人教版七年级数学上册期末复习资料

第一章：有理数

有相反意义的量。

一、有理数的基础知识

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成

1、三个重要的定义

负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，

(1)正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

正整数、0、负整数组成整数集合；

正数大于零

④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差

(2)负数：在正数前面加上“一”(负)号的数叫做

之说，其算法为高温减低温等等；

负数；负数小于零

例1下列说法正确的是()

(3)0即不是正数也不是负数，。是一个具有特殊意

A、一个数前面有“一”号,这个数就是负数；B、

义的数字，。是正数和负数的分界，不是去示不存在或无

非负数就是正数；

实际意义。

C、一个数前面没有"一''号，这个数就是正数；D、

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的

。既不是正数也不是负数；

前面加不加“+”“一”去判断，要严格按照

例2把卜.列各数填在相应的大括号中8,0.125,

“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负

0,,-6,-0.25,

数”去识别。

止整数集合{}整数集合{}

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具

负整数集合{}正分数集合{}

例3如果向南走50米记为是-50米，则向北走782米记为有理数的分类如下：

是,0米的意义是_______________。（1）按定义分类：（2）按性

例4对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质符号分类：

质量2克,记作+2克，则-5克表示概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一

个数是有理数，则它就一定可以化成整数或

知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个分数；

记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为

向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、非正有理数；

高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部

定为负。分不为。的小数，但并不是所有小数都是有理

例5若a>0,则a是；若“<0,则。是；若a<〃，则“一力数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；

是；若〃>如则是；（填正数,负数或0）例6若〃为无限不循环小数且，>0,，，是〃的小数部分，

则“b是（）

2、有理数的概念和分类

A、尢埋数B、整数C、有埋数

整数和分数统称为有理数。

D、不能确定

例7若。为有理数，则“不可能是（)②数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的

A、整数B、整数和分数C、幺（，HO）方向可以是任意的方向；

P

③数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位

D»n

长度与单位长度要保持相等；

3、数轴

④有理数在数轴上都能找到点与之对应，-•般

标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

地，设。是一个正数，则数轴上去示数。的点

数轴有三要索：原点、正方向、单位长度。

在原点的右边，与原点的距离•是0个单位长度;

画一-条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），

去示数-0的点在原点的左边，与原点的距离是

选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正

。个单位长度。

方向，就得到数轴。

⑤在数轴上求任意两点a,b的距离L,则有公式

在数轴上所去示的数，右边的数总比左边的数大，即

L=|“-4或L=|b-4，这两个公式选择那个都一

从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大

样。

于0,负数都小于0,正数大于负数。

例8在数釉上表示数3的点到表示数“的点之间的距离是

概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位

10,则数〃=;若在数轴上表示数3的点到表示数〃的

长度缺一不可；

点之间的距离是〃，则数。=。

数，一个负数；(2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0

B、如果两个数互为相反数，则它们的商为」；的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可

C、如果a+”0,则数a和数b互为相反数;a(a>0)

用字母a表示如下：时=<0(«=0)

D、互为相反数的两个数一定不相等；-a(a<0)

例12求出下列各数的相反数(3)两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例13化简下列各数的符号概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的

知识窗口：①一个数前面加上“一”号，该数就成r它的点与原点的距离”，而距离是非负，也就

相反数；是说任何一个数的绝对值都是非负数，即

②•个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负|^>0O

号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号②互为相反数的两个数离原点的距离相等，乜就是说互为

的个数无关。相反数的两个数绝对值相等。

5、绝对值例14如果两个数的绝对值相等，则这两个数是

数轴上表示数"的点与原点的距离叫做数〃的绝对值,)

(1)绝对值的儿何意义：一个数的绝对值就是数轴上表A、互为相反数B、相等C、积为0

示该数的点与原点的距离。D、互为相反数或相等

例15已知ab>0,试求回+坐+华的值.这个数。

abab

例16若|=-x,则x是_________数；例20计算下列各式

例17若|W3I+I尸2I=0,则(1+»岫=;①(-3)+(-9)=0(-4.7)+3.9=

例18将下列各数从大到小排列起来明+(令④(/)+江⑤0+(-2)=

、、一、

0-320.000!(2)有理数加法的运算律：

64

例19如果两个数“和〃的绝对值相等，则下列说法正确加法的交换律:a+b=b+a;加法的结合律：(a+b)+c=

的是()a+(b+6

A、a-bB、—=-1C、a+b=0知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：

b

D、不能确定先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符

二、有理数的运算号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

1、有理数的加法例21计算下列各式

(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号,2、有理教的减法

并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对(1)有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相

值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对反数。a-b=a+(-b)

值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得(2)有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果

的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变(2)有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba;结合律:

运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。交换律：a(b+cj=ab+acD

(3)有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再(3)倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即

按有理数加法法则进行运算；ab=l,则a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分

概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等子分母的位置颠倒过来，

于加上这个数的相反数”即可转化。概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”

转化后它满足加法法则和运算律。不要误认为成“同号得正，异号得负”

例以计算：-7-11-9+5②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相

例"月球表面的温度中午是lore,半夜是-153"C,中午乘，若有一个因数为0,则积为0；几个都

比半夜高多少度？不为0的因数相乘，积的符号由负因数的

例24已知加是6的相反数，“比”的相反数小5,求“个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积

比，“大多少？为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

3、有理数的乘法③有理数乘法的计算步躲：先确定积的符号，再求各因数

(1)有埋数乘法的法则：两个有埋数相乘,同号得止，绝对值的枳。

异号得负,并把绝对值相乘；任何数与。相乘都得0。例25计算卜.列各式:

4、有理数的除法个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其

有理数的除法法则：倒数。注意：0没有倒数，

除以一个不等于0的数，等于乘上这个数的倒数，例26倒数是其本身的数有;

a^-b=if-(b*0)例27计算下列各式：

b

这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成5、有理教的乘方

是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除,(1)有理数的乘方的定义：求儿个相同因数a的积的运

0除以任何一个不等于0的数都等于0。算叫做乘方，乘方是一种运算，是儿个相同的因数的特殊

概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数,乘法运算，记做其中a叫做底数，表示相同的因数,

等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n

满足乘法法则和运算律,个a相乘，不是n乘以处乘方的结果叫做嘉。

②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分(2)正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数,

之一，即。的倒数为2(，工0)；求一个其分数和

a负数的奇数次方是负数，0的任何非0次第都是0,1的

假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一卜.即任何非0次耗都是1,-1偶数次需是1、-1奇数次募是-1；

可，即2的倒数为丝；求一个带分数的倒数，概念剖析：①所表示的意义是n个a相乘，不是

应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一n乘以a；

②(-a)"*-an,,(-«)n因为表示〃个-〃相乘，而-"表示"个偶数可以表示为2〃“

。的相反数；6、有理数的混合运算:

③任何数的偶次薪都得非负数，即，产之0。运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减。2、同级运算,

例28①2’的意义是_________________________；从左到右进行。3、如有括号，先做括号内的运算，按小

②-5」的意义是_______________________；括号、中括号、大括号依次进行

③(-9$的意义是；

【混合运算剖析】

例29当“=-3,b=?时，则〃+〃=;

(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、

例30计算：(-2)皿+(-2严)除、乘方的运算法则、运算律和运算顺序。比较熨杂的混

例31若4外工0,*0)互为相反数…是自然数,则合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段,

()计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算

A、＜小和夕互为相反数B、/川和庐川互为相括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算“

反数(2)进行有理数的混合运算时，应注意：一•是要注意运

C、a?和//互为相反数D、，和/互为相反算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要

数注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速

知识窗口：所有的奇数可以表示为2〃+1或2”-1;所有的度和运算隹力。

知以窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即中”为自然数，

先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括①当〃之1()时，〃为这个数〃的整数位数减1;例

号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进如：用科学记数法表示188(X)0.04得

行。1.8800004x1()5,它满足1«1.8800004<10,5=6-1

例32计算下列各式(I88O(X).O4的整数部分有6位数);

例33已知。的绝对值为3、旦。满足x的一元一次方程②当叱〃<10时，〃为0;例如:用科学记数法

2

(a-b)x+(3+a)x-2=Of则/+/+巴的值为多少？表示1.880(X)04彳导l.88OOOO4x10°;

b

7、科学记数法n在让数字精确和数有效数字时应注意：

(1)把一个大于10的数记成“xlO”的形式，其中。是①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要

整数位只有•位的数，这种记数方法叫做科学记数求将•个小数精确到千分位，而四舍五入所得到

法。的结果千分位为。时，该。不能省略。如：将

(2)与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近2.08965601精确到千分位，应为2.090,不应为

的数叫做近似数,一般地，一个近似数，四舍五人到2.09。其他分位也应注意。

哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例34用科学记数法表不卜列各数

概念剖析：I把一个正数用科学记数法表示为axlO",其①1893400000②800032000③0.2

120万人民币；C、互为相反数的两个数的绝对值相等D、互为倒

例35用四舍五入法完成下列各题数的两个数的绝对值相等

①0.02954=（精确到千分位），3、绝对值最小的数是（）A、1B、0C、

②（）.999999*（精确到万分位），-1D、不存在

③093=（精确到个位）4、计算（-2『+（-24）所得的结果是（）A、0B、

练习：32C、-32D、16

一、选择题：5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（）A、1

1、下列说法正确的是（）B、0C、-1D、士1

A、非负有理数即是正有理数B、0表示不存在，6、（-3）-（-4）+7的计算结果是（）A、0B、

无实际意义8C、-14D、-8

C、正整数和负整数统称为整数D、整数和分数统7、（-2）的相反数的倒数是（）A、；B、

称为有理数C、2D、-2

2、下列说法正确的是（）8、化简：一=4,则“是（）A、2B、-2C、

A、互为相反数的两个数一定不相等B、互为倒2或D、以上都不对

数的两个数一定不相等9、若|x+l|+|y-2|=。，则x+y=（）A、-1B、

1C、0D、3是2,贝ija+b=;cd=;m=。

10、有理数a,b如图所示位置，则正确的是()19、如果a的相反数是-5,则广,\a\=,

A>a+b>0B、ab>0C>b-a<0D、|>|d|I"-3=O

二、填空题20、若|a|=4,|b|=6,且ab<Qt则|a-b\=。

IL(-5)+(-6)=;(-5)-(-6)三、计算:

=o(1)-48+82-(-25)+(-5)2(2)

12、(-5)X(-6)=;(-5)-?6=o-3-+5-+(-2)XA

2514

13、(一21x(T)=-------------；-24xy=-----------o(3)-3?+(-3-+3x(-2)(4)

2

24-8+(-4)x(--)

14、(-31x'---------------；_3、g=------------。

(5)-32+16+(-2)?-(-6)x(-3)(6)

15^-产+(-产=;

卜1小卜0)用

16、平方等于64的数是;的立

方等于-64四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的

17、与它的倒数的积为。产量如卜.所示：

18、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值星期—•二三四五六日

增减/-1+3-2+4+7由数与字母的积组成的式子叫做单项式，其中数字因数

辆510叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次

比计划的100台多的记为正数，比计划中的100台少的数C单独的一个数或字母也叫做单项式。

记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天2、书写单项式的规定

的产量最多，那一天的产量最少？(1)数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不

五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表写或用代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因

是本星期的生产情况：数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字

星期―■二三四五六日相乘时仍要写“X”号。

增减/-1+3-2+4+7(2)两徵相除时，一般要写成分数的形式。

柄510概念剖析：①单项式是代数式中的一种特殊形式；

比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负②要判断一个式子是否是单项式，只要看看它是否满足单

数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期项式的定义；

的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最③单独的一个数作为单项式时，其系数就是它

少？本身，次数为。；单独的一个字母作为单项式时，其系数

1、单项式就是1,次数为它本身的次数；

④若一个单项式的次数为相，我们就叫该单项式，"次单项做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的

式；次数叫做该多项式的次数；如果一个多项式有“项，且次

⑤单项式与单项式相等的条件：儿个单项式完全相同。数为〃，，则我们称该多项式为，“次”项式，

例1、下列式子中，①，力②1③-2.P④|+a⑤3x3+8概念剖析：

⑥㈡⑦?⑧一空1是单项式的有（只填序号）；①在多项式里，所有字母的指数都是非负数。

〃+8217

②多项式与多项式相等的条件：几个多项式的

例2、式子5曲--7^+1,-白，21：中，单项式的个

JJ对应项完全相同。

数是（）

例5、多项式①3x+5y+2z是由哪些项组成，这些系数分

A、4个B、3个C、2个

别是，次数；

D、1个

②;分是由哪些项组成，系数是，次数；

例3、单项式-2""厅+吁］是关于八）,的4次单项式,

例6、若5-2）-+3/），-丁-个+1是关于八y的四次四

其系数是6,求〃，和“的值;

项式，则卅=；

例4、若单项式与单项式机匚v’相等，则加=,"=;

例7、当）取何值时，多项式《-5），-5可化循为关于），的

8、多项式

一次单项式；

几个单项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫

例8、若多项式7x）,2+3.q+"与多项式心4./+34，+7相

等，贝=,n例11、当"时，3/旷与-2心产1是同类项;

9、整式单项式和多项式统称整式2、合并同类项

二、整式的加减把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，不

1、同类项是同类项不能合并。

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）

做同类项，常数项也是同类项。字母和字母的指数不变。

概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同；例12、把多项式13x-9+76x+l-2/-3x合并同类项后得

（2）相同字母的指数也分别相同。即：“两相

同，一关系;”两相同：所含字母相同、相同字例13、当4=-；时，求多项式3«2—5。+2—6«2+6。一3的值;

母的指数也分别相同；i关系：字母与字母之例14、已知-2x1，"与同类项，求多项式

间是乘积关系。2nfn-3mn+5m2n+3mn-6-4m2n-7mn-2m2n+5的

4

例9、指出多项式2xy--8xy+1x-x、，+；入了里的同类的值；

项它们分别是；例15、若单项式x、，”与，的和仍是单项式，则

例10、若-7.L'，*与-3心”是同类项，则，"4，“一3"二;

3、去括号

去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它前③把字母的值代入化简后的式子

例、求多项式2必一5工+炉+4工-3%2一珊值，其中x=g

面的“+”号去掉后，原括号里各项符号都不改变；（2）19

m求多项4力+abc-gd-3*2+的值，

括号前是“一”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，伊]NU

其中q—-2.c■—3

原括号里各项的符号都要改变。三、探索规律6

例16、将下列各式的括号去掉1、探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规

例17、化简a-{-[5a-律

4、整式的加减2、用代数式表示简单问题中的数量关系，运用合并同类

整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的项，去括号等法则验证所探索的规律。

就先去括号，然后合并同类项例21、观察卜列算式：

概念剖析：整式加减运算的步骤：（D去括号；（2）判断31=3、3'=9、3?=27.3*=81、3，=243、3"=729.

同类项；（3）合并同类项；37=21873*=6561、……用你发现的规律写出3^的末位

例18化简（5a-初幼）数字是，3丽,的末位数字是；

5、多项式求值的计算例22、耨一张长方形的纸对折，如卜.图所示，可得到1

多项式求值的计算方法：①仃括号的先去括号条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与

②合并同类项上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到7

条折痕，则对折4次可以得到条折痕;如果对折〃次,要的火柴棍总数为根。

可以得到条折痕，例26、观察下列等式

9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=

例2：h'l_____________U_I_i__U

20,……这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示

第1次时第2次第3次对

级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、

自然数，用关于n的等式表示出来:。

2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加

例27、给出下列算式：

时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、

12+1=1X2,22+2=2x3,32+3=3X4,……你能发

8、13、21……这就是著名的斐波那契数列.则小

现什么规律，用代数式子表示这个规律:。

聪上这9级台阶共有种不同方法；

例28、一•项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙

例24、观察下列顺序排列的等式：

9x0-f-1=1,9x1+2=11,9x2+3=21,9x建筑队单独承包需要8天完成，现两队联合承包，完成这

项工程需要（）天.

A.—B.-+-C.—D.—

a+baba+bah

例29、用黑白两种颜色的正六边形地面稹按如卜.所示的

规律.拼成若干个图案：

（1）第4个图案中有白色地面砖块；（2）第n个图案中有白品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%,现售价为

色地面砖块.n元，则该电脑的原售价为（）

A、（［〃+〃】）元B、（：〃+，”）元C、（5"i+v）元D、

例30、一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定出

（5〃+，”）元

售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能

4、当“=6=］时，多项式（。-协、的值是（）

盈利（）.A.0.125aB.0.15aC.0.25a36

A>—B>-C、—

D.1.25a126436

练习题：5、已知公式=_L+，,若m=5,n=3,则p的值是（）

pmn

18

一、选择题：A8Bc-a15

、

、

、8

8-

15

1、下列各式中单项式书写正确的是（）

6、下列各式中，是同类项的是（）

A、nrB、x2C、D、x+2

A、3/y与-3冷,B、3不与-2yxC、2/与2xD、

2、用多项式表示比y的2倍少1的数，正确的是（）

51w与5Vz

A、2（y-1）B、2y+1C、2y-1D、1

二、填空题:

-2y7、某商品利润是a元，利润率是20%,此商品进价是

3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某

8、某商品原价每件b元，第一次降价打“八折”，第二次Bo

降价每件又减1。元，第一次降价后的售价是元，第二次14、观察卜面一组式子：

降价后的售价是元。(1)ixl=i-l；(2)=(

222323

1111

9、当m=2,n=-5时，2〃/-〃的值是—X—=..............

4545

写出这组式子中的第(10)组式子是

10、化