2026届高考数学第一轮专题复习：2年高考1年模拟：解三角形的综合问题 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练解三角形的综合问题1.(2025·西安模拟)在平行四边形ABCD中，AB=BD=2，AC=22，则该平行四边形的面积为()A.7 B.72C.23 D.432.(2025·吉林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则Sa2+4A.216 B.C.91516 D3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=a(a+b)，则sin2AA.0，22 BC.12，324.(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=.

5.(2025·张家界模拟)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B+C)=b(sinB-sinC)+csinC.(1)求A；(2)若a=25，求△ABC的面积的最大值.6.(2025·河南模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC=120°，AB=CD=2AD，△ACD的面积为32(1)求sin∠CAB；(2)求证:∠CAB=∠CAD.7.(2025·杭州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b=a-2bcosC.(1)求证:C=2B；(2)求2sinC+cosB-sinB的最大值.8.(2025·辽宁期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现:任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形ABCD中，(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(图1)，求线段BD(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值；(3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值.

（解析）精练（三十三）解三角形的综合问题1.(2025·西安模拟)在平行四边形ABCD中，AB=BD=2，AC=22，则该平行四边形的面积为()A.7 B.72C.23 D.43解析:选A设AC与BD交于点O，在△ABO中，cos∠ABO=AB2+BO2−AO22AB·BO=22+12−(2)22×2×1=342.(2025·吉林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则Sa2+4A.216 B.C.91516 D解析:选A因为S=12bcsinA，a2=b2+c2-2bccosA，则设Sa2+4bc=12bcsinAb2+c2−2bccosA+4bc≤12bcsinA2bc−2bccosA+4bc=12bcsinA3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=a(a+b)，则sin2AA.0，22 BC.12，32解析:选B在△ABC中，由c2=a(a+b)，得c2=a2+ab，又c2=a2+b2-2abcosC，则a2+ab=a2+b2-2abcosC，即a+2acosC=b.由正弦定理得sinA+2sinAcosC=sinB，而B=π-(A+C)，于是sinA+2sinAcosC=sin(A+C)=sinA·cosC+cosAsinC，即sinA=sin(C-A).由c2=a2+ab，得c>a，即有C-A>0，由△ABC为锐角三角形，得0<C-A<π2，因此A=C-A，解得C=2A.又0<A<π2，0<B=π-3A<π2，0<C=2A<π2，从而π6<A<π4，所以sin4.(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=.

解析:法一由余弦定理得cos60°=AC2+4−62×2AC，整理得AC2-2AC-2=0，得AC=1+3(负值舍去).又S△ABC=S△ABD+S△ACD，所以12×2ACsin60°=12×2ADsin30°+12AC×AD法二由角平分线定理得BDAB=CDAC，又BD+CD=6，所以BD=26AC+2，CD=6ACAC+2.由角平分线长公式得AD2=AB×AC-BD×CD=2AC-12AC(AC+2)2，又由法一知AC=1+3，所以AD答案:25.(2025·张家界模拟)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B+C)=b(sinB-sinC)+csinC.(1)求A；(2)若a=25，求△ABC的面积的最大值.解:(1)由asin(B+C)=b(sinB-sinC)+csinC，得asinA=bsinB+(c-b)sinC，由正弦定理，得a2=b2+(c-b)c=b2+c2-bc.由余弦定理，得cosA=b2+c2−a又A∈(0，π)，所以A=π3(2)由余弦定理cosA=b2+c2−a2所以b2+c2-20=bc.因为b2+c2≥2bc，所以b2+c2-20=bc≥2bc-20，所以bc≤20，当且仅当b=c=25时取等号.所以△ABC的面积S=12bcsinA≤53所以△ABC面积的最大值为53.6.(2025·河南模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC=120°，AB=CD=2AD，△ACD的面积为32(1)求sin∠CAB；(2)求证:∠CAB=∠CAD.解:(1)设CD=2AD=2a，a>0，因为△ACD的面积为32，∠ADC所以12×2a×a×sin120°=32，解得所以AB=CD=2，AD=1.在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos120°=1+4-2×2×1×−12=7，所以AC=在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=2，所以BC=AC2−AB所以sin∠CAB=BCAC=37=(2)证明:由(1)可得CD=2，AC=7，在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=所以sin∠CAD=CDsin∠ADCAC=2×327=由(1)可得sin∠CAB=217，又0°<∠CAB所以∠CAB=∠CAD.7.(2025·杭州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b=a-2bcosC.(1)求证:C=2B；(2)求2sinC+cosB-sinB的最大值.解:(1)证明:由题意b=a-2bcosC，由正弦定理得sinB=sinA-2sinBcosC=sin(B+C)-2sinBcosC，所以sinB=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC，整理得sinB=sinCcosB-cosCsinB，所以sinB=sin(C-B)，结合三角形内角性质，所以B=C-B或B+C-B=π(舍去)，所以C=2B.(2)由0<B+C<π，则由(1)知，C=2B，得0<B<π3，所以-π12<π4-B且sin−π12=-sinπ3−π4=-sinπ3cosπ又2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cosB-sinB，令t=cosB-sinB=2sinπ4−B∈1−32，1，则sin2B=1-(cos所以2sinC+cosB-sinB=2(1-t2)+t=-2t2+t+2=-2t−14因为t∈1−32，1，所以当t=14时，2sinC+cosB-sin8.(2025·辽宁期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现:任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形ABCD中，(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(图1)，求线段BD(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值；(3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值.解:(1)由AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，得AD=2CD由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，即AB×CD+BC×2CD≥CD×BD，即2+2≥BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时等号成立，即BD的最大值为22.(2)如图，连接BD，因为四点共圆时四边形的面积最大，AB=2，BC=6，AD=CD=4，所以A+C=π，即cosC=-cosA，sinA=sinC，在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=4+16-2×2×4cosA=20-16cosA，①在△BCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=36+16+2×6×4cosA=52+48cosA，②由①②可得20-16cosA=52+48cosA，解得cosA=-12，而A∈(0，π)，可得A=2π所以sinA=sinC=32此时S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB×AD×sinA+12BC×CD×sinC=12×2×4×32+12所以A=2π3时，四边形ABCD面积取得最大值，且最大