人教版九年级上册数学第22章《二次函数》综合题中考猜题练习题汇编（含答案解析）

人教版九年级上册数学第22章《二次函数》综合题中考猜题练习题汇编

题型一：线段周长问题

1.(2023上•山西晋城•九年级校考期末)如图1,抛物线歹=。/+8+3与x轴交于/(TO),4(4,0)两点,

与了轴交于点C,顶点为。.点P是直线4c上方抛物线上的一个动点，过点?作尸£_Lx轴于点以交直线

8c干点Q.

⑴求抛物线的表达式；

⑵求线段的最大值；

⑶如图2,过点P作x轴的平行线交y轴于点连接。是否存在点P,使得AP。.”为等腰三角形？若

存在，请直接写出点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2023上•河北张家口•九年级张家口东方中学校考期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+队一3

与工轴交于4,8两点，与y轴交于点C,力B=4,CM=308,点P是直线/C下方抛物线上的一个动点.过

点P作PE//x轴，交直线4C于点E.

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⑴求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则BM+CM的最小值是

⑶求尸E的最大值；

3.（2023上•湖北随州•九年级统考期末）已知抛物线y=e-4工+3与X轴交于点A,B（点A在点8的左

边），与V轴交于点C,顶点为O.

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I)

⑴直接写出点8,C,。的坐标；

⑵如图1,若平行于％轴的直线EF与抛物线交于点f,F（点E在点尸的左边），与线段CO交于点设

点E的横坐标为/,线段的长为加，试求〃，关于/的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并

求EM的最大值；

（3）如图2,若点P是在N轴右侧抛物线上的一动点，过点P作。〃〃》轴交线段8c于点N,连接是否

存在这样的点尸，使△尸8N是等腰三角形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2023上•重庆渝中•九年级统考期末）抛物线与x轴交于点4（-2,0）和4（4,0）,与y轴

交于点C,连接8c.点P是线段8C下方抛物线上的一个动点（不与点8,。重合），过点尸作y轴的平

行线交SCTM，交工轴TN,设点P的横坐标为，.

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⑴求该抛物线的解析式；

(2)用关于7的代数式表示线段尸例，求PM的最大值及此时点M的坐标；

⑶过点C作1PN于点，，S&BMN=9s，

①求点尸的坐标；

②连接。尸，在y轴上是否存在点。，使得ACP。为直角三角形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

5.(2023上•山东滨州•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/-2x+6与工轴的

两个交点为/Q,o)和/-3,0),与y轴的交点为c,顶点为点。.

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(1)求。、b的值;

⑵若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当以=PC时，求点P的坐标；

⑶若点使得△M3。是以BO为斜边的直角三角形，其中0<〃?<4,求此时，〃的值.

6.(2023上•江苏南京•九年级统考期末)抛物线了=。/+队+。(4=0)与工轴交于4(-1,0),3(3,0)两点，与丁

轴交于点C.

(1)求m〃满足的关系式；

(2)当〃=-1时，2〃,/〃)为抛物线在第二象限内一点，点尸到直线8C的距离为力则d与〃的函数表达式为

⑶过7(0#(其中-1K/K2)且垂直y轴的直线/与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意/值,

线段A/N的长都不小于2,结合函数图像，求a的取值范围.

7.(2023上•河南驻马店•九年级统考期末)如图，抛物线^=加+&+«"0)与x轴交于力(-1,0),8(3,0)

两点.与y轴交于点C,且06=。。，点尸为抛物线y=a/+A+c上的一个动点，过点，作PZ)_Lx轴于

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点D，交直线BC于点E.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当点P在x轴下方的抛物线上，且。E=时，求此时点P的坐标；

⑶第一象限抛物线上是否在在点P，使点夕到直线8C的距离是点。到.直线8c的距离的5倍？若存在，请

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

8.（2023上•山西吕梁•九年级校考期末）综合与探究

如图，抛物线》=。（》-4）2+力与x轴交于。（0,0）,以4,0）两点，顶点为P,连接OP,AP,M1O力于点

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B,P5=1,Q悬OB（不与点。，8重合）上的一个动点，连接。。，将△0P。沿着尸。对折后，点。落

在点C处，PC交x轴于点。.

⑴求抛物线的表达式.

（2）当AC。。的面积尸的面积时，求点。的坐标.

⑶在线段08上是否存在这样的点0,使得器的值最小，若存在，请直接写出器的最小值；若不存在,

请说明理由.

9.（2023上•辽宁盘锦・九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y=-/+瓜+c的图

象与x轴交于点4B,与y轴交于点C,且图象与抛物线0：j=/+2x—3的图象关于原点内心对称.

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图①图②

⑴求抛物线P的表达式；

⑵连接4c，点。为线段8C上的一个动点，过点。作〃歹轴，交抛物线尸的图象于点£,求线段

长度的最大值；

⑶如图②，在抛物线夕的对称轴上是否存在点M,使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件

的点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

10.（2023上•四川广安•九年级统考期末）如图，已知抛物线y=a/-gx+c与x轴交于B两点,并与

直线歹=；万一2交于江C两点,其中C是直线y=—2与y轴的交点，连接力C.

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J'A

⑴求从c两点的坐标以及抛物线的解析式：

(2)求证：AZ出C为直角三角形；

⑶在抛物线的对称轴上有一点2当△/1b的周长最小时，求出点。的坐标.

题型二：面积问题

1.(2023上•河南•九年级校联考期末)如图，已知抛物线y=+8+。与直线)，=x+l交于力(d0),C(3,4)

两点.

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⑵苦点夕是位于直线4C上方的抛物线上的一个动点，求△RPC面积的最大值及此时点尸的坐标.

2.(2023上•安徽安庆•九年级统考期末)如图，已知抛物线加+c与x轴交于点力(-1,0)和点8(3,0),

与y轴交于点c,连接6c交抛物线的对称轴于点E,。是抛物线的顶点.

⑵直接写出点。和点。的坐标；

⑶若点P在第一象限内的抛物线上，且S》8P=4S/VOE，求P点坐标.

3.(2023上•云南临沧・九年级统考期末)如图，抛物线)，=。./+8_3与X轴交于/(-1,0)、8(3,0)两点,

与y轴交于点C.

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⑴求抛物线的解析式；

⑵若点。是抛物线上的一点，当△480的面积为10时，求点。的坐标；

⑶点尸是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点。，使得以4、C、P、0为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2023上•江苏淮安•九年级统考期末）如图，在直角坐标系xQy中，二次函数y=3X+A+1的图像与

x轴相交于。、力两点，其中点O为坐标原点.

⑴求出这个二次函数的表达式；

⑵在第一象限内的抛物线上有一点8,使“08的面积等于6,求点8的坐标.

5.（2023上•广西梧州•九年级统考期末）如图，抛物线），=加+布+6（叱0）与x轴交于点力（2,0）和点

3（-6,0）,与N轴交于点C.

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⑴求抛物线的函数表达式；

(2)在抛物线上是否存在一点尸(不与点C重合)，使的面积与』8c的面枳相等，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2023上•广东东莞•九年级统考期末)抛物线)，=加+次+4"0)与》轴交于点/(-3,0),4(1,0)两点,

与V轴交于点。(0,3),点尸是抛物线上的一个动点.

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⑴求抛物线的函数表达式:

⑵如图1,点尸在线段彳。上方的脑物线上运动（不与A,C重合），过点P作尸。_L/8,垂足为。，PD

交4c于点E,作PF14C,垂足为“，若点P的横坐标为，，请用/的式子表示尸£,并求！尸£•尸的面积的

最大值;

⑶如图2,点。是抛物线的对称轴/上的一个动点，在抛物线上是否存在点P,使得以点A,P,C,Q为

顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点尸的坐标，若不存在，说明理由.

7

7.（2023上•江苏宿迁•九年级统考期末）如图，二次函数y=-1x2+^+c的图像与x轴交于^（-1,0）、C（3,0）

两点，与y轴交于点8.点P是直线8C上方抛物线上的一个动点，连接尸从尸C.

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⑴求这个二次函数的表达式；

⑵设VBC的面积为S,点夕的横坐标为机,求S与m方间的函数表达式：

⑶点户在运动过程中，能否使MBC的面积S恰好为整数？若能，请求出机的值；若不能，请说明理由.

上•辽宁葫芦岛•九年级统考期末）如图，抛物线-；/+云+

8.（2023y=c与x轴交于4(-2,0),6(4,0),

与V轴交于点C,点。在抛物线上.

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⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,连接8C,若点。为直线8c上方抛物线上的点，过点。作。P〃x轴交8c于点P,作轴

交8c于点若VOP。的面积为2,求。点坐标；

⑶如图2,点”为抛物线的顶点，当x,-2时，在抛物线，是否存在点。使△4“。是等腰三角形？若能，

请直接写出点。的坐标；若不能，请说明理由.

9.（2023上•湖南益阳•九年级统考期末）如图，抛物线y=ad+外与x轴交于。，八两点，C（2,5）是抛物

线的顶点.

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c

⑴求抛物线的表达式.

⑵作COJ.X轴于点。，尸为抛物线上位于点A,C之间的一点，连接OP,若。。恰好平分△C。。的面积,

求点P的坐标.

⑶在（2）的条件下，平面内是否存在点0,使得以C,。，P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

请直接写出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

10.（2023上•湖南永州•九年级校考期末）如图，抛物线尸-丁+bx+c与x轴交于点力（-1,0）,8（4,0）,

与y轴交于点C，连接8C,点。为线段C8上一个动点（不与点C,8重合），过点。作，轴交抛物

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线于点O.

⑴求抛物线的表达式和对称轴：

⑵当抛物线上的点。在8C上方运动时，求△BC。面枳的最大值.

⑶已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段P。取得最大值时，是否

存在这样的点M，N,使得四边形尸8WN是菱形？若存在，请直接写出点"的坐标；若不存在，请说明

理由.

题型三：角度问题

1.（2023上•辽宁大连•九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=/+版+c•与x轴交于4、8两

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点（点力在点8的左侧），与y轴交于点C,点8的坐标为（3,0）,将直线丁二米沿y轴向上平移3个单位

长度后恰好经过8、C两点.

力

5-

4-

3-

⑴求直线8C及抛物线的解析式;

⑵设抛物线的顶点为。，点尸在抛物线的对称轴上，且N4PD=N4CB,求点尸的坐标.

2.（2023上•安徽滁州•九年级校联考期末）如图，抛物线^=，+及+4（"0）交歹轴正半轴于点。，交x

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轴分别于点力（-2,0）点5（&0）,连接8C.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作％轴的垂线，交BC于点F,设点P的横坐标为

①求/为何值时，四边形尸FOC是平行四边形；

②连接P/1,当乙4尸尸十乙48c=90。时，求点尸的坐标；

3.（2023上•江苏镇江•九年级镇江市外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数

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y=4（x+l）（x-3）（a<0）的图像与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），顶点为M,经过点A的直线

⑴直接写出点A的坐标、点8的坐标

⑵如图（1）,若顶点”的坐标为（L4）,连接80、AM.BD,请求出二次函数及一次函数的解析式，并

求出四边形ADBM的面积；

⑶如图（2）,连接DW,当。为何值时直线DW与％轴的夹角为45。？

⑷如图（3）,点£是直线/上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为9时，请直接写出此时E

4

点的坐标.

4.（2023上“Il东济南•九年级统考期末）如图，抛物线+c经过8（1,0）,C（0,3）两点，与》轴

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交于另一点4点。是抛物线的顶点.

⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)如图1,点£在抛物线上，连接。£并延长交x轴于点凡连接8。，若Y厂是以为底的等腰三角

形，求点E坐标.

(3)如图2,连接力C、BC,在抛物线上是否存在点"，使4CM=N8C。，若存在，求出M点的坐标；若

不存在，请说明理由.

5.12023上•山西运城•九年级统考期末〉综合与探究：如图，二次函数y=-；/+x+4的图象与工轴交于43

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两点（点A在点4的左则），与y轴交于点。，点。是抛物线的顾点.抛物线的对称轴交x轴于点E,点。

是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为〃?，点尸的坐标为（。,-3）,

连接在，口分别与x轴，对称轴交于点G,”.

*：

⑴求4丛C三点的坐标并更按写出顶点。的坐标；

（2）当R7:GP=6:5时.求点P的坐标;

（3）试探究：在点尸运动过程中，是否存在点P,使得N"E=135°，若存在，请直接写出机的值；若不存在,

请说明理由.

6.（2023上•江苏泰州•九年级校考期末）抛物线y=ax2+bx+c（a^0）经过点J（2,0）和点8（-3,5）.

⑴求。与b的关系式.

（2）若抛物线的对称轴是y轴.

①点c,。均在抛物线上，。点与4点关于y轴对称，且点。在第一象限，满足/胡c,求点。

的坐标；

②直线y=h-1（&/0）与抛物线交于M,N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MV下方的抛物线上

的一点，点Q在V轴上，且四边形MPN。是平行四边形，求点。的坐标.

7.（2023上•云南昆明•九年级统考期末）如图，已知抛物线_），=。/+加+。与x轴交于4（3,0）,8（1,0）两点,

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与y轴交于点C且有CM=OC.

⑴求抛物线解析式：

⑵点夕在抛物线的对称轴匕使得△4CP是以4C为底的等腰三角形，求出点D的坐标；

⑶在（2）的条件下，若点。在抛物线的对称轴上，并且有=力尸C,直接写出点。的坐标.

8.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线

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y=ad+云+8与％轴交于A、R两点,交y轴于点。，点。在抛物线上，且点。的坐标为(-2,4),连接8C,

△08C的面积为24.

⑴求抛物线的解析式:

(2)P为第一象限抛物线上一点，连接尸C、PD,设点尸的横坐标为z,APC。的面积为S,求S与，之间的函

数关系式，并直接写的取值范围;

⑶在(2)的条件下，作轴于点E,点F在线段0C上，BE=OF,连接CE,线段跖和CE交于点”，

JOCM+/FBO=45°,求点尸的坐标.

9.(2023上•浙江湖州•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2与x轴交于点儿与

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y釉交于点C,抛物线y=5/+"x+c经过4。两点，与％轴的另一交点为点8,点尸为抛物线上的一个

⑵当△4CP的面积与“8c的面积相等时，求点P的坐标；

⑶是否存在点尸，使得乙4。0，若存在，请直接写出点。的横坐标：若不存在，请说明理

由.

10.（2023上•山东威海•九年级统考期末）如图，二次函数），=如2+区+＜；•的图象与x轴交于48两点，与y

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轴交于点。（0,3）,顶点。的坐标为（T4）.分别连接4）,C24C,8C.

⑴求二次函数的表达式；

（2）求证：ZCAD=/BCO.

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题型四：特殊三角形问题

1.(2023上•辽宁大连•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线旷=/+6+，的图象经过点

4(0,-3),点4(1,一4).

5-

4-

3-

2-

1-

4-3-2-\O12345；.

-1

-2

-3

-4

-5

-6

⑴求抛物线的解析式；

(2)当-2fxM2时，求二次函数y=Y十加十c的最大值和最小值；

⑶若点C是抛物线y=/+以+。对称轴与x轴交点，尸是y轴上一点，点0是该抛物线上一点，当△PCQ

是等腰直角三角形且/尸。。=90。时，求点。的坐标.

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2.(2023上•陕西安康•九年级统考期末)如图，已知抛物线的顶点坐标为伍,T),与x轴交于48两点(点

力在点8的右侧)，与y轴交于点C(0,3),点P在/1C所在直线下方的抛物线上，过点P作尸轴，交

4c于点D.

备用图

⑴求该抛物线的函数解析式；

(2)连接力尸，问是否存在点尸，使得△力尸。是直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理

由.

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3.(2023上•山西阳泉•九年级统考期末)综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线+以一2与x轴

交于点4(70)和点4(4,0),与，轴交于点C,过动点。(0,〃少乍平行于x轴的直线/,直线/与抛物线

(备用图)

⑴求抛物线的表达式；

(2)求/〃的取值范围；

⑶直线/上是否存在一点P,使得尸是以4c为直角边的等腰直角三角形？若存在，求机的值；若不存

在，请说明理由.

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4.（2023上•山西阳泉•九年级统考期末）综合与实践

如图，抛物线y="2+|x+。与x轴交于4B两点（点力在点8的左侧），与y轴交于点C,点8的坐标

备用图

⑴求抛物线的解析式.：

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCQ是以CO为腰的等腰三角形？如果存在，求出点尸的坐标；

如果不存在，请说明理由；

⑶点E在x轴上运动，点尸在抛物线上运动，当以点8,C,E,b为顶点的四边形是平行四边形，直接写

出点E的坐标.

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5.（2023上•山西长治•九年级统考期末）综合与实践

如图，抛物线y=与X轴交于A和8两点（点8在点A的右侧），与V轴交于点C,抛物线的顶

图1图2

⑴求点A,B,C和点。四点的坐标：

（2）如图1,连接。4,ZX?和5C,求AAOC的面积；

⑶点E在抛物线的对称轴上运动，aBCE是以8c为直角边的直角三角形，借助图2,直接写出点E的坐标.

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6.(2023上•山东泰安•九年级东平县实验中学校考期末)如图，抛物线丁=。/+心+。经过点4-2,0),8(4,0),

与y轴正半轴交于点C,且OC=2CM,对称轴交X轴于点E.直线y=〃?x+〃经过8,C两点.

备用图

⑴求抛物线及直线8c的函数表达式；

⑵点厂是直线8c上方抛物线上一点，是否存在点尸使△qC的面积最大，若有则求出点尸坐标及最大面

积；

⑶连接力C，若点尸是抛物线上对称轴右侧一点，点。是直线8C上一点，试探究是否存在以点E为直角顶

点的RtaPE。，且满足tan/E0〃=tan/OC4.若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

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7.（2023上•安徽滁州•九年级校联考期末）抛物线尸V-2〃a-3/（机＞0）与x轴交于4，8两点，/点在

8点左边，与歹轴交于C点，顶点为

⑵如图1,在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且△口（?为等腰三角形，求P点坐标；

⑶如图2,若一次函数，=h+8的图象过4点且与抛物线交于另一点£交对称轴于MG||x轴，FG±MG,

AM±AF.右-----»求----的值.

EF5AB

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8.（2023上•山东东营•九年级校考期末）如图，抛物线y=ad+bx+c交x轴于4、8两点，交y轴于点C，

点,4的坐标为（-1。，点。坐标为（0,3）,对称轴为x=l.点”为线段08上的一个动点（不与西端点重合）,

过点M作PM_Lx轴，交抛物线于点P,交8c于点。

⑴求抛物线及直线8C的表达式；

⑵过点。作PNLAC，垂足为点N.求线段PN的最大值：

⑶试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点。，使得以4C，。为顶点的三角形是等腰三角形.若

存在，请求出此时点0的坐标；若不存在，请说明理由.

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题型五：特殊四边形问题

1.（2022上•辽宁葫芦岛•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+属-3与x轴交于

点,4（-4,0）,40,0）,与V轴交于点C.

图1

⑴求抛物线的函数解析式.

⑵如图1,点E为直线力C下方抛物线上一动点，过点E作N轴的平行线交力C于点。，过点E作％轴的平

行线交y轴于点尸，过点。作X轴的平行线交y轴于点G,得到矩形。EPG,求矩形。七尸G的周长最大值

及此时点£1的坐标;

⑶点P是直线4c上一动点，点。是在平面内一点，当以点A,O,P,。为顶点的四边形是菱形时，请直

接写出点。的坐标.（参考数据：128?=16384,1602=25600）

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2.（2023上•辽宁葫芦岛•九年级统考期末）如图，抛物线y=ax:+（x+c与x轴交于点/（-1,0）和点8,与

y轴交于点。（0,3）,过点C作X轴的平行线交抛物线于点。，点E在直线co上运动.

⑴求抛物线的解析式；

（2）当点七在线段上，点。关于直线of的对称点尸恰好落在y轴上时，求点石坐标；

⑶点P在抛物线上，点。在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E,o,P,。为顶点的四边形是

正方形时，请直接写出点E的坐标.

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3.（2023上•山东东营•九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线

、=h+4分别交X轴、y轴于A,B两点,经过A,8两点的抛物线y=+云+C与X轴的正半轴相交于

⑴求抛物线的解析式；

（2）若P为线段48上一点，ZAPO=ZACB,求4P的长；

⑶在（2）的条件下，设M是V轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点

的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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4.(2023上•重庆开州•九年级统考期末)如图3抛物线y=ad+队-3("0)与工轴交于4(70),8(3,0),

与V轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P、。为直.线8c下方抛物线上的两点，点。的横坐标比点P的横坐标大1,过点P作夕

轴交BC于点M,过点。作。N〃y轴交8c于点N,求PA/+0N的最大值及此时点。的坐标；

⑶如图3.将抛物线y=a/+及_3(“H0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛

物线V，在V的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点8、。、D、七为顶点的四边形是矩

形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标.

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5.（2023上•湖南湘西•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数歹=x2-2x-3与x轴交于力、

8两点（彳点在8点的左侧），直线y=x+〃?与抛物线交于力、C两点.

⑴求点C的坐标；

⑵点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作），轴平行线交4C于E点、，当EP最长时求此时点P的坐标;

⑶抛物线顶点为在平面内是否存在点N,使以4&AAN为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出

N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由.

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题型六：相似三角形问题

1.(2023上•山东威海•九年级统考期末)如图，直线y=x-3与x轴，y轴分别交于点4(3,0),C(0,-3),

经过8,。两点的抛物线歹=-./+版+c与x轴的另一个交点为,4,顶点为P.

备用图

⑴求该抛物线的解析式及点P的坐标；

(2)当0<x<3时，在抛物线上存在点£,使△C8E的面积有最大值，求点£的坐标：

⑶连接力。，点N在x轴上，是否存在以8,P,N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐

标；若不存在，说明理由.

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2.（2023上•广西百色•九年级统考期末）如图，二次函数y=--+云+c的图像与x轴交于点4（_网，5（2X））,

⑴求这个二次函数的解析式：

⑵若点M在此抛物线上，且在y轴的右侧.。/与y轴相切，过点M作轴，垂足为点。.以C,

。，M为顶点的三角形与“OC相似，求点M的坐标.

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3.（2023上•湖北十堰•九年级统考期末）如图，二次函数y=a/+云+4的图象与工轴交于点力（-1，0）,B

两点，与y轴交于点C,并且。。=。8,。是抛物线的一个动点，_Lx轴于点R交直线EC于点E.

⑴求出二次函数解析式及8c所在直线的表达式；

（2）在点。运动的过程中，试求使以。，C,D,E为顶点的四边形为平行四边形的点。的坐标；

⑶连接C。，在点。运动的过程中，抛物线上是否存在点。，使得以点。，C,E为顶点的三角形与ABEF

相似？如果存在，求出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.

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4.(2023上•广东河源•九年级校考期末)如图，抛物线J，">?+及+,经过点力(-2,0)和点5(4,0),与卜

轴交于点C，顶点为。，连接力C、BC,4c与抛物线的对称轴/交于点£

⑴求该抛物线的函数表达式:

(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接P3,PC,当四边形。8PC面积取最大值时，求点户的坐标;

⑶点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M,使得以N,E为顶点的三角形与

△03C相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

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5.（2023上•河北保定•九年级校考期末）如图，抛物线+区与》轴交于O,4两点，。（2,5）是抛物

线的顶点，CD_Lx轴于点Q.

⑴求抛物线的解析式.

（2）户为抛物线上位于点4C之巨的一点，连接。夕，若OP恰好平分△CO。的面积，求点尸的坐标.

⑶。为抛物线上位于点4C之间的一点，连接作。ELr轴于点£是否存在点。使得AOC力与△。。£

相似.若存在，请直接写出点。的横坐标的值；若不存在，请说明理由.

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6.(2023上•河南省直辖县级单位•九年级校联考期末)已知抛物线歹=。/+取+3与x轴分别交于点

力(-3,0),5(1,0),对称轴CO与x轴交于点C,顶点为。.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P为。。右侧抛物线上的一个动点(点尸与顶点。不重合)，PQ上CD于点。,当与△力CO

相似时，求点。的坐标.

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答案与解析

题型一：线段周长问题

1.(2023上•山西晋城•九年级校考期末)如图1,抛物线歹=。/+8+3与x轴交于力(TO),6(4,0)两点,

与y轴交于点C,顶点为。.点P是直线8c上方抛物线上的一个动点，过点P作尸轴于点E,交直线

8c于点。.

图1

⑴求抛物线的表达式;

⑵求线段。。的最大值;

(3)如图2,过点P作x轴的平行线交y轴于点连接。是否存在点P,使得APOM为等腰三角形？若

存在，请直接写出点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴"一32+++3

(2)3

⑶存在一点尸，当点尸的横坐标为g时，APOM为等腰三角形

【分析】(1)利用待定系数法求解即可;

⑵先求出点。的坐标，进而求出直线叱的解析式，设小(，-3"+之93卜、则。31

"7,—m+3,则

4J

=2).3,由此即可求出答案；

4

(3)先证明PQ_LPM,则当△尸。“为等腰三角形，只存在。〃=尸。这一种情况，设

则。r〃，-39+3、，则-3；/+3〃=〃，解方程即可.

I4J4

"8+3=0

【详解】(1)解：把力(一1,0),5(4,0)代入)，=&+队+3中得：,

16a+4b+3=0'

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3

a=—

.4

••人9，

b=一

4

7O

・••抛物线解析式为y=—=/+：x+3；

（2）解：设直线4c的解析式为了二h+4，

3、9

在/=———+—*+3中，当K-0时，＞一3,

44

・•・C（0,3）,

4k+=0

把C（0,3）,8（4,0）代入卜=依+〃中得.

叱3

K,_—_—3~~

・•.4,

b、=3

:.直线BC的解析式为y=-。+3,

4

(3,9、(3

设户|/〃，—m'+—m+3,贝l]Qm,—m+3

I44J4

:.PQ-+~nj+3一(一+3)

32923?

=—m+—m+3+—-3

444

上〃"〃

4

-^(m-2)2+3,

；--<0,

4

・•・当切=2时,产。有最大值,最大值为3；

(3)解：・・・PQ_Lx轴,PM〃x轴，

・•.PQ1PM,

・•.当APQM为等腰三角形，只存在尸M=P0这一种情况,

设P(〃,—=〃2+,+3),则0(〃,一1〃+3],

I44J'I4J

3

同理可得尸。=--n2+3n,

4

又•:PM=n，

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.3.

,•—n2+3n=n,

4

Q

解得〃=:或〃=0,

Q

，存在一点P,当点夕的横坐标为I时，APQW为等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的

定义等等,熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

2.（2023上•河北张家口•九年级张家II东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=G2+八一3

与工轴交于力，B两点、,与y轴交于点C,AB=4,OA=3OB,点Q是直线力。下方抛物线上的一个动点.过

点P作PE〃x轴，交直线力。于点E.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则8A/+CM的最小值是

⑶求尸片的最大值；

【答案】（l）y=/+2x-3

（2）3后

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可：

（2）先求出点C的坐标为（0,-3）,根据A、8关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出

AM=BM,根据A/B+MC=4U+MC,两点之间线段最短，当点八、M、C在同一直线上时，4U+MC最

小，即M8+MC最小，求出最小值即可；

⑶求出直线"的解析式为y=-x-3,设尸9/+2—3）,其中一3</<0,则网-/_24+2-3）,求

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(，丫()39

出产后=一〃一2/T=-〃一8=一/+—+—，得出当1=时，PE取得最大值

I2)424

【详解】(1)解：VAB=OA+OB=4,0A=30B,

：.OB=\,OA=3,

・・・4(-3,0),3(1,0),

将点力，8的坐标代入y=a?+卧一3,得

9a-3b-3=0

9+力-3=0'

fa=1

解得：,今，

b=2

/.y=x2+2x-3.

(2)解：把x=0代入y=/+2x-3得：尸-3,

・••点。的坐标为(0,-3),

•・•A、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，

AAM=BM,

：,MB+MC=AM+MC,

•・•两点之间线段最短，

・•・当点力、M、。在同一直线上时，4M+MC最小，即M8+MC最小，

：.MB+MC的最小值为AC的长，

,•*AC=\l32+32=3及»

•••M8+MC的最小值为3后.

故答案为：34.

(3)解：设直线4C的解析式为y=h+”,

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将点4C的坐标代入，得:

-3k+m=0

m=-3

k=-T

解得：＜

m=-3

・•・百线AC的解析式为y=-x-3,

设P(f/+2—3),其中-3vfv0,

则E(_/_2f/+2”3),

；・PE=-J-3=-,+I）+',

.•.当/=-13时，抬取得最大值9

9

即PE的最大值为

4

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，

解质的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质.

3.（2023上•湖北随州•九年级统考期末）已知抛物线y=W—4r+3与X轴交于点A,B（点A在点Z?的左

⑵如图1,若平行于x轴的直线EF与抛物线交于点石，F（点足在点尸的左边），与线段CO交于点M.设

点E的横坐标为/,线段的长为例，试求〃?关于/的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并

求EM的最大值;

⑶如图2,若点。是在V轴右侧抛物线上的一动点，过点P作尸N〃歹轴交线段8c于点N,连接尸8,是否

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存在这样的点P,使△P8N是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）3（3,0）,C（0,3）,D（2,-l）

⑵加=7

22

⑶存在，（1,0），（2,-1）,（72,5-4^）

【分析】（1）将解析式y=W—4¥+3化为顶点式即可求得点。顶点坐标，分别令x,y=0,得出点反。的

坐标；

（2）得出CO的解析式，=-2x+3,根据题意得出〃?关于/的函数关系式为小二-，、/,根据二次函数的

性质即可求解；

（3）根据题意分尸8=。'8乂=80"廿=8?/三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可.

【详解】（1）解：•・•；；=£—4x+3=（x-2）、l,

・•.顶点。（2,—1）,

令广=0,贝帖=3,

・•・C（0,3）,

令J=o,则/4xI3-0,

解得：石=1,"3,

・•・8（3,0）,

・•・8（3,0）,0（0,3）,D（2,-l）；

（2）设直线CO的解析为），=仆+3则力=3,

将点。（2,-1）代入得，2k+b=—l,

・・・上=一2,

7=-2x+