人教版七年级数学培优班暑期讲义

七年级数学培优班

暑期讲义

第一章有理数

§1.有理数的相关概念

整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,

右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.

只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和-2.5互为相反数，即25是

-2.5的相反数；-2.5是2.5的相反数.

在数轴上表示数〃的点与原点的距离叫做数。的绝对值,记作|々|.例如,在

数轴上表示-5的点与原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记作|-5|=5.一个

正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.

这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容，必须牢固掌握.

例1.峨眉山上某天的最高气温为12C,最低气温为TC,则这天的最高气

温比最低气温高（）

A.4CB.8CC.12CD.16C

例2.下列说法正确的是（）

A.一个有理数不是整数就是分数

B.正整数和负整数统称整数

C.正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数

D.0不是有理数

例3.数x,y,z在数轴上的位置如图，下列判断正确的是（）

A.x>y>z>0B.y>x>0>z.,,..

C.yvxvOvzD.x<y<0<zxy°z

例4.说出下列各数的相反数：

16,—3,0,--5—,0.001,m,-〃，nt-n.

2007

例5.如图,若数轴上。的绝对值是〃的绝对值的3倍,则数轴的原点在点,（填

“A”、、"C”或"D”）

练习一

1.有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符

号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整

数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.下列说服中正确的是（）

A.正整数和负整数统称为整数

B.正数和负数统称为有理数

C.整数和分数统称为有理数

D.自然数和负数统称为有理数

3.以下四个判断中不正确的是

A.在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数

B.两个有理数互为相反数,则他们在数轴上定应的两个点关于原点对称

C.两个有理数不等,则他们的绝对值不等

D.两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等

4.下面四个命题中，正确的是（）

A.一切有理数的倒数还是有理数

B.一切正有理数的相反数必是负有理数

C.一切有理数的绝对值必是正有理数

D.一切有理数的平方是正有理数

5.在数轴上，点A对应的数是一2006,点B对应的数是+17,则A、B两点的电离

是（）

A.1989B.1999C.2013D.2023

6.如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3.

先让圆周上数字。所对应的点与数轴上的数一1・5・4.3.2-10

所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在_I__I__I11I____'x

该圆上,则数轴上的数一2006将与圆周上的数（2°1；

字重合.’

7.下列说法中错误的是（）

A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示.

B.数轴上原点表示数0.

C.鳌轴上点A表示-3,从A点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B点,则

点3表示-I.

D.在数轴上表示-3利2的两点之间的距离是5.

8.下列说法正确的是（）

A.有最大的整数B.有最小的负数

C.有最大的正数D.有最小的正整数

练习二

1.如果n是大于1的偶数，则n一定小于它的

A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方

2.Ifwehave—<O,a-b<0.anda+6>0,thenthepointsinrealnumber

b

axis,givenbyaandb,canberepresentedas()

(英汉词典point：点.realnumberaxis：实数轴.represent：表示.)

3.有理数a,b,c大小关系如图，则下列式子中一定成立的是

A.a+b+c>0B.c>a+b|°bq

C.|a-c|=|a|+cD.|b-c|>|c-a

4.如果a+b+c=0,且Ia|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是

A.a,b是正数,c<0B.a,c是正数，b<0

C.b,c是正数,a<0D.a,c是负数,b〉0

5.如果则下列不等式中成立的是

A.ab>0B.t/Z?>0C.ab<0D.ab<0

6.〃为有理数,下列说法中正确的是

A.(〃+—5—了为正数B.-(a——L/为负数

20072007

C.。+(')2为正数D.为正数

20072007

7.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中，正确的是()

A.a+b+c+d一定是正数.B.d+c-a-b可能是负数.

C.d-c-b-a一定是正数.D.c-d-b-a一定是正数.

8.已知2加一3和一7互为相反数，求小的值.

9.若〃与人互为相反数，c到原点的距离为3,求2+a+c+"的值.

10.已知|x-4|+|y+71+|z-3|=0,求x+y+z的值.

§2.有理数的运算

一、知识提要

1.整数和分数统称为有理数.

2.有理数还可以这样定义：

形如K(其中〃均为整数,且〃?工())的数是有理数.

m

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.

3.有理数可以用数轴上的点表示.

4.零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.

5.如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数.如果两个数的积为1,

则称这两个数互为倒数.

6.有理数的运算法则：

(1)加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对

值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时，和为

0；一个数与0相加,仍得这个数.

(2)减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.

(3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相

乘,积为0.

乘方：求〃个相同因数。的积的运算称为乘方，记为能.

(4)除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.

整数的运算律对有理数的运算也适合.

二、例题与练习

例1・-4x3?-(-4x3)2=.

13

例2.-117x(——0.125)4-(-1.2)x(-l—)=____________.

3213

实践练习：

1.计算：4.4x0.5+6.6+0.25+8.8x1.25.

上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段AB盖住的整点有个.

8.电子跳蚤落在数轴上的某点K。,第一步从K。向左跳1个单位到（，第二步从

K,向右跳2个单位到第三步从K2向左跳3个单位到号,第四步从仆向右跳4

个单位到七,…按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K侬所表示的

数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置K。点所表示的数是多少

§3.有理数的巧算

知识要点：

整数和分数统称为有埋数.有埋数通常NJ以表示成分数-的形式，这里m,〃都

m

是整数，且〃zw（）,互质.

有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有

关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,

还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法

解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性.

四则运算对有理数是封闭的，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除

数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小，任意两个有理数之间都有

无穷多个有理数.

有理数计算中常用到的一些等式如下：

m+n11m

----=—+--7^=---—;(3)=-———

nmtnn+nn+\n(n+ni)nn+in

re,、/、,、n(n+\)

(4)/+/=(々”)(4—3；(5)1+2+3++〃=')

(6)12+22+32+-+〃2/("1)(2"1)

6

例1：计算：10—10.5+[5.2x14.6—(9.2x5.2+5.4x3.7—4.6xl.5)]

实践练习：

Q(3、

1、计算：1.8x2—+16.9+3-X1.16xl.3

25I5)

2、计算：4,一,(一3)4-(-l)+2.5+2；x(-4)]+(24於一26V

£

110f1993x0.41.61

3、计算:吟-------+----

27_1r(1995x0.51995J

哈।50~50;

（11

1）开•管.।14-4-.4-

俯L/U17\17V|-51-:1111

1x22x33x41999x2000

3+管.14-111

_1_4__1_

1x32x43x51998x2000

实践练习:

1111

1_1_i.

1彳+管.11141.

5x99x1313x17101x105

,1_79_11.22_25

2、计算：1----十------十

312203()4256

72+192-1112+1992+1

D11•4.4-_1_4-

72-192-1112-1992-1

例3.计算:I2-22+32-42+--+992-1002+1012

实践练习:

1、计算：19492-195O2+19512-19522+.■+19972-19982+19992

2、计算：22-42+62-82+1。2-122+，・+982—10()2

(22+42+62+-+1002)-(12+32+52++992)

3、计算:

1+2+3+，・+8+9+10+9+8+••+3+2+1

练习四

?3797

1、计算:0.7x1——6.6x一一2.2—+0.7x—+3.3+—

1173118

137153163127255

2、计算:—十—+—+—4--+—+----+-----

248163264128256

,17।911.1315

3、计算:1——---十--------十---------

3122()3()4256

哈2(12、

4、计算:2+3——2-+14-+0.25

[A吟)3I35)

1

5、计算:1+3-+5—+7—+9—+11—+13—+15

6122()3()425672

6、计算：12-32+52-72+92-112+..+492-512

7、计算：---+----+-----+••+------

1x66x1111x1651x56

8、1999减去它的L再减去余下的L再减去余下的…，依此类推,一直减去余下

234

的,，则最后剩下的数是多少

1999

第二章整式

§1.单项式：

1.单项式的概念

由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式,单独一个数或一个字母也是单

项式，如4,5.

判断下列各代数式哪些是单项式

-1-I

(1)亍；(2)〃bc；(3)b2；(4)-567b2；(5)y；(6)-xy2；(7)-5.

2.单项式系数和次数

单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式LPh,2

3

五r//bc,—m的系数和次数.

例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是，请指出它的

系数和次数.

①x+1；②L③④一为2b.

x2

例2.下面各题的判断是否正确

①一7xy2的系数是7；②一x2y3与x3没有系数；③一好的次数是0+3+2；

④一/的系数是一1；⑤一3?x2y3的次数是7；⑥；冗「力的系数是1

注意：

①圆周率TT是常数；

②当一个单项式的系数是1或一1时,“1”通常省略不写，如X2,-a2b等；

③单项式次数只与字母指数有关.

§2.多项式

1.列代数式：

(1)长方形的长与宽分别为。、b,则长方形的周长是；

(2)某班有男生x人，女生21人,则这个班共有学生人

(3)图中阴影部分的面积为；

(4)鸡兔同笼鸿a只，兔b只，则共有头个，脚只.

2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.

(l)2(〃+b);(2)21+x;(3)〃+b;(4)2々+4b.

几个单项式的和叫做多项式(polynomiH).在多项式中,每个单项式叫做多项

式的项(term).其中，不含字母的项，叫做常数项(consk/ntterm).例如，多项式

3/_2工+5有三项,它们是3/,—2*,5.其中5是常数项.

一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多

项式的次数.例如，多项式3f-2x+5是一个二次三项式.

单项式与多项式统称整式(integrHexpression).

注意：

(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数.

(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.

例L判断：

①多项式/—/b+油2—投的项为〃3、b、亦、b'M次数为12；

②多项式3n4-2r?+l的次数为4,常数项为1.

例2.指出下列多项式的项和次数：

(l)3x—1+3x2；(2)4x3+2x—2y2.

例3.指出下列多项式是几次几项式.

(l)x3—x+1；(2)x3—2x2y2+3y2.

例4.已知代数式3x“一(m—1)x+l是关于x的三次二项式，求m、n的条件.

课堂练习：

①填空：一"小一；刈+1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为，写出

43

所有的项.

②已知代数式2x2—mnx2+y2是关于字母八、、的三次三项式，求m、n的条件.

§3.多项式的升(降)幕排列

请运用加法交换律，任意交换多项式X?+x+l中各项的位置，可以得到几种不

同的排列方式在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐

1.升察排列与降察排列：

有两种排列X的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幕排列与

降塞排列.

例如：把多项式5x?+3x—2x3—1按X的指数从大到小的顺序排列，可以写成

-2x3+5x2+3x-l,这叫做这个多项式按字母x的降卷排列.

若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成一1+3X+5X2—2x3,这叫做这个多

项式按字母x的升赛排列.

例1.五个学生上前自己选一张卡片，根据老师要求排成一列，并把排列正确的

式子写下来.

(1)按。升幕排列；(2)按a降累排列.

想一想：

观察上面两个排列,从字母b的角度看,它们乂有何特点

例4,把多项式-1+2nX2-x—x3y用适当的方式排列.

例5.把多项式X，-y"+3x3y—2xy2—5x?y3用适当的方式排列.

(1)按字母x的升嘉排列得：；

(2)按字母y的升嘉排列得：.

小结：

对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来

方便.在排列时我们要注意：

(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的

“+”号交换到后面时要添上；

(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升累排列或降

累排列.

§4.同类项

创设问题情境

⑴、5个人+8个人二

⑵、5只羊+8只羊二

⑶、5个人+8只羊二

观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类.

8x2y,—mn2,5a,一x2y,7mn2,-,9a,一号,0,0.4mn2,-,2xy2

839

我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y与一x2y可以归为一类,2xy?

与一士可以归为一类,一mn2、7mn2与().4mn2可以归为一类,5〃与9〃可以归为一

3

类,还有:、0与;也可以归为一类.8x2y与一x2y只有系数不同，各自所含的字母都

是x、y,并且x的指数都是2,y的指数都是1；同样地,2xy?与一孚也只有系数不

同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是l,y的指数都是2.

像这样，所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项

(similarteims).另外，所有的常数项都是同类项.比如，前面提至lj的)()与］也是同

o9

类项.

例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“J”，错误的打“X”.

(l)3x与3mx是同类项.()(2)2ab与一5〃b是同类项.()

(3)3x2y与一！yx2是同类项.()(4)5aF与一24b2c是同类项.()

(5)23与32是同类项.()

例2.指出下列多项式中的同类项：

(l)3x-2y+1+3y-2x—5；(2)3x2y—2xy2+-xy2--yx2.

32

例3.k取何值时,3xky与一x2y是同类项

例4.若把(s+l)、(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.

(l)l(s+t)-1(S-t)-1(s+t)+1(S-t)；

(2)2(s—t)+3(s—t)2—5(s—t)—8(s—t)2+s-t.

课堂练习：

1.请写出2ab2c3的一个同类项.你能写出多少个它本身是自己的同类项吗

2.若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是_____

§5.整式的加减

为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先

购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用,然后他们乂去

购买了6本软面抄和5支水笔.问：

①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔

②若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支y元，则这次活动他们支

出的总金额是多少元

可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再

运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来,化简整个多项

式,所的结果都为(21x+25y)元.

由此可得：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.

例L找出多项式3x2y—4xy2—3+5x2y+2xy2+5种的同类项，并合并同类项.

例2.下列各题合并同类项的结果对不对若不对，请改正.

(1)2x2+3X2=5X4；(2)3x+2y=5xy；(3)7x2-3x2=4；(4)9。2b-9b/=0.

例3.合并下列多项式中的同赛项：

(1)242b-342b+0.5/b；(2)a3-crb+«b2+a2b-«b2+b3；

(3)5(x4-y)3—2(x—y)4—2(x+y)3+(y—x)4.

例4.求多项式3x2I4x—2x2—xIx2—3x—1的值，其中x=—3.

试一试：把x=-3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗与上面的解法比

较一下朋卜个解法更简便

例1.化简下列各式：

(l)8a+2b+(5a-b)；(2)(5a-3b)一3(a2-2b).

(2)计算:5xy2—[3xy2—(4xy2—2x2y)]+2x2y—xy2.[5xy2]

小结

去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“一”号

时,括号连同括号前面的“一”号去掉，括号里的各项都改变符号.去括号规律可以

简单记为“一”变不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘

以括号内的每一项，切勿漏乘某些项.

学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算.

去括号法则顺口溜：去括号，看符号：是号，不变号；是“一”号，全变号.

不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此，整式加减的一般步

骤可以总结为：

(1)如果有括号，则先去括号.(2)如果有同类项，再合并同类项.

例L求整式X?—7K—2与-2x?+4x—1的差.

练习：一个多项式加上一5x2—4x—3与一X?—3x,求这个多项式.

例2.计算：-2y3+(3xy2—x?y)—2(xy2—y3).

例3.化简求值:(2x3—xyz)—2(x3—y3+xyz)+(xyz—2y3),其中x=l,y=2,z=—3.

复习题

1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.

A±Z±£,4xyJ,曲,x2+x+1,(),-^―01X105

2

3a2xX-2X

2.指出下列单项式的系数、次数：〃b,一x2-xy5，¥i.

53

3.指出多项式a3-〃2b-ab2+b3—l是儿次几项式，最高次项、常数项各是什么

4.化简，并将结果按x的降累排列：

(l)(2x4—5x2—4x+l)—(3x3—5x2—3x)；(2)—[—(—x+；)]—(x—1)；

(3)-3(!x2-2xy+y2)+1(2x2-xy-2y2).

5.化简、求值：5ab—2[3ab—(43？+工况＞)]—5々味其中。=上,b=—2.

223

6.一个多项式力口上一2x'+4x2y+5y3后，得x?—x?y+3y求这个多项式，并求当x=—

gy二产寸，这个多项式的值.

7.如果关于x的两个多项式a?+4尤2一J,与3f+5x的次数相同，求

2

，/-2/?+3/7—4的值.

2

第三章一元一次方程

§1.一元一次方程

1.定义：

方程：含有未知数的等式称为方程.

一元一次方程：方程中只含一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，

未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.如3x+l=2,6x+5=8.

解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方

程的解.

2.等式的性质：

性质1等式两边加(或减)同一个不为0的数,结果仍相等.

如果a=贝Ua±c=〃土c.

性质2等式两边夷同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

如果a=力，贝=如果。=Z?(。工0),贝!]@=

cc

3.同解方程和方程的同解原理：

(1)如果方程I的解都是方程n解，并旦方程n的解也都是方程I的解，则

这两个方程是同解方程.

(2)方程同解原理I：方程两边同时加上(或减去同一个数或同一个整式),

所得的方程与原方程是同解方程.

方程同解原理n：方程两边同时乘以(或除以)同一个不为o的数,所得的

方程与原方程是同解方程.

方程同解原理III：方程/(x).g(x)=O与/*)=0或g(x)=O是同解方程.

4.解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式分=6

(5)方程两边同除以未知数的系数.

解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号耍因题而异，灵活掌握，但

是,不管采取什么顺序，都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到

的方程与原方程同解.

5.一元一次方程=b的解由的值确定：

(1)当。工0时，方程有唯一的解x=2；

(2)当〃=人=()时，方程的解可为任意的有理数；

(3)当。=0且〃声0时，方程无解.

例L利用等式的性质解一元一次方程：

ra

(1)--=3；(2)5=x-4；(3)5(.y-l)=l()；(4)---3=5.

32

例2.检验下列各数是不是方程4x-3=2x+3的解：

(1)x=3；(2)x=8；(3))，=5.

实践练习：

731

1.解方程：(1)3x+4=-13；(2)-x-\=5；(3)--x=-x+3.

42

2.解方程:=2(X)7.

2007x2008

列简易方程解决问题

例3.根据下列条件列方程

(1)x的5倍比x的2倍大12；(2)某数的士2比它的相反数小5.

实践练习：

1.根据下列问题，列出方程，不必求解.

(1)把若干本书发给学生.如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本，还

差5本.问共有多少学生

(2)某班50名学生准备集体去看电影，电影票中有1.5元的和2元的，买电影票

共花88元，问这两种电影票应各买多少

练习一

7x-11-0.2x5x+l

1.解方程：(1)19x-96=96-19x；(2)

0.0240.0180.012

2-假设关于x的方程〃(一〃)+%1加=。有无穷多个解,求“+人的值.

3.若关于x的方程(〃-5»-6=()的解是2,求。的值.

4.若关于x的方程3〃一工=2+3的解是4,求/一2。的值.

2

5.某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.

(1)计时制：0.05元/分;

(2)包月制：50元/月.

此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分，问用户每月上网多少小时，这

两种收费方式所收费用一样请列出方程.

6.小李去商店买练习本，回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8

折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元你猜原来每本价格是多少你能

列出方程吗

例4.某大型商场三个季度共销售DVD2800台,第一个季度销售量是第二个

季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍，第一个季度这家商场销售

DVD多少台

例5.某校高中年级434名师生外出春游，已有3辆校车可乘坐84人,还需

租用50座的客车多少辆

实践练习：

1.某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如

果每人分3箱,则还缺20箱，这个工厂有工人多少人

2.据某《城市晚果》报道,2004年2月16日，中国著名篮球明星姚明与麦

当劳公司正式签约，姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,

若后一年的酬金是前一年的两倍，并且不考虑税金，则姚明第一年应得酬金为多

少万美元

例6.男女生有若干人，男生与女生数之比为4:3,后来走了12名女生,这时

男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.

实践练习：

1.已知a:/?:c=2:3:4,〃+Z?+c=27,求。一27?—2c的值.

2.一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍，个位数字比

十位数字的2倍还多1,求这个三位数.

例7.甲、乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,

甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米

实践练习：

1.一轮船在A,B两港口之间航行，顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行

多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时，问水流的速度是多少

例8.宋宋班上有40位同学，他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买

果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元，巧克力每30个10元,求他买了多少

个果冻

实践练习：

1.一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,

黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺

2.某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5

小时，由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些

人的工作效率相同，则先安排了多少人植树

练习二

1.甲、乙两站间的距离为365千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶65

千米；慢车行驶1小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85千米,

快车行驶了几小时后与慢车相遇

2.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定

价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少

3.聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书

店会员卡”,将享受八折优惠，请问在这次买书中，聪聪在什么情况下,办会员卡与

不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时，怎么做合算，办会员卡还是不

办会员卡

4.有一列数为1,4,7,…,它的第〃个数是多少在这列数中取出三个连续数，其和

为48,问这三个数分别是多少

5.若)，=4是关于y的方程晋-m=5(y-M的解，解关于x的方程

(3〃?-2)+〃?-5=0.

6.当相取什么整数时，关于x的方程,〃a-3」(工-3)的解是正整数

2323

7.某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产

20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订

货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成

8.这里有一杯水，第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后

又倒出10毫升，这时杯子空了，问杯子里原来有多少亳升水

§2.一元一次方程复习

代数方程在初中代数中占有很重要的地位，而一元一次方程是代数方程中最

基础的部分，高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此，掌握好这

部分内容，有助于我们学习一些复杂的方程.

一.方程及一元一次方程的概念

1.含有未知数的等式叫做方程.

2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

【例1］判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.

2

(i)5x+3y-6x=7；(2)4x-7；(3)5x>3；(4)—=2；

x

(5)6元2+x-2=0；(6)ax=b是常数)：(7)1+2=3：

(8)x2-1=0；(9)y=0.

是方程,是一元一次方程.

［例2］(1)已知2£'用+3=7是一元一次方程,则m=.

(2)已知(加+l)x,z,2+2=0是一元一次方程，则m=.

⑶若关于x的方程(2〃2—8»2+/”2=_6是一元一次方程，则

m=,n=.

【思考1］已知(加2—1)；，—(m+i)x+8=0是关于光的一元一次方程，则

m=.

【思考2】在关于x的方程分二b中,解的情况:当。时,方程有唯一解;

当〃时,方程无解；当。,b时,方程有无数个解.

【例3】已知2d+3%=5,则代数式-4x2-6x+6=.

【思考3】下列说法正确的是.

(1)如果。则ac=bc；(2)如果ac=bc,则。；

ab,,ab

⑶如果一=则ac=he；⑷如果=be,则一=一.

CCCC

二.解一元一次方程

去括号f去分母f移项-合并同类项f系数化1

【例4】解下列一元一次方程：

⑴4(x-1)+2(x+1)=3(x-l)-(x+l)；

x+22x—32x—12x4-11—x1-6x

⑷---------------=1；(3)--------------=--------------

46518615

3「2/八_

(4)——(——1)+2+2)+6+8}=1

2|_35_

0.lx—0.2x—

0.020.5

【例5】有四个数，其由三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.

［例6］已知。：。：c=2:3:4,。+/?+c=27,则

a—2b—2c=

【例7】若关于x的方程6一4=0的解是整数:则左=.

1.解方程：2（x+4）-5（x—l）=7（x+3）-3（x-2）

2.解方程：3（x+l）-l（x-l）=2（x-1）--（x+l）

32

3.解方程：平二（L_1]]+2=X

4解关于人的方程：（⑪-=0

5.解关于无的方程：nix-\=nx

6.解关于x的方程：4m2-x=2mx+\

7.已知关于x的方程2〃（工-1）=（5-〃）x+3/?有无数多个解，试求。、。的值.

8已知关于x的方程34X+2）=（2/A1）X+5有无数多个解，试求久〃的值.

9.已知方程at+3=2x-h有两个不同的解,试求（〃+”那的值.

10.关于工的方程9戈-〃=0的根是9-〃，求p的值.

11.已知关于x的方程3〃-x=2+3的解是求（-4）2-2〃的值.

2

12.若关于x的方程9x-17="的解为正整数，求上的值.

13.关于x的方程3nvc+5=0和2x+〃=0是同解方程,求（mn）2的值.

14.己知关于x的方程2"-3）+1=-。一（~!"一2处和工（工一四）=5（〃一土）+1是同解

532232

方程，求。的值.

15已知关于工的方程（3a-〃A=8/7-1仅有正整数解，并且和关于x的方程

（38-公入=8〃-1是同解方程，若。20,/+从/0,求出这个方程可能的解.

“/”工口3x+8,3x-4小〃力+工口2x+lx-1,

16.(1)解万程：------1=-----⑵解方程：----------=1

2232

(3).解方程：3(2^-3)—!-(3-2X)=7(3-2X)--(2X-3)

3

解方程：1112)33

⑷.x一一x一一x—>=x+—

3413J24

（5）.解关于x的方程：〃）=；（x+2"?）

（6）.解关于上的方程：3（X+〃）=3X+2）

JJ

17.已知关于x的方程3x-3=2a（x+1）无解,试求a的值.

18.关于x的方程尔+4=3工-〃，分别求当为何值时，方程：（1）有唯一解;

（2）有无数多个解；（3）无解.

19.若y=4是关于），的方程^-m=5（.y-,n）的解，解关于x的方程

3

（3〃?-2）x+A?Z-5=0.

20.当相取什么整数时，关于x的方程的解是正整数

2323

21.已知关于X的方程27x-32=11m和x+2=2tn有相同的根,求m的值

§3.一元一次方程的应用

知识要点

1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：

（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如X）表示

题目中的一个未知数.

（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.

（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程.

（4）解这个方程，求出未知数的值.

（5）检验、写出答案（包括单位名称）.

设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中

为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数，颐名

思义就是问东设西,迂回前进，如求整体时，可先设其某部分为x;求部分时，又可

设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为

未知数.

解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理..

2.几类应用题常用的策略

（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.

（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式，列出相等关系.

（3）行程问题

（D相遇（相向）问题：双方所走路程之和二全部路程

（ii）追及（同向）问题：如甲从相同出发点追及乙，则相等关系一般

是：甲所走路程=乙所走路程.

（iii）航行问题：注意航行速度与水（风）速的关系：

顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；

逆水速度=船在静水中的速度一水流速度；

行程中的基本关系是s=%其中s表示距离，u表示速度，f表示时间.

（4）调配问题：其等量关系反映在调动前后的数量关系上.抓住“相等”、

“几倍”、“多”、“少”等词语常可找出相等关系.

（5）按比例分配问题；若已知两个量之比是〃?：%则可设其中一份为K,两

量分别为〃Lt,nx.

（6）工程问题，基本数量关系是：工作量=工作效率X工作时间.若工作量

未给出具体数量，则常没为“1”.

（7）浓度配比问题：基本数量关系是

溶液重量=溶质重量+溶剂重量

（8）商品销售问题：利润=售价一进价

售价=标价X销售折扣

（9）数字问题：注意区分“数”和“数字”两个概念.多用间接设元的方式,

设某一数位上的数字为x,其他数位上数字用它的代数式表示.在数的表示中,注

意各位上的数为10的幕的形式.

列方程解应用题是代数中的重要内容之一，列出一元一次方程解应用题是数

学联系实际解决实际问题迈出的重要一步.

例1.一队学生从甲地到乙地,速度为每小时8千米，当行进2千米路后，通讯

员奉命回到甲地取东西.他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后,立即以同

样速度追赶队伍,结果在距乙地3千米处追上队伍.求甲、乙两地的距离（取东西

的时间不计）.

实践练习

1.一个人骑自行车从甲地到乙地,如果每小时走10千米,下午1点钟才能到达；

如果每小时走15千米，上午11点钟就能到达.要在中午12点钟到达乙地，他每

小时要走多少千米

2.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时，则在乙动身

2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.求甲、

乙两人的速度.

3.有一架飞机,最多能在空中连续飞行4小时,它在飞出与返回时的速度分别为

950千米/时和850千米/时.问这架飞机最远飞出多少千米能返回（答案只保留

整数部分）.

例2.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水

行驶.已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时顺行与逆行所用时间比为1:2.

某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍,这条船往返共用9个小时,则甲、乙两

港相距多少千米

实践练习

1.一只小船从甲地到乙地往返一次共用了2小时.回来时顺水，比去时的速度

每小时多行驶8千米，因此,第二小时比第一小时多行驶6千米.则甲、乙两地的

距离是多少千米

例3.某商店一种商品的进价降低了8%,而售价保持不变，可使得商店的利润

提高10%,问原来的利涧率是百分之几

实践练习

1.某商品的进价是1000元,标价是1500元,商店要求以利润率不低于5%的售价

打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品

2.某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价的九折再让利40

元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元

例4.一个三位数三个数字和是24,十位数字比百位数字少2.如果这个三位

数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这个三

位数三个数字的顺序与原来三位数的数字的顺序恰好相反，求原来的三位数.

实践练习

1.今有一个三位数，其个位数字比百位数字多1,十位数字比百位数字的两倍还

多1,如将此三位数的各位数字重新排列，比可得到一个最大数和一个最小数（仍

是三位数），且最大数与最小数的差为原来三位数,求这个三位数.

例5.我们在运动场上踢的足球大多是由许多小黑白块的

皮缝合而成的.小李和小王两位同学,在踢足球的休息之余数

起足球上的黑、白块的个数，结果发现黑块均呈五边形，白块

均呈六边形（如图）.由于黑、白相间，小李好不容易才数清

了黑块共12块，而小王数白块时不是重复就是遗漏,无法数

清白块的个数，你能帮助他解决这一问题吗

实践练习

1.如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿「

长方形的两边的路线逃跑，一P

只猫同时沿阶梯（折线）AfCfO的路

线去捉，结果在距离。点1.5米的。点处，

猫捉住了老鼠.已知老鼠的速度是猫的好，

13

问：阶梯AfC的长度.

BDC

课后练习

1.从A地步行到B地,然后再返回原地,路上共花了3小时41分钟，由A到B的

道路先是上坡，中间是平地,然后是下坡.如果步行速度上坡是4千米/时,平地是

5千米/时，下坡是6千米/时,AB的距离是9