四川成都市北斗大数据领航联盟2025-2026学年下学期4月期中练习高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川成都市北斗大数据领航联盟2025-2026学年下学期4月期中练习高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z1,z2,z3满足|A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i2.在圆内接六边形ABCDEF中，AB=CD=EF=4，BC=DE=FA=7，则其外接圆的半径为(

)A.11 B.27 C.313.四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，AB=BC=CD=1.设AB,BC,CD的中点分别为L,M,N，则点M到直线LN的距离为(

)A.12 B.22 C.14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点，线段OD上有点M满足DO=3DM，线段CO上有点N满足OC=λON(λ>0)，设AB=a,ADA.12 B.1 C.2 D.5.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(

)级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6～3.33微风3.4～5.44和风5.5～7.95劲风8.0～10.7图1A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风6.已知点A不在直线a和平面α上，若存在空间中过A的直线b和平面β，则(

)A.由直线b//平面α可唯一确定b B.由直线a//平面β可唯一确定平面β

C.由直线b⊥平面α可唯一确定b D.由平面α⊥平面β可唯一确定平面β7.如图，△ABC中，∠C=π4，AC=2，BC=6+2.在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转(不少于1周)A.[−5,5] B.[−5,3] C.[−3,3] D.[−3,5]8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，sinA=3cosBsinC，则△ABC面积的最大值为(

)A.38 B.58 C.1116二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在▵ABC中，ABAC<1，BCAC>A.A>B>C B.tanB>1

C.cosA>cos10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，若AA.B，O，D1三点共线 B.AB⊥B1C

C.AD⊥平面DCC11.如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是(

)

A.PA⋅PC为定值−2 B.OA⋅OC的取值范围是−2,0

C.当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为a,b,c，则其外接球的半径为

．13.已知▵ABC为边长为3的正三角形，P为▵ABC所在平面内动点，满足PA+PB+PC=3，则AP14.费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当▵ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当▵ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点．已知在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为费马点.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知cosα=(1)求sin((2)若sin(α+β)=−216.(本小题15分)已知函数fx(1)指出fx(2)求fx的最小值与最大值．17.(本小题15分)(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体P−ABC的棱长为23，Q为底面▵ABC的外心，D为(1)连接PQ，证明：PQ⊥平面ABC．(2)设PC的中点为E，求DE与平面PBC夹角的正弦值．18.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p=(c,2b+a)，q=(cosA,cosC)，且(1)求角C的大小;(2)若CD是C的角平分线，c=9，△ABC的周长为19，求CD的长度;(3)若D是边AB上靠近点A的一个三等分点，CD=tAD，求实数t的取值范围．19.(本小题17分)已知S是直线PQ外一点，点M、N在直线PQ上(点M、N与点P、Q任一点均不重合).我们称如下操作为“由S点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q;M)=|SP|sin∠PSM|SQ|sin∠MSQ；若点M在线段PQ外，记(P,Q;M)=−|SP|sin∠PSM|SQ|sin∠MSQ，并且记(P,Q;M,N)=(P,Q;M)(P,Q;N).记▵ABC(1)若|AD|=3+1(2)射线BC上的点M满足(B,C;①求∠CAM②求|AM|+16|AD|的最小值．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.A

6.C

7.D

8.D

9.AD

10.AD

11.BCD

12.213.3214.−315.【详解】(1)由cosα=35所以sin((2)由α∈(−π2,0),β得cos(α+β)==sin所以β=π

16.解：(1)由题可知1−x2≥0，解得−1≤x≤1，即f(2)令x=sinθ，θ∈−代入原函数得fx令t=sinθ+cosθ，由代入得函数化为g(t)=tt=sinθ+cosθ=因此sinθ+π4g(t)=t2+3t−1是开口向上的二次函数，对称轴为t=−因此最小值g(−1)=(−1)最大值g(因此f(x)的最小值为−3，最大值为1+3

17.解：(1)证明：如图，连接AQ,BQ,DP,PQ，由于P为▵ABC的外心，故有AQ=BQ．因为D为AB中点，PA=PB，所以QD⊥AB，PD⊥AB，∵PD∩QD=D，PD,QD⊂平面DPQ∴AB⊥平面DPQ，∴PQ⊥AB.同理，PQ⊥BC．∵AB∩BC=B，AB,BC⊂平面ABC，∴PQ⊥平面ABC．(2)正四面体棱长a=23，等边▵ABC中，中线Q为重心(等边三角形重心与外心重合)，故CQ=2由PQ⊥平面ABC，PQ=E是PC中点，在▵PDC中，PD=CD=3，PC=2由中线长公式DE由体积法VD−PBC=V故VP−DBC=1设D到平面PBC距离为d，则VD−PBC设线面夹角为θ，由线面角定义sinθ=dDE即直线DE与平面PBC夹角的正弦值为3

18.解：(1)由|p+q|=|p−q|，两边平方得：|p+q|2=|p−q|2，

展开得：p2+2p⋅q+q2=p2−2p⋅q+q2，

化简得p⋅q=0，

∵p=(c,2b+a)，q=(cosA,cosC)，

∴ccos A+(2b+a)cos C=0，

由正弦定理得：sinCcosA+2sinBcosC+sinAcosC=0，

∴sin A+C+2sin Bcos C=0，

∵A+B+C=π，故sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，

∴sin B+2sin Bcos C=0，

∵0<B<π，

∴sinB≠0，

∴1+2cosC=0，得cosC=−12，

∵0<C<π，

∴C=2π3；

(2)∵c=9，a+b+c=19，故a+b=10，

由余弦定理：c2=a2+b2−2abcos C，即81=a2+b2−2ab(−12)=a2+b2+ab=a+b2−ab=100−ab，

得：ab=19，

∵CD是C的角平分线，

，

∴△ABC19.解：(1)因为(B,C;D)=c2>0，所以点又b=2，所以由(B,C;得sin∠BAD=因为0∘<∠BAC<180所以∠BAD+∠CAD=180∘所以AD为∠BAC又∠BAC=60∘在▵ACD中，|AD