三角形48c的周氏被OE分成的两部分的差是2,可得方程

®BE=AE+AC+2或②3E=AE+AC-2.

解①得AE=1cm,解②得AE=3cm.

故AE长为\cm或3cm.

18.(2020秋•恩施市月考)已知a、b、c是"BC的三边长,\m\a+b-c\+\b-a-c\-\c-a+b\.

【解析】解.由三角形三边关系可得：”+〃>c,b<a+cyc+b>u,

/.a+b-c>0,b-a-c<0,c-a+b>0y

/.原式=a+b-c-b+a+c-c+a-b

=3a-b-c.

19.(2020秋•安庆期中)已知：如图，点。是△A6C内一点.

求证：

(1)HD+CD<AH+AC;

(2)AD+BD+CD<AB+BC^AC.

A

【解析】证明：(1)延长8。交AC于邑

在"BE中，有AB+AQ8E,

在AEOC中，有ED+EOCD,

:.AB+AE+ED+EC>BE+CD,

*：AE+EC=AC,BE=BD+DE,

：.AB+AC+ED>BD+DE+CD,

：,AB+AC>BD+CD;

(2)由(1)同理可得：

AB+BOAD+CD,

BC+AC>BD+AD,

Ali+AOBD+CD,

A2(48+BC+AC)>2(AD+BD+CD),

：.AB+BC+AC>AD+BD+CD.

20.(2020秋•开州区校级月考)小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲

养鸡，已知第一条边长为加米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米.

①用含〃，的式子表示第三条边长；

②第一条边长能否为10米？为什么？

③若第一条边长最短，求济的取值范围.

【解析】解：⑴•・•第二条边长为(3m-2)米,

工第三条边长为50-〃L(3m-2)=(52-4m)米；

(2)当〃?=10时，三边长分别为10,28,12,

由于10+12V28,所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米；

m?>0

3m-2>n

（3）由题意，得,52-4irL>m

m+3m-2〉52~4n

m+52-4m>3m-2

解得mv，〃<9.

4

11.2与三角形有关的角同步练习

选择题

I.（2021春•历下区期中）在下列条件：①NA+NB=NC,②NA:NB:ZC=5:3:2,@Z4=90°

-/8,④NA=2NB=3NC中，能确定AABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021春•娄星区校级期中）已知在RtZiABC中，ZB=90%ZC=35°,则N4等于（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.（2021•河池）如图，ZA=40°,NC8D是的外角,/C/3Q=120。，则NC的大小是（)

A.90°B.80°C.60°D.40°

4.（2021•平谷区一模）如图，RtAA8c中，N4C8=90。，CD_LA8于点。，则下列结论不一定成立

C.Z1=Z4D.Zl=30°

5.（2020秋•芜湖期中）如图，MAC中，44=20。，沿3E将此三角形对折，又沿AT再一次对折,

点C落在BE上的C处，此时NC7）8=74。，则原三角形的NC的度数为（）

A.27°B.59°C.69°D.79°

6.（2020春•石狮市期末）在直角三角形A8C中，NA:NB:NC=2:〃?：4,则机的值是（）

A.3B.4C.2或6D.2或4

7.（2021春•永年区期末）如图，8厂是NA8D的平分线，CE是NACD的平分线，BF与CE交于盛

G,若N8/）C=140。，ZfiGC=110°,则NA的度数为（）

8.（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特

征三角形”，其中a称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为48。，那么这个“特征角”a

的度数为（）

A.48°B.96°

C.88。或48。D.48。或96。或88。

9.（2021春•闵行区校级月考）下列说法中错误的是（）

A.三角形的三个内角中，最多有一个钝角

B,三角形三个内角中，至少有两个锐角

C.直角三角形中有两个锐角互余

D.三角形中两个内角和必大于90°

10.（2021春•周村区月考）如图，在中，Z£=80°,ZF=55°,AB//CF,AD//CE,连接BC,

CD,则NA的度数是（）

，B

A.45°B.50°C.55°D.80°

二.填空题

11.（2021春•铁西区期中）在AA/3c中，NA:NB:ZC=4:4:7,则NC的度数为

12.（2021春•乐清市期末）如图，直线”，〃所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出一条直

线分别与直线〃，力相交所形成的角的度数就可求得该角，已知NI=7I。，/2=78。，则直线〃，b

所形成的角的度数为

13.（2020秋•前郭县期末）如图，。岛在4岛的北偏东45。方向，在B岛的北偏西25。方向，则NAC8

=o

14.（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在RlMBC中,ZB=90°,乙4=60。.将三角形沿E尸翻折,

使点C与边入6_1_的。点重合.若NEFD-2/AED,则的度数为.

15.（2021春•泌阳县期末）在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有个.

16.（2U21春•江汉区期末）在AAAC中，N/MC=5U\BE、C/是A4NC.的高，直线“£、C”交于点

H,则/8HC的度数是.

三.解答题

17.(2021春•望城区期末)如图，在“8C中,ZB=40°,ZC=110°.

(1)画出下列图形：

①BC边上的高人。；

②NA的角平分线人忆

(2)试求/D4E的度数.

18.(2021春•淮阳区校级期末)如图，已知C。是中NACB的外角平分线.

(1)若NACE=150。,ZBAC=100°,求N8的大小；

(2)请说明/8AONB.

19.(2021春•长春期末)［规律探索］探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律：

在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.

规律I：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90。加上第三个内角度数的一半；

规律2:二角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90。减去与这两个外角不相邻的内角度数的一

半.

［问题呈现］如图①，点P是AA8C的内角平分线BP与CP的交点，点M是A/WC的外角平分线BM

与CM的交点，则/2=90。+~1乙4,/加=90。-/人.

说明/。=90。+1/人如下：

〈BP、。尸是AABC的角平分线，

：.Zl=—ZABCZ2=—ZABC.

2f2

/.ZA+2(Z1+Z2)=180°.........①

.,.Zl+Z2=90°-—Z/4.

2

.*.ZP=180°-(ZI+Z2)=90°+-i-ZA.

请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：

(1)上述说理过程中步骤①的依据是.

(2)结合图①，写出说明/加=90。-£/4的说理过程.

［拓展延伸］如图②，点Q是AA8C的内角平分线BQ与AABC的外角(NACQ)平分线CQ的交点.若

NA=50。，则NQ的大小为度.

图①图②

20.(2021春•大英县期末)在“8C中，AQ_LBC于点，AE平分/8AC

(1)如图1,若N8=70。,ZC=34°,求NDAE的度数.

(2)探索N3,ZC,之间的数量关系(如图1,NB>NC),请证明你的结论.

(3)如图2、3,设点尸为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，A。变成尸。时，探索/

DFE,/B,/C之间的数量关系，并证明你的结论.

图1图2图3

21.(2021春•二道区期末)如图，B。为"BC的角平分线，若乙4BC=60。，NAQB=70。，点E为

线段8C上一点，当AOCE为直角三角形时，求N8OE的度数.

22.(2021春•镇江期中)如图，将一张三角形纸片4BC的一角折叠，使得点A落在四边形BCQE的

外部A'的位置，且A'与点。在直线A8的异侧，折痕为QE,已知NC=90。，ZA=30°.

(1)求N1-22的度数；

(2)若保持△AOE的一边与BC平行，求乙的度数.

备用图备用图

答案与解析

一.选择题

1.（2021春•历下区期中）在下列条件：①NA+N8=NC,②N4:ZB:ZC=5:3:2,③NA=90。

-ZB,④NA=2N8=3/C中，能确定AABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】解：①•・・/A+/3=/C,

.*.2ZC=180°,

/.ZC=90°,

...△A8C是宜角三角形；

②:NA:NB:ZC=5:3:2,

设NA=5x,则N8=3x,ZC=2x,

5.V+2X+3A-=180,

解得：x=l8。，

.•.Z5=l8°x5=90°,

.,.△ABC是立角三角形；

③：ZA=90°-ZB,

ZA+ZB=90°,

.1.ZC=180°-90°=90°,

•••△ABC是直角三角形；

④・:3/C=2/8=/A,

/.ZA+ZB+ZC=—Z/R—Z/1+ZA=180。，

23

・,./A=。，

•••△ABC为钝角三角形.

，能确定AABC是直角三角形的有①②③共3个，

故选：C.

2.（2021春•娄星区校级期中）已知在RSABC中，NB=9（F,NC=35。，则NA等于（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【解析】解：在RSA8C中，ZB=90°,ZC=35°,

贝ljNA=90。-35。=55。，

故选：C.

3.（2021•河池）如图，Z/1=4O°,NC8。是△八8C的外角，ZC5Z）=120°,则/C的大小是（）

A.90°B.80°C.60°D.40°

【解析】解：由三角形的外角性质得，/。=/。6。-乙4=120。-40。=80。.

故选：B.

4.（202k平谷区一模）如图，RtAABC中，NAC8=90。，CD_LA8于点。，则下列结论不一定成立

的是（）

【解析】解：A.・・・NAC8=90。,

・・・N1+N2=9O。，故本选项不符合题意；

B.*：CDLAB,

,NADC=90。，

/.Zl+Z3=90°,

VZ1+Z2=9O°,

・・・N2=N3,故本选项不符合题意；

C.'：CDVAB,

：.ZBDC=90°,

.*.Z2+Z4=90°,

VZ1+Z2=9O°,

・・・Nl=/4,故本选项不符合题意；

。.根据已知条件不能推出/I=30。，故本选项符合题意；

故选：D.

5.（2020秋•芜湖期中）如图，NBC中，NA=20。，沿的将此三角形对折，又沿8H再一次对折,

点C落在6E上的C处，此时NCQ3=74。，则原三角形的NC的度数为（）

【解析】解如图，:△ABC沿BE将此三角形对折，又沿8V再一次对折，点C落在8E上的C

处，

AZ1=Z2,N2=N3,/CDB=NC'DB=14。,

AZ1=Z2=Z3,

/./ABC=3N3,

在ABC。中，Z3+ZC+ZCDB=180°,

・••N3+NC=180°-74°=106°,

在A48C中，

,:ZA+ZABC+ZC=180°,

A200+2Z3+(Z3+ZC)=180°,

即20°+2Z3+106°=180°,

・・・N3=27。，

:.Z4BC=3Z3=81°,

ZC=106°-27°=79°,

故选：。.

6.（2020春•石狮市期末）在直角三角形ABC中，NA:NB:ZC=2:nr.4,则〃?的值是（）

A.3B.4C.2或6D.2或4

【解析】解：设NA、NB、NC的度数分别为2r、〃?x、4x,

当NC为直角时，2什〃

解得，〃?=2,

当为直角时，2x+4x=//ir,

解得，m=6,

故选：C.

7.（2021春•永年区期末）如图，8厂是NA8。的平分线，CE是NACO的平分线，BF与CE交于点

G,若N3QC=140。，Z^GC=110°,则NA的度数为（）

【解析】解：连接8c.

VZBDC=140°,

J/DBC+/DCB=180°-140°=40°,

VZBGC=110°,

/.ZGBC+ZGCB=180°-110°=70°,

•・・8f是N/W。的平分线，CE是NACO的平分线,

・•・ZGBD+ZGCD=-ZABD+—ZACD=30°,

22

JZABC+ZACB=\0(r,

:.NA=180。-10()。=80°.

故选：D.

8.（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特

征三角形”，其中a称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为48。，那么这个“特征角”a

的度数为（）

A.48°B.96°

C.88。或48。D.48。或96。或88。

【解析】解：设三角形的三个内角分别是Nl、N2、a且a=2Nl.

当a=4H\则N1=241

当Nl=48。，则a=2Nl=96。.

当N2=48。，贝iJNl+a=180。—/2=132。.

•••3/1=132。.

AZ1=44°.

・・・a=2Nl=88。.

综上：“特征角”a可能为48。或96。或88。.

故选：D.

9.（2021春•闵行区校级月考）下列说法中错误的是（）

A.三角形的三个内角中，最多有一个钝角

B.三角形三个内角中，至少有两个锐角

C.直角三龟形中有两个锐胸互余

D.三角形中两个内角和必大于90。

【解析】解：人、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确.

8、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确.

。、直角三角形中有两个锐鱼互余，正确，

D、三角形中两个内角和必大于90。，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90。.

故选：D.

10.（2021春•周村区月考）如图，在中，Z£=80°,ZF=55°,AB//CF,AD//CE,连接4C,

CD,则N4的度数是（）

【解析】解：连接AC并延长交E厂于点G.

t：AB//CFy

:./BAC=NFCG,

'：AD//CEy

：.ZDAC=ZECGy

：.ZBAD=ZI3AC+ZDAC=NFCG+NECG=NECF,

在上〃中，Zfc=8Ov,N”=55\

:.N£XT=180。-Z£-ZF=180o-80°-55o=45°,

：,ZBAD=ZECF=45°.

二.填空题

II.（2021春•铁西区期中）在AA8C中，NA:NB:ZC=4:4:7,则NC的度数为84。.

【解析】解：在△ABC中，NA:4B:ZC=4:4:7,

工设NA=4x,NB=4x,ZC=7x,

•・•ZA+ZB+ZC=180°,

・・・4x+4x+7x=180°,

解得：x=12°,

AZC=7xl2°=84o.

故答案为:84.

12.（2021春•乐清市期末）如图，直线出8所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要曷出一条直

线分别与直线。，。相交所形成的角的度数就可求得该角，已知Nl=71。，Z2=78°,则直线a,b

所形成的角的度数为31°,

【解析】解：直线明交于点A,与边框的交点分别为8,C,如图,

VZ1=71°,Z2=78°,

••・NABC=N1=71。，NACB=N2=78。，

■:NA+/A8C+NACB=180。，

:.ZA=180o-71°-78o=31°,

故答案为31.

13.（2020秋•前郭具期末）如图，。岛在A岛的北偏东45。方向,在8岛的北偏西25。方向，则N4C8

=70°,

•・•。岛在A岛的北偏东45。方向，在B岛的北偏25。方向,

...NC48+NABC=180°-：45°+25°)=110°,

:三角形内角和是180。，

AZ4CB=180°-(/C4B+NABC)=180°-1IO°=7O°.

14.（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在RS43C中，ZB=90°,NA=60。.将三角形沿£尸翻折,

使点C与边48上的/）点重合.若NEFD=2NAED,则/AE力的度数为40。

A

【解析】解：设NE=2NAEO=2x.

由折叠性质可知，ZEDF=ZC=90°-ZA=90°-60°=30°,

ZDEF=ZCEF,

・•・NOE尸=180°-ZEDF-ZEFD=180°-30°-2x=\500-2xi

：,ZCEF=\500-2x,

•・•ZDEF+ZCEF+ZAED=\80°,

:.\500-2x+150°-2x+x=180°,

解得x=40。，

即NAEO=40°.

故答案为：40。.

15.（2021春•泌阳县期末）在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有

个.

【解析】解：:三角形的内角最多有1个钝角,

・••三角形的三个外角中，锐角最多有1个.

故答案为：L

16.（2021春•江汉区期末）在“8C中，NB4C=50。，BE、C尸是MBC的高，直线庭、CF交于点

H,则的度数是50。或130°

【解析】解：

•:BE,CF是"BC的高,

：.ZBEA=ZCFA=90\

:.ZEHF=180°-ZA=l80°-50°=l30°,

・・・N8〃C=130。；

如图2,点”在aABC的外部，

同理得到ZBEA=ZCFA=90。,

,/NHCE=NACR

・・・NMC=NA=50。，

综上所述，NBHC的度数为50。或130°.

故答案为：50。或130，

三.解答题

17.（2021春•望城区期末）如怪在NBC中，ZB=40°,ZC=110°.

（1）画出下列图形：

①8c边上的高A。；

②NA的角平分线

（2）试求ND4E的度数.

【解析】（1）如图所示;

(2)在AA8C中，ZBAC=l800-ZB-ZACB=180°-40°-110°=30°,

YAE平分/84C,

NBAE=』NBAC=15°,

2

在RtZkAOB中，ZBAD=900-ZB=50°,

：,ZDAE=ZDAB-ZBAE=35°.

18.（2021春•淮阳区校级期末）如图，已知CO是AABC中NAC4的外角平分线.

(1)若N/\CE=150。，Zfi/\C=100°,求N8的大小;

(2)请说明NA4ON8.

【解析】解：(1)VZACE=150°,/6AC=100。,

:./B=/ACE-Z^AC=150°-100°=50°;

⑵・・・。£>是NBC中NAC8的外角平分线，

:.ZACD=ZECD,

•••N8AC是△ACO的外角，

：,ZBAC>ZACD,

:・/BAC>/ECD,

•••NECQ是△8CO的外角，

：.ZECD>ZBy

：,ZBAC>ZB.

19.(2021春•长春期末)［规律探索］探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律：

在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.

规律I：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90。加上第三个内角度数的一半；

规律2:三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一

半.

［问题呈现如图①，点P是“8C的内角平分线BP与CP的交点，点M是AABC的外角平分线BM

与CM的交点，则〃=90。+2/4,NM=90。-•/A.

乙乙

说明/夕=90。+£/人如下：

•:BP、CP是的角平分线，

：.Z\=­ZABC,Z2=—ZABC.

22

・・・NA+2(Z1+Z2)=180°..................①

.*.Z1+Z2=9O0-—ZA.

2

/.ZP-1800-(Z1+Z2)-90°+-1-ZA.

请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：

(1)上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180°

(2)结合图①，写出说明乙3=90。-2/人的说理过程.

［拓展延伸］如图②，点Q是CA8C的内角平分线BQ与MBC的外角(N4CD)平分线CQ的交点.若

N4=50。，则NQ的大小为25度.

图①图②

【解析】解：【问题呈现】

(1)证明过程中步骤(2)的依据是三角形内角和等于180。,

故答案为：三角形内角和等于180。；

(2)〈BM、CM是△ABC的外角平分线,

：.Z3=-^ZEBC,Z4=—ZFC5,

22

:.NA8C=180°-2N3,ZACB=180°-2Z4,

JNA+(180°-2Z3)+(180°-2Z4)=180°,

，N3+N4=90°+2N4,

2

VZ3+Z4+Z/W=180°,

r.ZAY=180°-(900+2NA)=90°-—Z/^;

22

【拓展延伸】

••,CQ平分/AC。，

：.Z\=^ZACD,

2

'：BQ平分N48C,

r.Z2=­

2

,/ZACD=ZA+ZABCy

/.ZA=ZACD-ZABC=2(Z1-Z2),

VZl=Z2+Ze,

・・・NQ=Nl=/2,

:.NA=2/Q,

即NQ=£/4=25,

故答案为：25.

20.(2021春•大英县期末)在A/WC中，AQJ_8c于点。，4E平分N/MC.

(1)如图1,若NB=70。,NC=34。,求ND4E的度数.

(2)探索ZC,ND4E之间的数量关系(如图I,ZB>ZC),请证明你的结论.

(3)如图2、3,设点尸为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，AD变成尸。时，探索/

DFE,/B,NC之间的数量关系，并证明你的结论.

图1图2图3

【解析】解：⑴在08。中，ZB=70°,ZC=34°,

AZBAC=1800-ZZ^-ZC=180°-70°-34°=76°,

•・・4£平分NBAC,

:.ZfAC=-ZBAC=—x76°=38°,

22

,：ADl.BCt

工NAOC=90。，

・•・ZDAC=900-ZC=90°-34°=56°,

・•・/DAE=ZDAC-Z£AC=56°-38。=18。；

(2)如图1,ZB,ZC,NQAE的关系为：ZDAE=-1(ZZ^-ZC),

乙

证明・・・/6AC=18()c-/c,AE平分/6AC,

：.ZCAE=^=-ZBAC=—(180°-ZB-ZC)=90°-—ZB--ZC,

2222

*：ADLBCy

JZADC=90°,

••・NC4O=90。-NC,

ZDAE=ZDAC-ZE4C=90°-ZC-(90°-—Z5--1-ZC)=-1-(ZB-ZC);

(3)NDFE,ZB,NC之间的数量关系为：ZDFE=-i(ZB-ZC),

乙

证明：分两种情况：①如图2,当点F在AE上时，作八"_L8C于

由(2)得：/HAE=£(Z^-ZC),

乙

VA/71BC,FDYBC,

'：AH//FD,

：.ZDFE=NHAE,

：.ZDFE=—(ZB-ZC),

2

②如图3,当点尸在4E上时，作AHJ_8c于H,

图3

由⑵得：ZHAE=^(ZB-ZC),