2026届新高考数学考前冲刺最后一课 导数应用之不等式恒成立和能成立问题

2026届新高考数学考前冲刺最后一课

导数应用之不等式恒成立和能成立问题

不等式恒成立与能成立问题是高考数学导数模块的常考核心题型，在全国卷、新高考

Ⅰ

卷、新高考

Ⅱ

卷、北京卷、天津卷、浙江卷等试卷中，长期占据解答题压轴题或次压轴题位置，分值稳定在12—17分。该类问题以指数函数、对数函数、多项式函数、三角函数为载体，以导数为工具，以函数单调性、极值、最值为桥梁，最终落脚于参数取值范围求解与不等式证明，全面考查学生的逻辑推理、数学运算、转化与化归、分类讨论等数学核心素养。

近五年（2020—2025）高考命题呈现出鲜明规律：设问形式从单一“恒成立求参”向“恒成立+能成立混合”“双变量恒成立”“隐零点+放缩”综合化发展；解法从简单参变分离向构造函数、分类讨论、端点效应、隐零点代换、等高阶方法延伸。在这里我以部分高考题和各地诊断考试题为例，梳理了恒成立与能成立的核心定义、等价转化、解题流程以及核心方法。（一）基本定义1.恒成立问题为全称量词命题：对任意x∈D，不等式f(x)≥0（或≤0、≥g(x)、≤g(x)）总成立，记为：∀x∈D,

f(x)≥0关键词：任意、所有、都、总是、恒、始终。2.能成立问题为存在量词命题：存在x∈D，使得不等式f(x)≥0（或≤0、≥g(x)、≤g(x)）成立，记为：∃x∈D,

f(x)≥0关键词：存在、有、使得、能、可以。一、核心概念界定与等价转化逻辑（二）单变量恒成立・能成立等价转化设函数

在区间D上的最小值为

，最大值为

，参数为a，则：1.恒成立（∀）

∀x∈D,

≥a⟺≥a

∀x∈D,

≤a⟺≤a

∀x∈D,

≥⟺[−]≥0

∀x∈D,

≤⟺[−]≤02.能成立（∃）

∃x∈D,

≥a⟺≥a

∃x∈D,

≤a⟺≤a

∃x∈D,

≥⟺[−]≥0

∃x∈D,

≤⟺[−]≤03.恒成立与能成立混合（高频难点）

∀∈,

∃∈​,

f()≥g()⟺f()≥g()​

∀∈,

∃∈​,

f()≤g()⟺f()≤g()​

∃∈,

∀∈​,

f()≥g()⟺f()≥g()​

∃∈,

∀∈​,

f()≤g()⟺f()≤g()​年份试卷类型题号问题类型核心方法分值2020全国

Ⅰ卷(理)21恒成立构造

+端点效应+分类讨论122020全国

Ⅱ卷(理)21恒成立放缩

+导数+端点验证122021新高考

Ⅰ卷22恒成立参变分离

/构造求最值122021全国乙卷

(理)20恒成立导数

+分类讨论+端点分析122022新高考

Ⅰ卷22恒成立参变分离

+求最值+估值122022全国甲卷21恒成立参变分离

/构造求最小值122023新课标

Ⅰ卷19恒成立构造

+导数+分类讨论122023全国甲卷21恒成立端点效应

+二阶导+分类讨论122024新课标

Ⅰ卷18恒成立参变分离

+求函数最大值172024全国甲卷

(理)21恒成立导数

+端点验证+分类讨论122024天津卷20恒成立构造

+极值点+等号条件152025新高考

Ⅰ卷19恒成立化简

+参变分离+求最值17（二）命题趋势1.载体固定：以

、lnx与多项式组合为主，三角函数的考查也在逐年增加。2.设问聚焦：90%以上为求参数取值范围，少量为证明不等式、判断存在性。3.难度提升：从“易参变分离”走向“需分类讨论、隐零点、放缩，同构”，混合量词题型逐年增加。4.分值稳定：解答题12—17分，选填小题5—6分，是高考高分关键分水岭。三、三大核心解题方法

不等式恒成立和能成立多数与参数有关，所以结合对参数的处理，可以把方法分为三种。

方法一、参变完全分离求最值1.适用条件

参数a易于从不等式中分离；分离后得到的函数h(x)=,导数简单、易求最值；

2.核心逻辑

∀x∈D,

a≥h(x)⟺a≥h(x)​

∀x∈D,

a≤h(x)⟺a≤h(x)​

∃x∈D,

a≥h(x)⟺a≥h(x)​

∃x∈D,

a≤h(x)⟺a≤h(x)​3【典例】（2020年高考数学课标I卷理科T21）已知函数f(x)=.（1）当a=1时,讨论f(x)的单调性;（2）当x≥0时,f(x)≥,求a的取值范围.解析:（1）当x∈(−∞,0)时,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增(2)由f(x)≥得≥,其中x>0,①当x=0时,不等式显然成立,符合题意;②当x>0时,分离参数a得a⩾记g(x)=g′(x)=令h(x)=(x≥0)则h′(x)=,h＂(x)=≥0故h′(x)单调递增,h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)单调递增,h(x)≥h(0)=0,由h(x)≥0可得:⩾0恒成立,故当x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;因此,[g(x)]max=g(2)=综上可得，实数a的取值范围是

4.方法小结

参变分离是最易得分的方法，一般优先尝试，分离之后只需研究确定函数的最值就行；但复杂一点的函数可能需要先换元再分离，或者先同构再分离，也有可能分离出来的函数比较复杂，这时候就可能用到二阶导数，隐零点或者洛必达法则。如下面这两题参变分离之后就需要分别用洛必达法则和隐零点求最值。

例1设函数f(x)=.

（1）当a=时,求f(x)的单调区间;

（2）若当x≥0时，f(x)≥0，求a实数的取值范围。

例2、已知函数

，若

恒成立，求实数a的取值范围。

方法二、参数半分离1、适用条件

当不能把参数完全分离时，有可能不容易画出图像，或者指数型函数与对数型函数混合在一起，这个时候可以利用参数半分离的形式转化为过定点的一系列旋转直线，或平移平行直线，与其他函数图像的交点问题。2方法

把函数大小关系转化为图像的位置关系，借助切线，用数形结合方法找出参数的取值范围。3典例

若存在实数a，对任意的x∈[0,t](t∈Z)，不等式x|x−a|≤x+4恒成立，则整数t的最大值为—.解析：当x=0时，显然成立；当x∈(0,t]时,x|x−a|≤x+4⇒|x−a|≤1+如图1所示,y=|x−a|(x<a)与y=1+(x>0)相切时,t最大图1联立⇒Δ=0⇒a=5由⇒x=3±13所以t的最大值为6.1.适用条件

参数不易分离，或分离后函数过于复杂；

直接移项构造h(x)=f(x)−g(x)，讨论函数单调性找最值。2.核心逻辑∀x∈D,f(x)≥g(x)⟺h(x)=f(x)−g(x)≥0⟺h(x)min≥0

∃x∈D,

f(x)≥g(x)⟺h(x)=f(x)−g(x)≥0⟺h(x)max≥0

方法三、构造函数求最值3.典例（2023新课标一卷・19题・12分）

已知函数

．（1）讨论

的单调性；（2）证明：当

时，

答案：由（1）得

，

要证

即证

，即证

恒成立，

令

则

，

令

，则

；令

，则

；

所以

在

上单调递减，在

上单调递增，

所以

，则

恒成立，

所以当

时，

恒成立，证毕.4.方法小结

构造函数是通法，无论参数是否分离都能使用；只需对构造的函数分类讨论，判断单调性找到最值点即可。但如果函数结构比较复杂，讨论单调性找不到方向的时候，我们可以从特殊点入手，通过取函数定义域内的某个特殊值得到一个必要条件，由必要条件得到参数的一个取值范围，再用该参数的范围去验证题设成立，这就是必要性探路解题的思想方法，

虽然这种方法求出的参数不一定就是所求的实际范围，但是它可以缩小范围，为分类讨论明确方向。必要性探路包括三种，分别是端点效应，内点效应和极值点效应。（一）端点值效应1、三种类型

对于任意的,都有

恒成立，这里的端点,往往是使结论成立的临界条件。①.如果函数

在区间

上,恒成立,则

或.②.如果函数

在区间

上,恒成立,且

或,则

（或.③.如果函数

在区间

上,恒成立,且

（或

，,则

或.2、解题一般步骤：利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步：(1)利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件(2)利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件。3.典例（2023全国甲卷・21题・12分）

题目：21.已知函数

（1）当

时，讨论

的单调性；

（2）若

恒成立，求a的取值范围．解答：【小问2详解】设

则

，令

，则

设所以.若,即

在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即

当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为

。

4.方法小结单调函数在端点处取得最值，则利用端点处所满足的条件缩小参数范围。

（二）

内点效应1.适用条件

函数不在端点出取得最值，而是在中间某个点（内点）取得最值，或者在端点和内点同时取得最值。2.解题步骤

一般可以通过方程

解出内点，再证明充分性。3典例

已知函数

当

，

，求实数a的取值范围。

探路：令

，令

即

为保证含a的项相等（两个方程为同一个方程），故赋值

，得两式都为

，则

为内点,在

处取得最小值0.把

代入

得到

，再证明充分性。

（三）极值点效应1.适用条件

函数的极值点和零点是同一个数，并且这个数必须是“内点”，满足极值点效应的数只能在定义域中间某个点取得最值。2.步骤

判断出函数在区间内某一个点取得最值，则最值一定为极值，根据极值点处导数为零，解出参数值，再证明充分性。

3典例

设函数

，其中a0,当

时，

恒成立，求实数a的取值范围。

探路：设

，则由题意得当

时，

恒成立，又

所以x=0是

的极小值点，所以

。又因为

，所以