人教版中学七年级数学下册期末解答题培优试卷及答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题培优试卷及答案

一、解答题

1.如图，用两个面积为8cm?的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形.

（1）大正方形的边长是.cm•

（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为14cm?的长方形纸

片，使它的长宽之比为2:1,若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理

由.

2.教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角

三角形拼成一个面枳为2的大正方形.由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的

方法（数轴的单位长度为1）.

S1

(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为

迁移应用：

请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正

方形.

①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图.

②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数一0.5以及-3+6的点，并比较它

们的大小.

1111______1111______L]

-3-2-101234

£3S4

3.动手试一试，如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图

2的虚线4R8C将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCO.

（1）基础巩固：拼成的大正方形A8co的面积为,边长AO为：

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点8与数轴上的-1重

合.以点8为圆心，8C边为半径画圆弧，交数轴于点E,则点E表示的数是：

（3）变式拓展：

①如图4,给定5x5的方格纸（每个小正方形边长为1）,你能从中剪出一个面积为13的

正方形吗？若能，请在图中画出示意图；

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.

图4备用图

4.有一块面积为100c”的正方形纸片.

（1）该正方形纸片的边长为cm（直接写出结果）；

（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90c”2的长方形纸片，使它的长宽之比

为4：3.小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？

5.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资

产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5：3.

（1）求原来正方形场地的周长；

（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

二、解答题

6.已知，AE//BD,NA=ZD.

（1）如图1,求证：ABi/CD；

（2）如图2,作4AE的平分线交于点尸，点G为A8上一点，连接尸G,若NC尸G的

平分线交线段AG于点〃，连接AC,若NACE=NB4C+NBGM,过点H作〃M_L阳交

AG的延长线于点且3/七一544尸〃=18。，求NEAF+NGM〃的度数.

E

DC

ABH

图1图2

7.已知：直线4811CD,直线M/V分别交48、C。于点£、F,作射线EG平分N8EF交CD

于G,过点F作FH_LM/V交EG于H.

(1)当点H在线段EG上时，如图1

①当/BEG=36时，则/HFG=_.

②猜想并证明：N8EG与NHFG之间的数量关系.

(2)当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：N8EG与

/HFG之间的数量关系.

(1)若N1的度数为“，试求N2的度数(用含〃的代数式表示)；

(2)如图②，再将纸片沿G"对折，使得8落在C'。'的位置.

①若EFUC'G,N1的度数为。，试求N3的度数(用含。的代数式表示)；

②若夕F_LCG,N3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

9.已知4811CD,N48E与NCDE的角分线相交于点F.

(1)如图1,若BM、0M分别是NA8F和NCDF的角平分线，且/8ED=100。，求NM的

度数；

(2)点8在两条平行线之间，过点3作比＞_LAM于点D.

①如图2,说明NA8D=NC成立的理由；

②如图3,BF平分NDBC交DM于点、F,BE平分ZABD交DM于点、E.若

NFCB+NNCF=180°,NBFC=3NDBE,求/EBC的度数.

12.将两块三角板按如图置，其中三角板边4A=A£,/BAC=NE4£)=90。，ZC=45°,

ZD=30°.

②N8AE+NG4O=180。：

③如果8C//AP,则AB平分/£40.

(2)如果/C4O=150。，判断N3/力与NC是否相等，请说明理由.

(3)将三角板人BC绕点A顺时针转动，直到边AC与入。重合即停止，转动的过程中当两

块三角板恰有两边平行时，请直接写出NE4B所有可能的度数.

13.如图，AB±AKf点人在直线MN上，48、AK分别与直线EF交于点8、C,

ZMAB+NKCF=90°.

(2)如图2,NM48与/ECK的角平分线交于点G,求NG的度数：

(3)如图3,在NM八8内作射线AQ,使NM42=2NQA8,以点C为端点作射线CP,交直

税42于点T,当NC以=60。时，直接写出NFCP丐N4CP的关系式.

14.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸多安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自A"顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线

自8P顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯4转动的速度是。？

秒，灯8转动的速度是泊秒，且0、b满足|〃-4力|+(4+八5『=。.假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即PQ〃MY,且NB4N=60。

图1图2

（1）求。、b的值：

（2）若灯8射线先转动45秒，灯4射线才开始转动，当灯8射线第一次到达8Q时运动

停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作

CD^LAC交PQ于点D,在转动过程中，㈤。与NAC。的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

15.已知。〃人直角4Abe的边与直线。分别相交于。、G两点，与直线b分别交于E、F

点，NACB=90.

（1）将直角“8C如图1位置摆放，如果440G=46，贝ijNCfcK=;

（2）将直角SB。如图2位置摆放，N为4c上一点，/NEF+NCEF=T80。,请写出

NNM与NAOG之间的等量关系，并说明理由.

（3）将直角4ABe如图3位置摆放，若NGOC=140,延长43交直线b于点Q，点P是

射线GF上一动点，探究NPOQ,/0PQ与/PQ尸的数量关系，请直接写出结论.

四、解答题

16.（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相

等.如图1，是平面镜，若入射光线4。与水平镜面夹角为N1,反射光线。8与水平镜

面夹角为/2,则N1=N2.

（现象解释）

如图2,有两块平面镜OM,ON,且O/W_LON,入射光线A8经过两次反射，得到反射光线

CD.求证4BIICD.

（尝试探究）

如图3,有两块平面镜OM,ON,月./MON=55。，入射光线4B经过两次反射，得到反射

光线8,光线48与8相交于点£,求N8EC的大小.

（深入思考）

如图4,有两块平面镜OM,ON,且NMON=a,入射光线A8经过两次反射，得到反射光

线CD,光线48与CD所在的直线相交于点E,NB£D=6,a与6之间满足的等量关系

是.（直接写出结果）

17.如图1,已知八811CO,8E平分NA8D,平分/8DC.

（1）求证：Z8EO=90。；

（2）如图2,延长BE交8于点从点F为线段EH上一动点，ZEDF=a,/A8F的角平

分线与NCDF的角平分线DG交于点G,试用含a的式子表示NBGD的大小；

（3）如图3,延长BE交CO于点H,点F为线段EH上一动点，N的角平分线与

NFDN的角平分线交于点G,探究N8G。与N8FD之间的数量关系，请直接写出结

论：.

Z.ACB=NEDF=90\ZABC=NBAC=45°,ZDFF=30\ZDEF=60.

(1)若△£>£尸如图1撰放，当ED平分NPEF时,证明：FD平分/EFM.

E

图1

（2）若AAACAOQ如图2摆放时，则/凡犯=

图2

（3）若图2中&48C固定，将AD口沿着AC方向平移，边Z）口与直线0Q相交于点C,

作NR7。和NGE4的角平分线GH、"/相交于点〃（如图3）,求NGHF的度数.

图3

（4）若图2中及）砂的周长35。〃,4/二5。〃，现将AA8C固定，将ADEE沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△少点。、E的对应点分别是O'、E，,请直接写

出四边形。£40’的周长.

（5）若图2中固定，（如图4）将AA3C绕点A顺时针旋转，I分钟转半圈，旋转

至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段8c与4）斯的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

M

AN

图4

19.如图①所示，在三集形纸片ABC中，ZC=70°,NB=65。,将纸片的一角折叠，使

点A落在二ABC内的点4处.

（1）若Nl=40。，Z2=.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想Nl,Z2,乙4之间的数量关系，直接写出结论.

②当点A落在四边形3CDE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，

请说明理由，若不成立，44,Zl,N2之间又存在什么关系？请说明.

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图

中的/I+N2+/3+N4+N5+N6和是.

20.已知，如图1,直线l2_Lh,垂足为A,点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线L上，点A的右侧，过D传b_Lli,点E在直线卜上，点D的

下方.

（1）12与b的位置关系是：

（2）如图1,若CE平分NBCD,且/BCD=70。，则NCED=°,ZADC=°；

（3）如图2,若CDJ_BD于D,作NBCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=ZDFG；

（4）如图3,若NDBE=NDEB,点C在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NN:NBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

【参考答案】

一、解答题

1.（1）4；（2）不能，理由见解析.

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先设未知数根据面积=14（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再

解析：（1）4；（2）不能，理由见解析.

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先设未知数根据面积=14（cm?）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再判断即可.

【详解】

解：（1）两个正方形面积之和为：2x8=16（cm?）,

.,•拼成的大正方形的面积=16（cm2）,

大正方形的边长是4cm；

故答案为：4；

（2）设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,

则2x・x=14,

解得：x=y/l»

2x=2/7>4,

一.不存在长宽之比为2:1且面积为14cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键.

2.（1）；（2）①见解析；②见解析，

【分析】

（1）设正方形边长为a,根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，

则知结果；

（2）①根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②

解析：（1）V2,-V2；（2）①见解析；②见解析，-3+75<-0.5

【分析】

（1）设正方形边长为a,根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；

（2）①根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②由题（1）的原理得出大正方形的边长为石，然后在数轴上以为圆心，以大正方形的

边长为半径画弧交数轴的右方与一点M,再把N点表示出来，即可比较它们的大小.

【详解】

解：设正方形边长为a,

,/a2=2,

••a=±>/2，

故答案为：0，-夜；

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的边长为b,

b2=5»

b=±5/5,

在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M,则M表示的

数为-3+石，看图可知，表示⑷.5的N点在M点的右方，

令£A工AA

-3-2-VVO1234

「•比较大小：一3+6<-0.5.

【点睛】

本题主要考杳平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方

根的意义及实数的大小比较是解题的关键.

3.（1）10,；（2）；（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面

积的算术平方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实

解析：（1）10,M；：2）Vio-l;（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面枳的和，那么就得到了大王方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；

（3）以2x3的长方形的对角线为边长即可画出图形：

（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形.

【详解】

解：（1）,•,图1中有10个小正方形，

..・面积为10，边长AD为M；

（2）BC=Ji6,点B表示的数为

BE=V10，

•・•点E表示的数为布-1；

（3）①如图所示:

图4

②;正方形面积为13,

边长为历，

如图，点E表示面积为13的正方形边长.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特

点画出正方形是解此题的关键.

4.（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算

解析：（1）10：（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边长为10cm；

故答案为：10;

（2）•••长方形纸片的长宽之比为4：3,

设长方形纸片的长为4xcm,则宽为3xcm,

则4x・3x=90,

12x2=90,

."=竺

4

解得：、=芋或-与(负值不符合题意，舍去)’

长方形纸片的长为2同cm,

1.,5V同V6,

10<2730,

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根.解题的关键是掌握算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫

这个数的算术平方根；。的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

5.(1)原来正方形场地的周长为80m：(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长;面积的算术平方根，周K二边KX4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为

解析：(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为5am,计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用.

【详解】

解：(1)7400=20(m),4x20=80(m),

答：原来正方形场地的周长为80m；

(2)设这个长方形场地宽为3am,则长为5am.

由题意有：3ax5a=300,

解得：a=±>/20,

V3a表示长度，

/.a>0,

a=V20，

「•这个长方形场地的周长为2(3。+5。)=16。=16而(m),

,/80=16x5=16x725>16而，

「•这些铁栅栏够用.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换口得，最后根据平行线的判定即

可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：（1）见解析；（2）72。

【分析】

（1）根据平行线的性质得出乙4+4=1803再根据等量代换可得N3+ND=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作砂//8,延长OC至。，过点、M作MN〃AB,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=NBGM=/。尸G,再根据平角的含义得出NEC『=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线为定义可推出NBHF=NCFH/CFA=NFAB:设

4FAB=a,4CFH=/3,根据角的和差可得出NAEC=2ZAF”，结合已知条件

3/4反7-54月〃-18。。可求得/4”-18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：\AEHBD

.•./4+/8=180。

vZ4=ZD

ZZy+ZD=180°

/.AB//CD；

（2）过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点、M作MN//AB

AB//CD

•.NQC4=NC44,/BGM=NDFG,NCFH=4BHF,ACFA-FAG

,•ZACE=ZBAC+ZBGM

/.ZECQ+NQC4=N84C+/BGM

NECQ=4BGM=Z.DFG

NECQ+ECD=180°,NDFG+CFG=180°

/.4ECF=/CFG

AB//CD

ABHEP

乙PEA=NEAR,NPEC=NECF

NAEC=4PEC—乙PEA

ZAEC=ZECF-/EAB

:"ECF=ZAEC+ZEAB

4F平分ZME

?.ZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

・；FH平分NCFG

ZCFH=NHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

：.NBHF=ZCFH,乙CFA=/FAB

设4FAB=a、4CFH=。

•/ZAFH=NCFH-NCFA=/CFH-ZFAB

:.ZAFH=fi-at4BHF=/CFH=。

Z.ECF+2ZAFH=ZAEC+NEAB+2ZAFH=Z.AEC+20

NECF+2ZAFH=NE+2/BHF

AAEC=2^AFH

3ZAEC-5Z4m=180°

/.ZA/T/=I8°

FHIHM

ZFHM=90°

:"GHM=90。—0

VZCF/W+ZWF=180°

/HMB=NHMN=90°-p

.^EAF=AFAB

/.Z.EAF=ZCFA=匕CFH-4AFH=^-18°

ZEAF+NGMH=4一180+90。一〃=72。

4EAF+4GMH=TT.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此胭的关键.

7.（1）①18°；@2ZBEG+ZHFG=90°,证明见解析；（2）2ZBEG-

ZHFG=90。证明见解析部

【分析】

（1）①证明2/BEG+NHFG=90。，可得结论.②利用平行线的性质证明即

可.

解析：（1）①18°；②2/8EG+NHFG=90°,证明见解析；（2）2/8EG-NHFG=90°证明见

解析部

【分析】

（1）①证明2N8EG+N，FG=9O。，可得结论.②利用平行线的性质证明即可.

<2）如图2中，结论：2ZBEG-Z.HFG=90°.利用平行线的性质证明即可.

【详解】

解：（1）①；EG平分NBEF,

ZBEG=ZFEG,

•/FH±EFt

ZEFH=90°,

,/ABWCD,

ZBEF+Z.EFG=180°,

/.2Z8£G+90°+NHFG=13C°,

：.2ZBEG+NHFG=90°,

•/ZBEG=36°f

ZHFG=18°.

故答案为：18。.

②结论：2NBEG+ZHFG=90°.

理由：:EG平分N8EF,

Z8EG=NFEG,

,/FHA.EF,

ZEFH=90°,

,•B8IICD,

Z8EF+NEFG=180°,

：.2Z8£G+900+ZHFG=18C°,

2NBEG+Z.HFG=30\

（2）如图2中，结论：24BEG-NHFG=90°.

AB

F1\G

C~~\D

图27H

理由：fEG平分N8EF,

ZBEG=NFEG,

FHJLEF,

/.ZEF斤=90°,

:A8IICD,

：.ZBEF+NEFG=18Q°,

：.2Z8£G+900-NHFG=130\

/.2NBEG-2HFG=90°.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

8.（1）；（2）①；②

【分析】

⑴由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的定义

求解即可；

⑵①由（1）知，，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质及平角的定义

解析：（1）90。—；。；（2）①45。+；。；②50。

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N9用?=。，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的

定义求解即可；

⑵①由（1）知，NBFE=90°—ga,根据平行线的性质得到NBFE=NCGB=90。—%,

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由（1）知，ZBFE=ZEF/r=90°-1zi,由/T/J.C'G可知：

Z^FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB'FC+^FGC'=Zl+14（）°-2Zl=90°,即可求解.

【详解】

解：（1）如图，由题意可知

Zl=Z4=a»

•/AD//BC,

N4=NB'FC=a,

...NB"3'=180°—a,

（2）①由题（1）可知N8尸E=90。—go,

1.,EFHC'G,

NBFE=NCG3=90。」a,

2

再由折叠可知：

Z3+/HGC=180°-Z.CQB=180°-（90。-g〃）=900+g。，

②由9尸JLC'G可知：ZB,FC+ZFGC'=90°,

由(1)知庄=90。一,/1,

2

/&FC=180。—2/BFE=180。一2Q0°—；N1)=N1,

又N3的度数比N1的度数大20。，

.•・Z3=Z1»20°,

ZFGC=180°-2Z3=18O°-2(Z1+2O°)=140°-2Z1,

AirFC+4FGC'=Z1+14O°-2Z1=9O°,

Zl=50°.

【点睛】

此题考杳了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等“、

“两直线平行，内错角相等〃及折叠的性质是解题的关键.

9.(1)65°；(2)；(3)2nZM+ZBED=360°

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHIIAB,连结MF,利用平行线的性质可得

zABE+zCDE=260°,再利用角平分线的定义得到/ABF+

解析：(1)65°；(2)———:(3)2nZM+ZBED=360°

6

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHWAB,连结MF,利用平行线的性质可得NA8E+NCDE=260。，再

利用角平分线的定义得到/4RF+ZCDF=nO°.从而得到/RFD的度数,再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求NM的度数；

(2)先由已知得至此48E=6N48M,ZCDE=6ZCDM,由(1)得NA8E+NCDE=360°-

ZBED,ZM=Z48M+NCDMt等量代换即可求解；

(3)由(2)的方法可得到2〃NM+NBEO=360。.

【详解】

解：(1)如图1,作FH//AB,连结M/，

C—

图1

-AB/ICD,

..EG//AB//FH//CD,

：.ZABF=ZBFH,4CDF=4DFH,ZABE+/BEG=18O。,NGED+NCDE=l盼,

/.ZABE+NBEG+NGED+NCDE=360°,

/BED=NBEG+NDEG=画,

..ZABE+ZCDE=2Cir,

ZABE和NCDE的角平分线相交于E,

.-.ZABF+ZCDF=130°,

/BFD=/BFH+ZDFH=130°,

BM、DM分别是ZABF和NCDF的角平分线，

/.乙MBF=-/ABF,/MDF=-/CDF,

22

/.ZMBF+AMDF=65°,

/BMD=130°-65°=65°：

(2)如图1,vZABM=-ZABF,NCDM=>NCDF,

33

...ZABF=3ZABM,4CDF=3/CDM,

ZABE与NCOE两个角II勺角平分线相交于点F,

:.ZABE=6ZABM,NCDE=6/CDM,

6ZABM+6NCDM+/BED=360°,

4BMD=AABM+"DM,

/.6/BMD+/BED=360°，

。。

/.NwBMD=-3-6-0----a--:

6

(3)由(2)结论可得，2"BM+ZiNCDM+NE=3的,NM=ZABM+NCDM,

则2//ZAZ+/BED=360°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，

内错角相等，同旁内角互补的性质.

10.(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；

ZCPH；ZAPH,ZCPH；(2)①NAPQ+NPQC=NA+NC+180°成立，理由见

解答过程；②3/PMQ+ZA+ZC=360°.

解析：(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；NCPH；

NAPH,NCPH；(2)①NAPQ+NPQC=NA+NC+180。成立，理由见解答过程；

②3/PMQ+N八+NC=360°.

【分析】

(1)根据平行线的判定与性质即可完成填空；

(2)结合(1)的辅助线方法即可完成证明；

(3)结合(1)(2)的方法，根据N4PM=2NMPQ,ZCQM=2ZMQP,

ZPMQ+ZMPQ+ZPQM=180°,即可证明/PMQ,/A与NC的数量关系.

【详解】

解：过点P作直线PHIIA3,

所以NA=NAPH,依据是两直线平行，内错角相等；

因为A8IICD,PH11AB,

所以PHIIC。，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以NC=(ZCPH),

所以NAPC=(ZAPH)+(ZCPH)=ZA+ZC=97°.

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；Z.CPH；

ZAPH,ZCPH；

(2)①如图2,NAPQ+/PQC=NA+/C+180。成立，理由如下:

图2

过点P作直线PHII48,QGIIABf

■：AB\\CD,

：.ABWCDIIPHIIQG,

/.ZA=NAPH,NC=ZCQG,ZHPQ+ZGQP=180°,

ZAPQ+NPQC=NAPH+NHPQ+NGQP+NCQG=Z4+ZC+180°.

ZAPQ+NPQC=NA+ZC+1800成立；

②如图3,

图3

过点P作直线PHIIA8,QGIIAB,MNllAB,

,/ABWCD,

：.AB\lCDIIPHWQGIIMN,

/A=NAPH,ZC=ZCQG,ZHPQ+ZGQP=180°,/HPM=4PMN,ZGQM=

ZQMN,

ZPMQ=NHPM+Z.GQM,

•：NAPM=2NMPQ,ZCQM=2ZMQP,NPMQ+NMPQ+NPQM=180°,

ZAPM+NCQM=4A+ZC+ZPMQ=2AMPQ+2NMQP=2（180°-ZPMQ）,

3ZPMQ+NA+ZC=360°.

【点睛】

考核知识点：平行线的判定和性质.熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是美

键.

三、解答题

11.（1）NA+/090。：（2）①见解析：②105。

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作

BGII

解析：（1）NA+NC=90°；（2）①见解析；②105°

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

⑵①过点8作8GII0M,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点8作8GIIDM,

根据角平分线的定义，得出N48F=/G8F,再设ND8E=Q,ZABF=6,根据

NCBF+NBFC+NBCF=180°.可得2a+6+3cz+3cr+6=180°,根据48_L8C,可得6+6+2（x=90°,最

后解方程组即可得到/ABE=15°,进而得出/EBC=ZA8E+N/ABC=15°+90o=105°.

【详解】

解：（1）如图1,AM与BC的交点记作点0,

AMWCN,

ZC=ZA0B,

•/AB±BC,

ZA+NAOB=90\

ZA+ZC=90°；

•••BD±AM,

DB±BG,

Z08G=90°,

ZABD+Z.ABG=90\

•/AB±BC,

：.ZC8G+N48G=90°,

ZABD=Z.CBG,

AMWCN.BGWDM,

BGHCN、

：.ZC=ZCBG,

ZABD=Z.C；

②如图3,过点8作8GliDM,

•/BF平分/DBC,BE平分/48。,

ZDBF=NCBF,ZDBE=ZABE,

由（2）知NABD=NCBG,

NABF-Z.GBF,

设NDBE=a,ZABF=6,

则NABE=a,ZABD=2a=ACBG,

ZG8F=NAFB=6,

Z8FC=3ZDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

•••ZAFC+Z./VCF=180°,ZFCB+N/VCF=180°,

ZFCB=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由NCBF+4BFC+Z.8CF=180°得：

2a+6+3a+3a+6=180Q,

AB±BC,

6+6+2a=90°,

/.a=15%

/.ZABE=15°,

ZEBC=NABE+NA8c=15°+90°=105°.

【点睛】

本题土要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角

的余角(补角)相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相

关联.解题时注意方程思想的运用.

12.(1)②③；(2)相等，理由见解析；(3)30。或45。或75°或120。或

135°

【分析】

(1)根据平行线的判定和性质分别判定即可；

(2)利用角的和差，结合NCAB=NDAE=90°进行判断

解析：(1)②③；(2)相等，理由见解析：(3)30,或45。或75。或120。或135。

【分析】

(1)根据平行线的判定和性质分别判定即可；

(2)利用角的和差,结合NCA8=NOA£=90°进行判断；

(3)依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到Na8角度所有

可能的值.

【详解】

解：(1)@/ZBFD-60*,Z8-45%

ZBAD+Z.D=Z8FD+N8=105°,

Z84。=105°-30°=75°,

ZBAD*匕B,

一.8C和八。不平行，故①错误；

Z8AC+NDAE=180°,

：.ZBAE+NCAD=ZBAE+AC4E+/DAE=18Q°,故②正确；

③若BCIIAD,

则/BAD"8=45°,

Z8AE=45°,

即48平分NE45,故③E确；

故答案为：②③：

(2)相等，理由是：

丁ZCAD=15Q°,

ZB/AE=180°-150o=30%

...ZBAD=60°,

丁ZBAD+ND=ZBFD+NB,

：.ZBFD=60o+30o-450=45<,=ZC；

(3)若八CllDE,

则NCAE=AE=60°,

/.ZE4B=90°-60o=30°；

若BCWAD,

则/8=Z8AD=45°,

ZE48=45°；

若BCWDE,

则NE=ZAFB=60°,

ZE48=180°-60°-45°=75°；

若48IIDE,

则ND=ZDAB=30°,

：.ZE/AB=30o+90o=120°；

E

若4EIIBC,

则NC=ZC4£=45°,

ZE48=45°+90°=135°；

综上：ZEAB的度数可能为30。或45。或75。或120。或135°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出

图形，学会用分类讨论的思想思考问题.

13.(1)见解析；(2)ZCGA=45°；(3)NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

(1)有垂直定义可得/MAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：(1)见解析；(2)/CGA=45°；(3)ZFCP=2ZACPFCP+2Z.ACP=180°.

【分析】

(1)有垂直定义可得NM48+NKC/V=90°,然后根据同隹的余角相等可得NK4N=NKCF,从

而判断两直线平行；

(2)设，KANMKCF=a，过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

(3)分CP交射线及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：(1)•/AB±AK

：.ZBAC=90°

ZMAB+Z.KAN=90°

•「ZMAB+AKCF=90°

ZKANNKCF

EFWMN

(2)设£KAN=Z.KCF=a

则NBAN=NBAC+4KAN=9Q,,+a

ZKC8=180°-ZKCF=130°~a

丁AG平分/NAB,CG平分/ECK

ZGAN=^8/W=45°+：a,ZKCG=/KCB=90°-^-a

2222

ZFCG=NKCG+NKCF=9Q°-\~^a

过点G作GHWEF

ZHGC=ZFCG=90°+ga

文:MNWEF

：.MNWGH

ZHGA=NGA/V=45°+

，CGA=NHGC—/HGA=(90o+y«)一(45。+异)=45°

••Z.CT\+ZTAC+ZACP=180°

ZCTA+ZQA8+ZBAC+ZACP=180°

又ZC7^=60°,Z5AC=90°

NQA3+N4CP=30°

由(1)可得：EFWMN

/.^FCA=ZMAC

1.,ZFCP=ZFCA+ZACP

ZFCP=ZMAC+ZACP

ZM4C=ZMAQ+ZQAB+ZBAC,ZMAQ=2ZQAB

NM4C=3NQ人小90°=3(30°-ZACP)I90°=180°-3ZACP

...//CP=180。-3ZAb—ZAC?

UPZFCP+2Z.4cp=180°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

4FCP=/FCA—AACP,由EFIIMN得NM4C=N尸C4

/./FCP=/MAC-ZACP

又•「N7XG=NQAB,ZZ?AC+ZC4G=180°,ZfiAC=90°

/.ZC4G=180°-ABAC=90°

ZC4T=ZC4G-Z.TAG=90°-NQAB

ZC4T+ZC7X+ZACP=180°,NG=60。

NC47+ZAb=120。

90°-ZQAB+ZACP=\20°

^QAB=^ACP-30°

由①可得Z/VMC=3ZQAB+90°

ZA14C=3（ZACP-30°）+90°=3ZACP

ZFCP=AMAC-ZACP=3ZACP-AACP=2AACP

综上，ZFCP=2NACP或NFCP+2AACP=180°.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

14.（1）,；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数表示，即可判断.

【详解】

解析：（1）a=4,b=\：（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，3N84C=4N4C3

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数，表示NUCZ）即可判断.

【详解】

解：(1)•「,一锄+(.+6-5)2=0,

a-4b=0

"'«+h-5=0，

a=4,b=\；

(2)设A灯转动f秒，两灯的光束互相平行，

①当Ovrv45时,

4/=(45+/)xl,

解得f=15;

②当45</<90时，

47-180=180-(r+45),

解得f=63；

③当90<f<135时，

4f—360=f+45,

解得f=135,(不合题意)

综上所述，当上15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

(3)设A灯转动时间为/秒，

•.•ZC4^=180°-4r,

二NBAC=60°-(1800-4/)=4/-120°,

又PQ//MN,

.•.NBC4=NCBD+NOW=f+1800-4f=180°-3/,

而ZAC£>=90。，

/.ZBCD=900=90°-(180°-3r)=3/-90°,

N8AC:N8C£>=4:3,

即3ZBAC=4ZBCD.

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

15.(1)136°；(2)ZAOG+ZNEF=90°,理由见解析；(3)当点P在GF上

时，ZOPQ=140°-ZPOQ+ZPQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°-

ZPOQ=NOPQ+ZPQF.

解析：(1)136°；(2)ZAOG+ANEF=90°,理由见解析；(3)当点P在GF上时，

ZOPQ=1400-ZPOQ+NPQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°-ZPOQ=

ZOPQ+ZPQF.

【分析】

(1)如图1，作CPIIQ,则CPIIallb,根据平行线的性质可得/40G=NACP,

N8CP+NCEF=18Q°,然后利用NACP+Z.8cp=90。即可求得答案；

(2)如图2,作CPIla,则CPIIallb,根据平行线的性质可得NAOG=NACP,

Z8CP+NCEF=180。，然后结合已知条件可得N8cp=NIVEF,然后利用NACP+N8cp=90。

即可得到结论；

(3)分两种情况，如图3,当点P在GF上时，过点P作P/VIIOG,则NPIIOGIIEF,根据

平行线的性质可推出NOPQ=NGOP+NPQF,进一步可得结论；如图4,当点P在线段GF

的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可.

【详解】

解：(1)如图1,作CPWa,

allb>

：.CPWallb,

/.ZAOG=Z.ACP,Z8CP+/CEF=180°,

/.Z8cp=180°・ZCEF,

•「ZACP+N8cp=90°,

ZAOG+1800-ZCEF=90Q,

*/Z406=46°,

ZCEF-136%

故答案为136。：

(2)Z40G+ZNEF=90°.

理由如下：如图2,作CPUa,

A

则CPWallb,

/.ZAOG=Z.ACP,Z8CP+/CEF=180°,

而NNEF+WCEF=180°,

ZBCP=Z.NEF,

...ZACP+N8CP=90°,

/.ZAOG+ANEF=90°；

(3)如图3,当点P在GF上时，过点P作PNIIOG,

/VPIIOGIIEF,

/.ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

/.ZOPQ=NGOP+NPQF,

：.ZOPQ=140。-ZPOQ+ZPQF；

如图4,当点P在线段GF的延长线上时，过点P作P/VIOG,

A/PIIOGIIEF,

：.ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

•：ZOPN=Z.OPQ+NQPN,

：.ZGOP=NOPQ+ZPQF,

/.1400-ZPOQ=NOPQ+NPQF.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、

灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.

四、解答题

16.【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC70；【深入思考】

2.

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=Z2,Z3=Z4,再利用

Z2+Z3=90°得出/1+Z2+Z

解析：【现象解群】见解析；【尝试探究】N8EC=70。；【深入思考】/?=2a

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=/2,Z3=Z4,再利用N2+/3=90。得出

Z1+Z2+Z3+Z4=180°,即可得出/DCB+ZABC=180%即可证得ABIICD：

［尝试探究］根据三角形内角和定理求得N2+Z3=125%根据平面镜反射光线的规律得

Z1=Z2,N3=N4,再利用平角的定义得出N1+N2+NEBON3+N4+NBCE=360。，即可得

出NEBC+BCE=360°-250o=110°,根据三角形内角和定理即可得出/BEC=180°-110o=70°；

［深入思考］利用平角的定义得出N