人教版七年级下册数学期末解答题测试试卷(含答案)

人教版七年级下册数学期末解答题测试试卷（含答案）

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

2.（1）如图，分别把两个边长为1。机的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一

cm.

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2加病,设圆的周长为。，正方形的周长

为C正，则C网册（填“=〃或""或""号）；

（3）如图，若正方形的面积为400（7〃2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为300c〃?2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2,他能裁出吗？请说明理由？

3.喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长

为3dm,宽为2dm,且两块纸片面积相等.

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）

（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为2dm2和3dm2,亮亮认为两

个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸

片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：V2«1.4I4,6=1.732）

4.有一块面积为100c”的正方形纸片.

（1）该正方形纸片的边长为cm（直接写出结果）；

（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90c”2的长方形纸片，使它的长宽之比

为4：3.小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？

5.求下图4x4的方格中以影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.已知，4811。&点C在48上方，连接8C、CD.

（1）如图1,求证：ZBCDIZCDC=ZADC；

（2）如图2,过点C作CF_L8c交E。的延长线于点F,探究NA8c和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接G8并延长至点M

若BH平分NABC,求/BGD-ZCGF的值.

7.己知，AE//BD,NA=ZD.

（1）如图1,求证：ABilCDx

（2）如图2,作44£的平分线交CO于点尸，点G为AA上一点，连接尸G,若NCR；的

平分线交线段4G于点〃，连接AC,若ZACE=/BAC+/BGM,过点〃作阳交

AG的延长线于点/，且3NE—5乙4切=18。，求NEA广+NGM〃的度数.

E

DC

8.如图1,点E在直线/W、0c之间，且NOE4+ZA3E—NC/M=180。.

（1）求证：AB//DC；

（2）若点尸是直线84上的一点，且ZBEF=ZBFE,EG平分NOE8交直线A8于点G,

若ND=20。,求的度数；

（3）如图3,点N是直线AB、。。外一点，且满足NCOM=!NCOE,

/ABN=；/ABE,ND与BE交于点M.已知NCDM=a（0。va<12。），旦BNHDE,则

NNM3的度数为（请直接写出答案，用含口的式子表示）.

9.如图1,AB//CD,点E、尸分别在AB、CD上，点。在直线48、C。之间，且

ZEOF=100°.

CDCD

图1图2

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与3。的延长线有交点，当点M在线段

8。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出乙4与NC所有可能的数量关系.

12.(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折

射现象，如图1,光线Q从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b,根据光学

知识有N1=N2,N3=N4,请判断光线。与光线b是否平行，并说明理由.

(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与

镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线。与水平线0C的夹角为40。，问如何放

置平面镜仞N,可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角)

(3)如图3,直线所上有两点4C,分别引两条射线AB、CD.ZBAF=105°,

/DCF=65°,射线A3、C。分别绕八点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转

动，设时间为t,在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CO与A8平行？

若存在，求出所有满足条件的时间t.

13.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、

CD、OE,做成折线人8CQE,如图1,且在折点8、C、。处均可自由转出.

(1)如图2,小明将折线调节成4=50%ZC=85°,ZD=35°,判断/W是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若NC=NO=35。，调整线段43、4c使得4B//CO求出此时DA的度数，

要求画出图形，并写出计算过程.

(3)若NC=85。，ZD=35°,ABUDE,请直接写出此时D8的度数.

14.如图1,E点在8c上，NA=N。，4811CD.

(1)直接写出/AC8和N8E。的数量关系；

(2)如图2,8G平分N/8E,与NCDE的邻补角NEOF的平分线交于"点.若NE■比/”

大60。,求NE；

(3)保持(2)中所求的NE不变，如图3,8M平分NA8E的邻补角NE8K,ON平分

NCO邑作BPIIDN,则NPBM的度数是否改变？若不变，请求值：若改变，请说理由.

15.已知：八8C和同一平面内的点。.

(1)如图1,点。在BC边上，过。作OE//84交AC于E,DF"CA交AB于F.根据题

意，在图1中补全图形，请写出N即尸与口AC的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,点。在3。的延长线上，DFIICA,NEDF=NBAC.请判断OE与区4的位

置关系，并说明理由.

(3)如图3,点。是外部的一个动点.过。作DE//8A交直线AC于七，DFHCA交

直线A8于广，直接写出/ED尸与N8AC的数量关系，并在图3中补全图形.

四、解答题

16.(1)如图1,/84。的平分线4£与/88的平分线&交于点£,ABWCD,

Z4DC=50°,N48c=40°,求NAEC的度数；

图1图2

图3

(2)如图2,/84。的平分线4£与/88的平分线小交于点&ZADC=a°tZABC=^°,

求NAEC的度数；

(3)如图3,PQ_LMN于点。，点4是平面内一点，A8、AC交MN于B、C两点，4。平

NADP

分/BAC交PQ于点D,请问/ICR―—的的值是否发生变化?若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

17.如图，在4AAe中，AO是高，A£是角平分线，N3=20。，ZC=60°.

A

(1)求/。。、ZAEC和NE4O的度数.

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当/8=30。，ZC=60°,则

ZE4£>=°.

当N8=50°,NC=60°时，则/行4力=°,

当N8=60。，NC=60°时，则ZE4D=。.

当N8=70。，NC=60°时，则ZE4D=。.

(3)若D8和NC的度数改为用字母。和夕来表示，你能找到NE4。与。和夕之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

18.如图1,已知A8IIC0,8E平分/AB。，DE平分/8DC.

(1)求证：ZBED=90°^

(2)如图2,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点、,ZEDF=a,/A8F的角平

分线与NCDF的角平分线DG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

(3)如图3,延长BE交CO于点H,点F为线段EH上一动点，N£8M的角平分线与

NFDN的角平分线交于点G,探究N8G。与N8FD之间的数量关系，请直接写出结

论：.

ZACB=NEDF=90,/4BC=ZBAC=45：ZDFE=30,NDEF=60.

(1)若AZ)律如图1摆放，当ED平分NPEF时,证明：FW分乙EFM.

图1

(2)若A/\5C,A£>EF如图2摆放时，则NPDE=

图2

(3)若图2中固定，将ADE尸沿着AC方向平移,边Q户与直线PQ相交于点G.

作/尸GQ和NGK4的角平分线G"、尸"相交于点〃(如图3),求NG"/的度数.

图3

(4)若图2中△£)£厂的周长35c/=5C7〃，现将AABC固定，将ME/沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△DEA，点。、E的对应点分别是。'、请直接写

出四边形。石4。'的周长.

(5)若图2中ADM固定，(如图4)将AA8C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线4N首次重合的过程中，当线段AC与A/死产的一条边平行时，请直接写出旋

点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作bJJi,点E在直线卜上，点D的

下方.

(1)b与b的位置关系是:

(2)如图1,若CE平分/BCD,且NBCD=70。，则NCED=°,ZADC=

(3)如图2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=ZDFG；

(4)如图3,若NDBE=/DEB,点C在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点（：的运动过程中，探索NN:NBCD的值是否变化，若变化，请说明理由;

若不变化，请直接写出比值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）72;（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可：

【详解】

解：（1）二•小正方形的边长为1cm,

一.小正方形的面积为1cm2,

••・两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm.

x2=2,

•*-x=4i

大正方形的边长为&cm；

（2）设圆的半径为r,

由题意得乃产=2n»

r=应，

Gu=2乃r-2乃五,

设正方形的边长为。

/=21，

G/方，

.G._2.夜

"二一4后―2-<

故答案为：V;

(3)解：不能裁剪出，理由如下：

,•,正方形的面积为900cm2,

正方形的边长为30cm

长方形纸片的长和宽之比为5:4,

了.设长方形纸片的长为5x,宽为4x,

则5.『4x=740,

整理得：/=37,

(

5x)2=25X2=25X37=925>9(X),

/.(5x)2>3()2,

5工>30,

长方形纸片的长大于正方形的边长，

・••不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.(1);(2)；(3)不能裁剪出，详见解析

【分析】

(1)根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

(2)由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求

得圆和正方形

解析：(1)x/2:(2)<；(3)不能裁剪出，详见解析

【分析】

(1)根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

(2)由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

(3)利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：(1)•••小正方形的边长为1cm,

小正方形的面积为lcm\

两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

大正方形的边长为0cm,

（2）/rr2=2/r,

Q=2;rr=24&,

设正方形的边长为。

a2=2几,

•a=5/2^，

=4a=442K,

••金一而一亏一下"

故答案为：v：

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

;长方形纸片的长和宽之比为3:2,

・•・设长方形纸片的长为3x,宽为〃，

贝iJ3x-2x=300,

整理得：X2=5O,

（3x）2=9x2=9x50=450,

,/450>400,

（3x）2>2（）2,

3x>20,

「•长方形纸片的长大于正方形的边长，

「•不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

3.（1）；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方艰的

意义即可求出x的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个

解析：（1）5/6dm；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为xdm,根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义

即可求出X的值：

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并

与3比较即可解答.

【详解】

解:（1）设正方形边长为.xdm,则V=2X3,由算术平方根的意义可知X=

所以正方形的边长是疯m.

（2）不同意.

因为：两个小正方形的面积分别为2dm2和3dm2,则它们的边长分别为&dm和

Gdm.&+石=3.1,即两个正方形边长的和约为3.1dm,

所以3.1>3,即两个正方形边长的和大于长方形的长，

所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为2d：p2和3dnf的正方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念.

4.（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算

解析：（1）10：（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边长为10cm；

故答案为：10;

（2）,••长方形纸片的长宽之比为4：3,

设长方形纸片的长为4xcm,则宽为3xcm,

则4x・3x=90,

121=90,

）30

J.x2=—,

4

解得：x=画或乂=-痘（负值不符合题意，舍去），

22

二长方形纸片的长为2闻cm,

5V同V6,

10<2>/30,

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根.解题的关键是掌握算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫

这个数的算术平方根；。的算术平方根为。.也考查了估算无理数的大小.

5.8：

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8：2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4x4-4xgx2x2=8；

正方形的边长=际=2&.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于0,即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为石.

二、解答题

6.（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据

平行线的性质可得，由此即可得证；

（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质

解析：（1）证明见解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）过点C作先根据平行线的性质可得乙46。+/4b=180。，再根据平行公

理推论可得67。石，然后根据平行线的性质可得NCQE+N8b+N3CQ=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃A8,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+ZBCG=\S0°,NF+/BCG+NBCF=180。,从而可得NABC-NF=NBCF,再

根据垂直的定义可得NHb=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GMAB,延长FG至点N,先根据平行线的性质可得NAB”=NMG”,

4MGN=4DFG,从而口1得NMGH-NMGN=ZABH-/DFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMG〃-NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

/BGD-/CGF=/MGH-/MGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点C作C"〃/W,

B,

ED

;.ZABC+NBCF=180。,

ABDE,

CFPDE,

:"CDE+/DCF=T80°,即ZCDE+Z.BCF+ZBCD=1S0°,

ZCDE+ZBCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

..ZBCD+ZCDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃48,

.\ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

ZF+ZFCG=180°,即ZF+/BCG+ZBCF=180°,

/.ZF+4BCG+ZBCF=ZABC+/BCG,

;.ZABC-/F=/BCF,

vCFXBC,

/.NBCF=90。,

.•.ZABC-NF=90°；

(3)如图，过点G作GM|AB,延长阳至点N,

D

:.乙\BH=4MGH,

YABDE,

GMDE,

:.ZMGN=ZDFG,

•.•8〃平分NABC,FN平6乙CFD,

NABH=-NABC,NDFG=-NCFD,

22

由(2)可知，/ABC—NC产。=90。，

/./MGH-/MGN=NABH-NDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

"BGD=NMGH+AMGD

又

NCGF=NDGN=NMGN+/MGD'

/BGD—NCGF=NMGH-/MGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

7.(1)见解析；⑵

【分析】

(1)根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即

可得证；

(2)过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：(1)见解析；(2)72°

【分析】

(1)根据平行线的性质得出4+4=180%再根据等量代换可得/8+/。=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至。，过点M作MN〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=/BG"=NO2,再根据平角的含义得出/反尸=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出/8"F=NC/77,NCE4=/E4B；设

NB48=a,Na77=/,根据角的和差可得出44瓦;=244切，结合已知条件

3/4EC_5NA尸”=180。可求得NAFH=lg。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

(1)证明：-AEHBD

.•.ZA+ZB=180°

vZA=ZD

...N4+NO=18()0

/.AH//CD；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点乂作MN〃八8

AB//CD

ZQCA=ZCAB,/BGM=/DFG,ZCFH=ABHF,^CFA=FAG

ZACE=/BAC+/BGM

/ECQ+ZQCA=ZI3AC+/BGM

NECQ=NBGM=NDFG

ZECQ+ECD=180°,4DFG+CFG=180。

4ECF=4CFG

AB//CD

：.ABHEP

ZPEA=NE4&NPEC=NECF

•/ZAEC=APEC-乙PEA

ZAEC=NECF-/EAB

:./ECF=ZAEC+ZEAB

4F平分4AE

Z.EAF=^FAB=-^EAB

2

YFH平分/CFG

/.ZCFH=/HFG=-ZCFG

2

QCD//AB

：.ZBHF=ZCFH,ZCFA=/FAB

"FAB=a、/CFH=。

•<-ZAFH=ZCFH-ZCFA=4CFH-ZFAB

:.4AFH=B-a,4BHF=4CFH=0

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+邛

乙ECF十2ZAffl=NE+2乙BHF

/.ZAEC=2ZAFH

•.•3ZAEC-5ZAF/7=18O°

/.ZAH7=18°

,;FH】HM

ZFHM=90°

/GHM=90。-0

♦.­NCFM+/NMF=180°

/HMB=ZHMN=90°-fl

ZEAF=ZFAB

NEAF=ZCFA=NCFH-ZAFH=/一18°

/.ZE4F+ZGMH=/7-18o+90o-/7=72°

/.ZEAF+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关犍.

8.(1)见解析：(2)10°；(3)

【分析】

(1)过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

结合已知条件，得出即可证明；

(2)过点E作HEIICD,设由(1)得ABIICD

解析：(1)见解析；(2)10°；(3)1800-15a

【分析】

(1)过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

NCDE=NDEF,结合已知条件ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,得出NFEB+NABE=180。,

即可证明；

(2)过点E作/VEIICD,设/GEF=x,/FEB=NEFB=义由(1)得4811CD,则

ABWCDIIHE,由平行线的性质，得出/。所=/。+/厅、3=20。+乂再由瓦；平分/。即，

得出/DEG=ZGEB=ZGEF+/FEB=x+y,则/DEF=ZDEG+ZGEF=2x+y,则可歹ij

出关于x和y的方程，即可求得x,即NGM的度数；

(3)过点N作NPIICD,过点M作QMIICD,由(1)得A8IICD,贝lj

/VPIICDIIABWQM,根据和NCZW=a,得出NM/1E=3a,根据

4

CDIIPN11QM,DE\\NB,得出NPND=NCDM=NDMQ=a,NEOM=NBNM=3。.即

N3NP=4a,根据A/PII48,得出NPN8=4BN=4a,再由/A8N,得出

4

Z4BM=l6a,由4811QM得出NQMK=180。-16a,因为=NNMQ+NQMA,代入a

的式子即可求出4W.

【详解】

(1)过点E作EFIICD,如图,

EFIICD,

/.NCDE=/DEF,

/DEB-ZCDE=NDEB-/DEF=/FEB,

ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,

/.ZFEB+ZA5E=180°,

EFIIAB,

CDIIAB,

(2)过点E作HEIICD,如图，

设NGEF=x/FEB=Z.EFB=y,

由(1)得4811CD,则4BIICDIIHE,

NO=ZDEH=20。,NHEF=NEFB=y,

/./DEF=4DEH+/HEF=ZD+NEFB=20°+y,

又「EG平分NDEB,

/DEG=ZGEB=ZGEF+/FEB=x+y,

NDEF=NDEG+NGEF=x+y+x=2x+y,

即2工+)，=20。+工

解得：工一10。,即/6石尸=10°；

(3)过点N作A/PIICD,过点M作QMIIC。，如图,

由(1)得4811CD,则NPWCDIIABWQM,

,/A/PIICD,CDIIQM,NCDM=a,

ZPND=ZCDM=ZDMQ=a,

又/CDM=-NCDE,

4

NMDE=3NCDM=3a,

•/BNI/DE,

/MDE=/BNM=3a,

：./PNB=NPND+/BNM=a+3a=4a、

又PNIIAB,

NPNB=/NBA=4a,

•「NABN=L/ABE,

4

ZABM=4ZABN=4x4a=16a,

又♦「4811QM,

ZABM+ZQMB=\SO0,

AQMB=1800-=180°-16cr,

/NMB=4NMQ+4QMB=a+1800-16a=180-15a.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利

用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系.

9.(1)；(2)的值为40°；(3).

【分析】

(1)过点0作OGIIAB,可得ABIIOGIICD,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKIIAB,过点N作NHIICD,由角平分线的定义可设NBEM

解析：(1)ZBEO+ZDFO=260°：(2)NEMN-NFNM的值为40。：(3)

【分析】

(1)过点。作OGIIA8,可得A8IIOGIICD,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKWAB,过点N作NHWCD,由角平分线的定义可设/8EM=NOEMK,

ZCFA/=ZOFN=y,由/8F0+ZDFO=260。可求x-y=40°,进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点H,FK与A8交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性

质及ZFMN-NENM=53,可得NKF7)-NAEG=50。，结合

ZAEG=nZOEG,DFK=MOFK,/BEO+/DFO=2缸可得

NAEG+-ZAEG+180。-乙KFD--Z.KFD=100°,

nn

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】

证明：过点。作。GIIZ8,

E

图1

ABWCD,

「.ABIIOGIICD,

Z/?EO+Z£OG=180°,NDFO+NFOG=18(T,

NBEO+NEOG+ZDFO+/FOG=360°,

即/BEO+ZEOF+ZDFO=360°,

ZEOF=100°,

/.ZBEO+4DF。=260。：

(2)解：过点M作MKIM8,过点N作NHIICD,

E

图2

,.1EM平分NBEO,FN平分/CFO,

设/BEM=/OEM=x,/CFN=/OFN=y,

•/ZBEO+ZDFO=260°

ZBEO+ADFO=2x+180°-2y=260°,

x沙=40。，

MKWAB,NHWCD,ABWCD,

：.AB\\MKl\NHWCD,

/EMK=/BEM=x,/HNF=NCFN=y,/KMN=NHNM,

•••4EMN+/FNM=4EMK+4KMN-(/HNM+4HNF)

=x+4KMN-/HNM-y

=x-y

=40°,

故4EMN—4FNM的值为40°；

(3)如图，设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,

图3

■：AB\\CD,

/."KF=/KFD,

ZAKF=/EHK+NHEK=/EHK+ZAEG,

/KFD=/EHK+公EG,

,：ZLEHK=/NM卜一乙ENM=5U0,

/.Z/；FD=50°+Z4EG,

即ZKFD-ZAEG=50°,

•「ZAEG=n/OEG,FK在NOF。内，4DFK=nZOFK.

NCFO=180。-NDFK-NOFK=180。-NKFD-工NKFD,

n

AAEO=ZAEG+ZOEG=/AEG+-AAEG,

n

ZBEO+ZDFO=260°.

...ZAEO+ZCFO=100°,

ZAEG+-ZAEG+1800-Z.KFD--NKFD=100°,

nn

即(1+}'(/K/7)-/AEG)=80。，

...(1+450。=80°,

解得”=g.

经检验，符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

10.(1)150°；(2)ZOCD+ZBOzE=360°-a；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°；(2)ZOCD+N8。'£=360°r；(3)ZAO8=NBOE

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N8OE的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOCD、/BOF的数量关

系；

(3)由已知推出CPIIOB,得到/AO8+NPCOE80。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,根据(2)ZOCD+Z8OE=360°-NAOB,进而推出

ZAOB=ABO'E'.

【详解】

解：(1),/CDWOE,

ZAOE=Z.08=120°,

ZBOE=3600-ZAOEW40B=360°-90°-120<>=1500：

(2)ZOCD+Z8O'E'=360°-a.

证明：如图②，过。点作OFIIC。，

CDIIO'E',

/.OFIIOF,

Z4OF=1800-ZOCD,Z8OF=NFO'O=1800-NBOE,

...ZAOB=ZAOF+Z.eOF=180°-Z08+180°-/8。'£=360°・(ZOCO+NBO'E')=a,

ZOCD+Z8OE=360°-a：

(3)ZAOB=Z.BO'E1.

证明：・••NCPO'=90°,

PO'A.CP.

■：PO'A.OB,

：.CPWOB,

...ZPCO+N408=180°,

2ZPCO=3600-2ZAOB,

CP是NOCD的平分线，

Z08=2/PCO=3600-2ZAOB,

..•由(2)知，N0C0+NBO'£'=360°y=36(r-N408,

360°-2ZA08+NBOE=350°-NAOB,

/.Z40B=ZBOE.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

三、解答题

11.(1)50°；(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析；(3)NA-NDCM=3(T+a或

30°-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50°；(2)Z.A+AC=30°+a,理由见解析；(3)N4/DCM=30°+a或30”

【分析】

(1)过M作MNII4B,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长84DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：(1)过M作MNWAB,

BD

图1

■：ABWCD,

A8IIMNWCD,

：.Z1=ZA,Z2=ZC,

ZAMC=Z.1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案为：50。;

(2)Z4+ZC=30°+a,

延长BA,OC交于£,

图2

,/ZB+Z0=150°,

.•・Z£=30。，

,/ZBAM+NDCM=360°-(ZEAM+Z.ECM)=360°-(360°-/£-ZM)=30°+a；

即N4+ZC=300+a：

(3)①如下图所示:

Z8+ND=150°,ZAMC=afZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

Z1-Z3=30°+a

即：Z4-zC=30°+a.

②如图所示，210-/4=(180°-ZDCM)+a,即N4NOCM=30°-a.

BD

综上所述，Z4/DCM=3Q0+a或30。口.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得的度数.

12.（1）平行，理由见解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两

直线平行即可判定aIIb;

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反

解析：（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即

可判定allb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得N1=N2,然后根据平

角等于180。求出/1的度数，再加上40。即可得解；

（3）分①48与8在EF的两侧，分别表示与NMC,然后根据两直线平行，内

错角相等列式计算即可得解；②CD旋转到与4B都在EF的右侧，分别表示出NOCF与

Z84C,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③8旋转到与48都在EF

的左侧，分别表示出NOCF与N8WC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得

解.

【详解】

解：（1）平行.理由如下：

图1

如图1,­••Z3=Z4,

Z5=Z6,

,/Z1=Z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

・•・allb（内错角相等，两直线平行）；

（2）如图2：

•••入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,

图2

Z1=Z2,

・「入射光线a与水平线0C的夹角为40。，b垂直照射到井底，

Z1+Z2=180<,-40°-900=500,

Zl=ix500=25%

MN与水平线的夹角为：25。+40。=65。，

即MN与水平线的夹角为65。，可使反射光线b正好垂直照射到井底;

(3)存在.

如图①，48与8在EF的两侧时，

①

Z8AF=105°,ZDCF=65>,

/.ZACD=180°-65°-3t°=115°-3t°,

Z84C=105°-f,

要使48IICD,

贝此4CD=ZBAC,

即115-3t=105-t,

解得t=5；

如图②，CD旋转到与AR都在FF的右侧时,

E

②

•/ZBAF=1Q5°,ZOCF=65',

ZOCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,

ZBAC=105°-t°,

要使ABIICD,

则/DCF=ZBAC,

即295-31=105-3

解得t=95；

如图③，8旋转到与4B都在EF的左侧时,

•/Z8力卜=1。5°,ZDC?=65\

/.ZDCF=3t°-（180°-65°+180°）=34295°,

Z8AC=t°-105°,

要使4811CD,

则NDCF=ZBAC,

即3t-295=t-105,

解得t=95,

此时t>105,

此情况不存在.

综上所述，t为5秒或95秒时，C。与48平行.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性

质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论.

13.（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。

或130°或60°或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50。，N085。，ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIA8,根据N8=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIE。，进而可以判断

AB平行于ED；

（2）根据题意作4811CD,即可N8=NC=35°;

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出/8的度数.

【详解】

解：（1）48平行于ED,理由如下：

如图2,过点C作CFIIAB,

/.Z8CF=Z8=50°,

,/Z88=85°,

...ZFCD=85°-50°=35°,

,/ZD=3S°,

ZFCD=Z0,

CFWED,

1/CFIIABt

：.AB\\EO；

A---------------7B

如图，即为所求作的图形

4811CD

A'BWCD,

ZABC+Z.C=180°,

「•N8的度数为：145°；

「.N8的度数为：35°或145°；

(3)如图2,过点C作CFIIAB,

'：ABWDE,

/.CFIIDE,

ZFCD=Z0=35°,

,/ZBCD=85°,

Z8CF=85°-35°=50°,

/.ZB=ZBCF=50°.

答：N8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIA8,则A8IICFIICD,

BA

ZFCD=Z0=35°,

・「Z88=85。，

/.Z8CF=85°-35°=50°,

,/ABWCF,

/.Z8+Z8CF=180°,

/.Z8=130°；

如图6,•/ZC=85°,ZD=35%

图6

ZCFO=180°-85°-35°=60°,

ABWDE,

/.ZB=ZCFD=6Q\

如图7,同理得:Z8=35°+85o=120°,

c

综上所述,ZB的度数为50。或130。或60。或120°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

14.(1)ZACB+ZBED=180°；(2)100°；(3)40°

【分析】

(1)如图1,延长DE交AB于点F,根据ABCD可得NDFB二ND,则

ZDFB=ZA,可得ACDF,根据平行线的性质得NA

解析：(1)ZACB+ABED=180°；(2)100°；(3)40°

【分析】

(1)如图1,延长DE交A8于点F,根据AB//C。可得/DF8=/D,则NDFB=N4可得

AC//DF,根据平行线的性质得N4CB+/CEF=180。，由对顶角相等可得结论；

(2)如图2,作EM//CO,HN//CD,根据A8//C。，可得48//EM//H/V//CD,根据平行

线的性质得角之间的关系，再根据N。£8比NOH8大60。，列出等式即可求N的度数；

(3)如图3,过点E作3//CD,设直线OF和直线8P相交于点G,根据平行线的性质和

角平分线定义可求NP8M的度数.

【详解】

解：(1)如图1,延长OE交A8于点尸,

CD

AB//CD,

:.^DFB=ZD,

・・・乙4=/曾，

:.ZA=ZDFB,

AC/IDF,

.­.ZAC/?+ZCEF=180°,

：.ZACB+ZBED=\SO0,

故答案为：ZACfi+ZBED=18(F；

(2)如图2,作.EM//CD,HNHCD,

cD

..ABI/EMHHNI/CD,

Z1+Z^DF-18O°,NMEB=NABE,

<BG平分ZABE,

：.AABG=-AABE,

2

AB//HN,

;.N2=ZABG,

•.CF//HN,

/2+〃=/3,

•;DH平分NEDF,

:.Z3=-ZEDF,

2

/.gzA8E+//?=；/℃

/.邛=；(NEDF-ZABE),

N£OF-48£=2N0,

设NDEB=Na,

Za=Zl+Z/WEfi=180°-ZEDF+ZAfiE=180o-(ZEDF-Z4SE)=180°-2Z/7,

/DEB比NDHB大60°,

/.Na-6()。=/〃，

Z«=180°-2(Za-6()0),

解得Na=100。.

.•.ZDE8的度数为1(X)。；

(3)NPBM的度数不变，理由如下：

如图3,过点E作良〃6,设直线。尸和直线82相交于点G,

图3

;BM平分/EBK,DN平分NCDE,

4EBM=NMBK=-ZEBK,

2

NCDN=NEDN=-ZCDE,

2

•.ESHCD,AB“CD,

:.ES//AI3HCD,

;.QES=/CDE,

/BES="BE=®。-/EBK,

NG="BK,

由（2）可知：ZD£B=100°,

.•.ZCDE+180°-4EBK=IO（F,

/EBK-NCDE=8U,

BP1!DN,

:.NCDN=NG,

/./PBK=ZG=ZCDN=-Z.CDE,

2

/.ZPBM-ZMBKZPBK

=-ZEBK--ZCDE

22

=；（NEBK-NCDE）

=-x80°

2

=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

15.（1）图见解析，，理由见解析；（2）,理由见解析；（3）图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，ZEDF=ZBAC,理由见解析；（2）