人教版七年级数学下册 512 垂线（教学设计）

5.1.2垂线教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第五章“相交线与平行

线”5.1.2垂线，内容包括：垂线的有关概念、性质及画法、垂线段和点到直线的距离的概念.

2.内容解析

垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习

平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间旦的垂直关系等知识的基础，与其他数学知

识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培

养学生思维能力的重要内容之一.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：垂直定义、垂直性质的理解与运用.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解垂线的有关概念、性质及画法；

（2）知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.

2.目标解析

认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义;会用三角板或量角器过一点画一条直线（或射线、线

段）的垂线：3.知道垂线的性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；培养学生的观察、理解能力，几

何语言能力，画图能力，抽象思维能力；培养学生动手操作能力和创造精神，运用知识解决实际问题能力，

形成垂线的空间观念：培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神：培养学生的合作精神，进行集体观

念的教育.

三、教学问题诊断分析

七年级学生是第三学段低年级的学生，他们在课堂中思维活跃，有想法就会举手发言甚至是抢答，探

索真理的欲望比较强.因此，我们要营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望，让学生在教师

创设的情境中充满好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学

问题、在实践中领悟数学思想、在评价中逐步形成数学价值观.七年级学生由于年龄较小，他们虽然对新事

物容易产生兴趣，但这种兴趣并不稳定，上课时注意力也不易持久，容易分散，因而在教学口不断激发他

们的兴趣，吸引他们的注意力至关重要。我采用生动形象多媒体教学，给学生以动感，既加深了理解，也

不断地引发学生的兴趣.

基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能利用垂线的性质进行简单的推理.

四、教学过程设计

情境引入

观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？

自学导航

在相交线的模型中，固定木条a,转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角

Za也会发生变化.

\h

---■__工乙------（IJ=.、f

当Na=90°时，我们说a与b互相垂直，记作alb.

当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条

直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.

如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB1CD,垂足是0；

直线m与直线n垂直，记作：m±n；

“_L”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；

而“1”是图形中“垂直”（直角）的标记.

垂直的定义有以下两层含义：

c

1

A°B

D

1.VABXCD（已知）2.VZ1=9O°（己知）

・・・N1=9O°（垂直的定义）AABICD（垂直的定义）

日常生活中，两条直线q相垂直的情形很常见，说出下图中的一些a相垂直的木条.

你能再举出其他例子吗？

做一做

1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？

合作探究

1.用三角尺或量角器画已知直线1的垂线，这样的垂线能画出几条？

2.经过直线1上一点A画1的垂线，这样的垂线能画出几条？

3.经过直线1外一点B画1的垂线，这样的垂线能画出儿条？

B

/A,I/

经过一点（己知直线上或直线外），能画出己知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即在

同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

考点解析

考点1：垂线心丸

例1.如图，直线AB,CD相交于点0,E01CD,垂足为。若Nl=54,则N2的度数为（）

A.26°B.36°C.44°D.54°

“思路分析

fy

吩知识点睛垂直的定义既揭示了垂直的性质：两直线垂直，

四个夹角都是90。,又揭示了垂直的判定方法：若两条直线的

夹角中有一个角是90。,则这两条直线互相垂直.

【迁移应用】

1.如图，点。在直线AB上，OCJ_OD.若NA0C=120°,则NB0D的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7

A

2.如图，直线AB,CD相交于点0,0E1AB,OF平分NBOD,ZC0E=40°,则NB0F的度数为（）

A.40°B.50°C.65°D.70°

3如图,AB与CD相交于点0,0E1AB,0FJ_CD.若NEOD=2ZB0D,则NE0F二

4.己知0A10C,ZAOB:ZB0C=1:3,则NB0C的度数为.

考点2：垂线的画法★★★

例2.如图，在三角形俯。中，过点4画边力。的垂线，下列画法正确的是（）

»知识点睛经过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直

线的垂线,垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长线上.所

画的垂线是实线,若需延长线段或反向延长射线,则用虚线.

【迁移应用】

L下列各图中，过直线/外一点尸画）的垂线⑦，操作三角尺的方法正确的是（

CI)

2.如图，过点P分别画出OA,OB的垂线.

A

p

①②

解:心囹所示.

合作探究

思考：如图，在灌溉时,要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？

探究：如图，连接直线1外一点P与直线1上各点0,A”A2,A3,A.,A5,…，其中P0J_l（我

们称P0为点P到直线1的垂线段）.比较线段P0,PA”PA2,PA3,PA”PA5,…的长短,这些

线段中，哪一条最短？

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000,

水渠大约要挖多长？

则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.

我们如何测量立定跳远的成绩？

考点解析

考点3：垂线、垂线段的性质

例3.如图，在三角形ABC中，AB_LBC,其中AC=2.5,AB=1,P是线段BC上任意一点，那么线

段AP的长度可能为（）

A.0.5B.0.7C.1.5D.4

解析:因为P是线段BC上任意一点，且根据“垂线段最短”可知线段BC上的所有

点中，与点A的距离最近的为点B,即线段AP的长度最短为1；与点A的距离最远的为点C,

即线段AP的长度最长为2.5,所以1WAPW2.5,选项中满足条件的只有1.5.

快知识点睛直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而

“斜线段”有无数条，并且这些“斜线段”与直线的交点离垂

足越近，长度越短;离垂足越远，长度越长.

【迁移应用】

1.如图，ACJ_BC,AD1CD,垂足分别为C,D.若AD=4,AB=7,则AC的长可能是（)

A.4B.6C.7D.8

B

AD

2.如图，测量运动员跳远成绩选取的是线段AB的长度，其依据是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短D.垂直的定义

起

跳

区

3.如图，AB1MN,BC1MN,垂足都是B,那么A,B,C三点在一条直线上，其依据是

寺

C

--------------------------3-------------------------

MBN

考点4：点到直线的距离玄如去*

例4.如图，ABXAC,ADXBC,其中AC=4,AB=3,BC=5,AD=-,CD=竺，则点B到AD的距离

55

为：)

A.3B.5C.—D.-

55

，思路分析

ri(---------------------r

--JLB5»LWttJE«*y

_

照FC©」：T568C-CD=¥卜

【迁移应用】

LP为直线m外一点,A,B,C为直线m上三点，PAMcn,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m

的距离（）

A.等于4cmB.等于2cmC.小于2cmD.不大于2cm

2.如图，在三角形ABC中，ZABC=90°,BD±AC,垂足为D,AC=10,AB=6,BC=8,则点B到

直线AC的距离为.

A

B

考点5：利用垂直的定义判断两直线的位置关系★★★★★

例5.如图，0是直线AB上一点，NAOC』NBOC,0C是NAOD的平分线.

3

⑴求NCOD的度数;

⑵判断0D与AB的位置关系，并说明理由.

快思路分析

Z.AOC=^Z.BOC乙力OC与48OC互不卜

▼

求乙4OC的度数O。平分乙40。

解：（1）因为NAOC^NBOC,

所以NB0O3NA0C.

因为NAOC+NBOC=180°,

所以/A0C+3NA0C=180°,

所以NA0C=45°.

囚为0C是/AOD的平分线，

所以NC0D=ZA0C=45°.

（2；0D±AB.

理由如下：

由⑴知NCOD=NA0C=45°,

所以/AOD=NC0D+NA0C=90°,

所以01）±AB.

阶解题策略垂直的定义可以作为垂直的一种判

定方法.如本例中，推理过程可以写成如下形式:

因为44。。=90。,所以（垂直的定义）.

【迁移应用】

L如图,直线AB,CD相交于点0,0E为射线.若N1=30°,Z2=120°则0E与AB的位置

关系是.

2.则图，直线AB,CD相交于点0,若/1=/2,判断0N与CD的位置关系，并说明理

由.

M

因为OM_LAB,

所以NAOM=90。，

所以N1+NAOC=90°.

因为N1=Z2,

所以N2+ZA0C=90°.

即/C0N=90°,所以。N_LCD.

3.如图，已知0为直线AB上一点，0E平分NBOC,0D平分NAOC,则0E与0D有什么位置关

系?为什么?

DC

解:OEJLOD.理由如下:

因为0E平分NBOC,0D平分NAOC,

所以NCOE=|ZBOC,ZCOD=|ZAOC.

因为NAOC+NBOC=1800,

所以NCOD+NCOE^(ZA0C+ZB0C)=ixl80°=90°,

即/DOE=90°,所以OEJ_OD.

考点5：利用垂直的定义判断两直线的位置关系★★★★★

例6.【分类讨论思想】如图，直线AB,CD相交于点0,OE±CD.

⑴若NB0D:NB0C=l：4,求/AOE的度数;

⑵在（1）的条件下，过D点。作OF_LAB,求NE0F的度数.

E

AB

解:（1）因为NBOD：ZBOC=1：4,ZB0D+ZB0C=180°.

所以NB0D=180X、36°,

s

所以NAOC二NBOD=36°.

因为OE_LCD,所以NCOE=90°,

所以NAOE=NAOC+NCOE=126°.

⑵因为OE_LCD,所以NE0D=90°.

因为/ROD二36。，

所以NEOB=NEOD-NB0D=54°.

分两种情况讨论：

①如图①，当0F在AB的下方时，

因为OF_LAB,所以NBOF=90°,

所以NE0F=NB0F+NE0B=144°；

②如图②，当OF在AB的上方时，

因为OF_LAB,所以。B0F=90°,

所以NEOF=NBOF-NEOB=36°.

综上所述，NEOF的度数为144°或36°.

快解题策略利用垂直的定义解决角度问题，通

常是通过垂直关系得到90。角，结合邻补角、对