人教版九年级数学上册期末试卷

2015-2016学年江西省宜春市九年级(上)期末数学试卷

一・选择题

1.抛物线y=(x+2)2+i的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)

2.下列汽车标记中，是中心对称图形的有()个.

A.1B.2C.3D.4

3.下列说法正确的是()

A.“随意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事务

B.“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大

C.“某彩票中奖概率是1%”，表示买10。张这种彩票肯定会中奖

D.晓芳抛一枚硬币1。次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面对上的概率为

7

Io

4,二次函数y1=x2-2x-l与反比例函数丫2=-2(x>0)的图象在如图所示的同一

X

坐标系中，若y1>y2时，则x的取值范围()

A,-1<x<1或x>2B.1<x<2

C,x<1D.OVxVl或x>2

5.在平面直角坐标系xOy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

6•如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B、

C都不重合），现将4PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作NBPF

的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中，能表示y与x的函数关

系的图象大致是（）

二.填空

7,请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式.

8,已知x=。是方程x?+bx+b—3=。的一个根，则此方程的另一个根为—.

9.将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位:

升/千米）之间是反比例函数关系S=K（k是常数，k^O）.已知某轿车油箱注满油

a

后，以平均耗油量为每千米耗油。」升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量

为。.08升/千米时，该轿车可以行驶一千米.

10.学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）

报名参与，现从中各选一名女生和一名男生参与合唱团，小明估算了一下，自己被选

中的概率为七，则共有名男生报名.

13----

11.如图，AAE。和△CDO是以点。为位似中心的位似图形，若点A(3,4),

点C(1.5,2),点D(2,1),则点D的对应点B的坐标是

12.元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的网锥形小丑

帽子侧面(接缝忽视不计)，假如做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm,则这

张扇形纸板的圆心角应为一度.

13.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行

车车桩的截面示意图如图所示，AB1AD,AD1DC,点B,C在EF上，EF//HG,

EH1HG,AB=75cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,贝lj点A至ij地面的距离

是cm.

14.如图，P是抛物线y=x2-4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径

作。P,当。P与直线y=。相切时，点P的坐标为.

三、解答题

15.已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0

(1)若原方程有实数根，求k的取值范围？

(2)选取一个你喜爱的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知等边aOAB的顶点A在反比例函数y=&反(x

x

>0)图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边AOAB顶点A的坐标

17,仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线(保留作图痕迹，并简要的写出作图过程).

18.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(OA=1米)弹跳到人梯顶端椅子

B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P(4,普)

(1)若将其身体(看成一个点)的路途为抛物线的一部分，求抛物线的解析式.

(2)在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶

端椅子B处算表演胜利，为了这次表演胜利，人梯离起跳点A的水平距离0C是多少

米？请说明理由.

四.解答题

19.某公司在羊年春节晚会上实行一个嬉戏，规则如下：有4张背面相同的卜片，正

面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400

元、20。元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有

两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金.现有两种抽取的方案：

①小芳抽取方案是：干脆从四张牌中抽取两张.②小明抽取的方案是：先从四张牌中

抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张.你认为是小明抽到的奖金不少于1000

元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于100。元的概率大？请用树形图或列表法进

行分析说明.

20.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，aABC的三个

顶点都在格点上如图，已知直线PA交OO于A、B两点，AE是。。的直径，点C

为。。上一点，且AC平分NPAE,过C作CD1PA,垂足为D.

(1)求证：CD为OO的切线；

(2)若CD=2AD,OO的直径为20,求线段AC、AB的长.

E

22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,6),B(8,0).点P从A点动

身，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O动身，以每秒2个单位的

速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动.

(1)求运动时间t的取值范围；

(2)t为何值时，APOQ的面积最大？最大值是多少？

(3)t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt^AOB相像?

五、(本大题共10分)

23.每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，很多商家都会利用这个契机进行打折

让利的促销活动.甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价8。元.

(1)“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均

每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%?(福忆0.83)

(2)据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上

标价后再推出促销活动，存在欺诈行为.“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的

成本、网上标价与甲网店一样，一周可售出6。件A商品.在“双十一”购物活动这

天，乙网店先将网上标价提高a%,再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者,

乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量

增加了a%,这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双

十一”购物活动这天的网上标价为多少？

六、(本大题12分)

24.课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：假如一个动

点M(x,y)到定点A(0,m)(m>0)的距离与它到定直线y=-m的距离相等,

则动点M形成的图形就是抛物线y=ax2(a>0)的图象，如图所示.

(1)探究：当xw。时，a与m有何数量关系？

(2)应用：已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与到定直线y=-4的距离

相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式.

(3)拓展：依据抛物线的平移变换，抛物线丫=2(x-l)2+2的图象可以看作到定

点A(—,—)的距离与它到定直线y=—的距离相等的动点M(x,y)所形

成的图形.

(4)若点D的坐标是(1,8),在(2)中求得的抛物线上是否存在点P,使得PA+PD

最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

"y><

?^7ax2

0：>x0

By=-M

备用图

2015-2016学年江西省宜春市九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一・选择题

1.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)

【考点】二次函数的性质.

【分析】已知抛物线的顶点式可干脆写出顶点坐标.

【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是(-2,

1).

故选C.

【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线丫=(x+a)2+h中，其顶点坐标

为(-a,h).

2.下列汽车标记中，是中心对称图形的有()个.

A.1B.2C.3D.4

【考点】中心对称图形.

【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念推断即可.

【解答】解：第一个图形是中心对称图形；

其次个图形不是中心对称图形；

第三个图形是中心对称图形；

第四个图形不是中心对称图形.

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是找寻

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180度后

两部分重合.

3.下列说法正确的是（）

A.“随意画一个三角形，其内角和是360。”是随机事务

B.“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大

C.“某彩票中奖概率是1%”，表示买1。。张这种彩票肯定会中奖

D.晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面对上的概率为

7

Io

【考点】概率的意义；随机事务.

【分析】依据随机事务的概念以与概率的意义结合选项可得答案.

【解答】解：A、随意画一个三角形，其内角和是360。是不行能事务，故此选项错

误；

B、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大，该说法正确，故此

选项正确；

C、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误;

D、由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一

样的，即正面对上的概率为之，故此选项错误.

故选B.

【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事务和必定事务的概念的区分.

4.二次函数yi=x2-2x-l与反比例函数丫2=-2（x>0）的图象在如图所示的同一

X

坐标系中，若y1>y2时，则x的取值范围（）

C,x<1D.Ovxvl或x>2

【考点】二次函数与不等式（组）.

【分析】干脆求出两函数图象的交点横坐标，进而得出y1>y2时x的取值范用.

【解答】解：由题意可得：X2-2X-1=-2,

X

解得：X1=l,X2=2,即两函数图象的交点横坐标为：1,2;

则yi>y?时，Ovxvl或x>2.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出函数交点横坐标是解题关键.

5.在平面直角坐标系xOy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质.

【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再依据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆

心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切.

【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3〈半径4,

所以圆与y轴相交，

故选C.

【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆

相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切.

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B、

C都不重合），现将4PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作NBPF

的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中，能表示y与x的函数关

系的图象大致是（）

【考点】动点问题的函数图象.

【专题】压轴题.

【分析】证明△BPEs^CDP,依据相像三角形的对应边的比相等求得y与x的函数

关系式，依据函数的性质即可作出推断.

【解答】解:VZCPD=ZFPD,ZBPE=ZFPE,

又•.•/CPD+/FPD+NBPE+NFPE=180°,

/.ZCPD+ZBPE=90°,

又•••直角ABPE中，ZBPE+ZBEP=90°,

/.ZBEP=ZCPD,

又・・・NB=NC,

/.△BPE^ACDP,

・•・黑春，即全仁，则y=-^^声，y是x的二次函数，且开口向下.

VDIVJ。XJJ

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知

数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明ABPES/XCDP是关键.

二.填空

7.请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式y=x2.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【专题】计算题；二次函数图象与其性质.

【分析】开口向上即为a大于。，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0,写出满

意题意的抛物线解析式即可.

【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2.

故答案为：y=x2

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式的关系

为：两个交点即为根的判别式大于0；一个交点即为根的判别式等于0；没有交点即

为根的判别式小于0.

8.已知x=0是方程x2+bx+b-3=。的一个根，则此方程的。一个根为-3.

【考点】根与系数的关系.

【分析】依据方程的解的定义求出b的值，依据根与系数的关系列式计算即可.

【解答】解：.・.x=0是方程x2+bx+b-3=0的一个根，

.'.b-3=0,

解得,b=3

设方程的另一个根为a,

贝i]a+0=-3,

解得，a=-3,

故答案为：-3.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,驾驭一元二次方程ax2+bx+c=0

（a^O）的根与系数的关系为：x1+x2=-^,*】咏2=£是解题的关键.

aa

9.将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位:

升/千米）之间是反比例函数关系s=K（k是常数，k^O）.已知某轿车油箱注满油

a

后，以平均耗油量为每千米耗油。」升的速度行驶，可行驶76。千米，当平均耗油量

为。.08升/千米时，该轿车可以行驶950千米.

【考点】反比例函数的应用.

【分析】依据“以平均耗油量为每千米耗油。J升的速度行驶，可行驶76。千米”利

用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值,再带入a=0.08求出S即可得出结论.

【解答】解：.•・以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，

...760=卷,解得：k=76,

JL

・••当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S=^=950（千米）.

U.Uo

故答案为：950.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关健是利用反比例函数图象上的坐标

特征求出k值.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据点的坐标利用

反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键.

10.学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）

报名参与，现从中各选一名女生和一名男生参与合唱团，小明估算了一下，自己被选

中的概率为白，则共有15名男生报名.

1D

【考点】概率公式.

【分析】设共有X名男生报名，再干脆依据概率公式求解即可.

【解答】解：设共有X名男生报名，

•・・从中选一名男生参与合唱团，小明被选中的概率为今，

•二=心，解得x=15（名）.

X1D

故答案为：15.

【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事务的概率公式是解答此题的关键.

11.如图，△ABO和△CDO是以点。为位似中心的位似图形，若点A（3,4）,

点C（1.5,2）,点D（2,1）,则点D的对应点B的坐标是一（4,2）.

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】利用位似是特别的相像，若两个图形aABC和AA'B'C'以原点为位似

中心，相像比是k,aABC上一点的坐标是（x,y）,则在4A'B'C'中，它的对

应点的坐标是（kx,ky）或（-kx,-ky）.

【解答】解：,「△ABO和△CDO是以点。为位似中心的位似图形，点A（3,4）,

点C（1.5,2）,

.・•点D（2,1）的对应点B的坐标是：（2X2,1X2）即（4,2）.

故答案为（4,2）.

【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相像的关系，记忆以原点

为位似中心的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.

12.元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的网锥形小丑

帽子侧面（接缝忽视不计），假如做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm,则这

张扇形纸板的圆心角应为144度.

【考点】圆锥的计算.

【分析】首先依据地面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得圆锥的弧长，利用弧长

公式求解即可.

【解答】解：..・圆锥的底面半径为10cm,

•.圆锥的底面周长为2071cm,

设侧面绽开扇形的圆心角为n°,

依据弧长公式得：碗胃5,=20兀，

1OU

解得：n=144,

故答案为：144.

【点评】考查圆锥的计算，用到的学问点为：圆锥的底面周长=侧面绽开图的弧长；

13.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行

车车桩的截面示意图如图所示，AB1AD,AD1DC,点B,C在EF上，EF//HG,

EH±HG,AB=75cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,贝ij点A至!J地面的距离

是76cm.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】分别过点A作AM1BF于点M,过点C作CN1AB于点N,利用勾股定理

得出BN的长，再利用相像三角形的判定与性质得出即可.

【解答】解：过点A作AM1BF于点M,过点C作CN1AB于点N,如图所示：

・「AD=24cm,贝ijNC=24cm,

BN=7BC2-NC2=7252-242=7(cm),

•/ZAMB=ZCNB=90°,ZABM=/CBN,

.,.△BNCc^ABMA,

.AB_CN

.75_

,,西在，

解得：AM=72,

故点A到地面的距离=72+4=76(cm).

故答案为：76.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以与相像三角形的判定与性质，得出△BNC

^△BMA是解题关键.

14.如图，P是抛物线y=x2-4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径

作。P,当。P与直线y=0相切时，点P的坐标为（2+近，1）或（2-近,1）或

【分析】OP与直线y=0相切时就是：OP与x轴相切，半径为1个单位长度，即点

P的纵坐标|y|=i,依据P是抛物线y=x2-4x+3上的一点，代入计算出x的值，并

写出点P的坐标，一共有3种可能.

【解答】解：当y=l时，X2-4X+3=1,

解得:x=2±V2,

・•.P（2+V2,1）或（2-也1）,

当y=-1时，x2-4x+3=-1,

解得：X]=X2=2,

「•P（2,-1）,

则点P的坐标为：（2+近，1）或（2-V2,1）或（2,-1）.

【点评】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，首先理解圆的半径和点P的

纵坐标有关，且点P又在抛物线上，X、y的值满意解析式，所以列一元二次方程可求

解.

三、解答题

15.已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0

(1)若原方程有实数根，求k的取值范围？

(2)选取一个你喜爱的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程.

【考点】根的判别式.

【分析】(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，

解不等式即可得出结论；

(2)依据(1)的结论，选k=-2,将其代入原方程，利用分解因式法解方程，此题

得解.

【解答】解：(1)由已知得：

△=[—(2k-1)F-4k2=-4k+1>0,

解得：

・,・若原方程有实数根，k的取值范围为

(2)当k=-2时，原方程为X2—5X+4=(x-1)(x-4)=0,

解得:Xj=l,X2=4.

【点评】本题考查了根的判别式以与解一元二次方程，解题的关键是：(1)得出一

4k+l>0;(2)娴熟驾驭一元二次方程的解法.本题属于基础题，难度不大，解决

该题型题目时，依据根的个数结合根的判别式得出不等式是关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知等边AOAB的顶点A在反比例函数(x

x

>0)图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边aOAB顶点A的坐标

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角

形的性质.

【分析】依据等边三角形的性质和反比例系数k的几何意义即可求得A的在以与三角

形AOC的面积，进而求得三角形AOB的面积.

【解答】解：当点B在x轴上时，如图1,

作AC1OB于C,

•••△AOB是等边三角形，

设OC=x,

/.AC=V3x,

.'.A(x,V3x),

•・・顶点A在反比例函数丫=越(x>0)图象上，

x

二.x,V5x=4在，

.*.x=2,

二.A(2,2A/3)；

当点B在y轴上时，如图2,

作ACly轴于C,

・「△AOB是等边三角形，

设OC=y,

.,.AC=V3y,

二.A(何，y),

•・,顶点A在反比例函数丫=越(x>0)图象上,

x

・..y=2,

「.A(2V3,2);

【点评】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数

图象上点的坐标特征.

17.仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线(保留作图痕迹,并简要的写出作图过程).

【分析】干脆利用垂径定理以与全等三角形的判定与性质和切线的判定方法得出答案.

【解答】解：1、AB的中垂线与BC的中垂线的交点即为圆心O;

2、连接OC并构造RtAOEC也RtZXCFD;

【点评】此题主要考查了困难作图以与切线的判定与性质，正确找到圆心的位置是解

题关键.

18.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（OA=1米）弹跳到人梯顶端椅子

B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P（4,号）

（1）若将其身体（看成一个点）的路途为抛物线的一部分，求抛物线的解析式.

（2）在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶

端椅子B处算表演胜利，为了这次表演胜利，人梯离起跳点A的水平距离0C是多少

米？请说明理由.

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,由已知条件可知h和k的值,

再把点A的坐标代入求出a的值即可；

(2)由BC=3.4米，可知点B的纵坐标为3.4,把其纵坐标代入抛物线的解析式求

出其横坐标，即可得到人梯离起跳点A的水平距离OC.

【解答】解:

(1)设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,

・・.最高处点P(1,号),

・L_5,_19

・上二彳，k=—,

・・・/y=a(x--5)、22,+1—9,

•/OA=1米,

.・•点A的坐标为(0,1),

•••…争粤，

44

解得：a=-|,

.,.y=一~|(x--|-)2+^-=--|x2+3x+l;

(2)・・・BC=3.4米,

・・・B的纵坐标为3.4,

.*.3.4=--1-x2+3x+l,

b

解得：x=4或1,

人梯离起跳点A的水平距离OC是4米.

【点评】本题考查点的坐标的求法与二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助

二次函数解决实际问题.

四.解答题

19.某公司在羊年春节晚会上实行一个嬉戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正

面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1。0。元、6。0元、40。

元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有

两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金.现有两种抽取的方案：

①小芳抽取方案是：干脆从四张牌中抽取两张.②小明抽取的方案是：先从四张牌中

抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张.你认为是小明抽到的奖金不少于10。0

元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1。。。元的概率大？请用树形图或列表法进

行分析说明.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】计算题.

【分析】先利用树状图展示两种方案的全部等可能的结果数，利用概率公式求出小明

抽到的奖金不少于100。元的概率和小芳抽取到的奖金不少于1。0。元的概率，然后

比较概率的大小即可.

【解答】解:小芳抽取方案

画树状图为:

1000600

6004002001000400200

200

1000600200600400

共有12种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1。。。元的概率=得=得；

JL4J

小明抽取的方案:

1000

1000600400

共有16种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于10。。元的概率=提=称

10o

因为日

所以小明抽到的奖金不少于1000元的概率大.

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示全部等可能的结

果n,再从中选出符合事务A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事务A或B

的概率..

20.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，AABC的三个

顶点都在格点上如图，已知直线PA交OO于A、B两点，AE是。。的直径，点C

为。。上一点，且AC平分NPAE,过C作CD1PA,垂足为D.

(1)求证：CD为OO的切线；

(2)若CD=2AD,OO的直径为20,求线段AC、AB的长.

E

【考点】切线的判定.

【分析】(1)欲证明CD为。。的切线，只要证明NOCD=90°即可.

(2)作OF1AB于F,设AD=x,贝I」OF=CD=2x,在RtaAOF中利用勾股定理列

出方程即可解决问题.

【解答】证明：(1)连接OC.

•・•点C在。。上，OA=OC,

.,.ZOCA=ZOAC,

,.,CD1PA,

/.ZCDA=90°,

.-.ZCAD=ZDCA=90°,

〈AC平分/PAE,

/.ZDAC=ZCAO,

・•・/DCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZDAC=90°,

・・・CD是。O切线.

(2)作OF1AB于F,

ZOCD=ZCDF=ZOFD=90°,

.•・四边形CDFO是矩形，

/.OC=FD,OF=CD,

•.•CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x,

,/DF=OC=10,

AF=10—x,

在RtAAOF中，AF2+OF2=OA2,

(10-x)2+(2x)2=102,

解得x=4或。(舍弃)，

・・.AD=4,AF=6,AC=4幅

•/OF1AB,

/.AB=2AF=12.

【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等学问，解题的关键是

敏捷应用这些学问解决问题，属于中考常考题型.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,6),B(8,。).点P从A点动

身，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O动身，以每秒2个单位的

速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动.

(1)求运动时间t的取值范围；

(2)t为何值时，APOQ的面积最大？最大值是多少？

(3)t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与RtZXAOB相像？

匕

【考点】一次函数综合题.

【分析】(1)由点Q从。动身，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B

点时，P、Q两点同时停止运动，可得：2t=8,解得：t=4,进而可得：0&t<4;

(2)先依据三角形的面积公式，用含有t的式子表示aPOQ的面积=-t2+6t,然后

依据二次函数的最值公式解答即可；

(3)分两种状况探讨：①RtZ\POQsRt/\AOB;(2)RtAQOP^RtAAOB,然后依

据相像三角形对应边成比例，即可求出相应的t的值.

【解答】解：⑴.・・点A(0,6),B(8,0),

.*.OA=6,OB=8,

・・•点Q从。动身，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q

两点同时停止运动，

.\2t=8,

解得：t=4,

/.0<t<4;

(2)依据题意得：经过t秒后，AP=t,OQ=2t,

.*.OP=OA-AP=6-t,

・「△POQ的面积］2P・OQ,

即△POQ的面积=,x(6-t)X2t=-t2+6t.

・「a=-1v0,

・・.△POQ的面积有最大值,

当t=--^=3时，^POQ的面积的最大值="/1=9,

za4a

即当t=3时，APOQ的面积最大，最大值是9.

（3）①若RtAPOQcz）RtAAOB时，

•「Rt△POQsRt△AOB,

.PO0Q

即平吟，

0o

解得：t=卷；

②若RtAQOP^RtAAOB时，

,.,RtAQOP^RtAAOB,

.OQ_0P

一而力，

畔口

0o

解得：t="l.

所以当t为后或普时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt^AOB相像.

b11

【点评】此题是一次函数的综合题型，主要考查了三角形的面积，二次函数的最值，

相像三角形的判定与性质，第（3）问的解题的关键是：分两种状况探讨：①RtZXPOQ

c^RtAAOB;©RtAQOP^RtAAOB.

五、（本大题共10分）

23.每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，很多商家都会利用这个契机进行打折

让利的促销活动.甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价8。元.

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均

每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%?（旧70.83）

(2)据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上

标价后再推出