2026届新高考数学考前冲刺最后一课数列与传统文化、创新应用

2026届新高考数学考前冲刺最后一课数列与传统文化、创新应用题型一数列与传统文化●命题分析1．数列与传统文化、社会、生活相结合及新定义问题相结合是高考的热点，难度一般不大．2．新课程改革后数列的考查题型由过去单纯考查数列知识或递推数列问题转化为在题型上创新，知识交汇上做文章，由此设计了许多层次恰当，形式新颖的创新问题，使数列与高中阶段相关知识相结合．3．创新题型都是以数列知识为载体，注重考查数学推理能力和分析解决问题的能力．题型选讲●解题策略1．首先把传统文化、社会、生活相结合及新定义问题转化为数列问题．2．熟记等差、等比数列的通项公式、求和公式、数列的性质．3．熟练掌握求通项公式、求和的方法．●方法技巧解决数列与文化生活结合问题的方法(1)将问题转化为等差或等比数列问题．(2)借助等差、等比数列的性质、通项公式、求和公式进行计算．(3)新定义问题通常以递推数列为载体，选择合适的由递推数列求通项公式的方法，求出通项后利用基本量解决问题．●典例研析1．(2025·青岛模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为(

)【答案】

C2．(2025·重庆模拟)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第16项为(

)A．196 B．197C．198 D．227【答案】D3.(2025·河南模拟)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个(d为常数)．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则m＝(

)A．2 B．5C．7 D．8【答案】A●跟踪训练1．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(

)A．1.5尺 B．2.5尺

C．3.5尺 D．4.5尺【答案】B【解析】设数列为{an}，首项为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝2.5.故选B.2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是(

)A．120 B．130C．140 D．150【答案】

C【解析】由题意设此人第一天走步a1里，第二天走步a2里，第n天走步an里，{an}是等差数列，已知S9＝1260，要求a5，3．(2025·昌黎县校级模拟)将如图1所示的等边三角形的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图2；将图2中的每条边三等分，以中间的线段为底边向内作等边三角形，然后去掉底边，得到图3…以此类推，我们把这一系列图形称为反雪花曲线．若图1中等边三角形的边长为1，记第n个反雪花曲线的长度和面积分别为Ln，Sn，则下列说法错误的是(

)【答案】

D题型二●方法技巧1．条件追溯题即“执果索因”，现寻找结论成立的必要条件，再通过验证或认证找到结论成立的充分条件，在执果索因的过程中，常常会犯的错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当充分条件，应引起注意．数列中的创新问题2．结论探究题，选探索结论而后去证明结论，在探索过程中可以从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来做一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．3．存在探索问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此推出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论．●典例研析

条件追溯问题A．2025 B．2026C．22025 D．22026【答案】

D【答案】

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n－2＋22－n

结构不良试题6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，a7＝14.(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；(2)若________，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列的公差为d，由a3＝6，a7＝14，4Tn＝42×2＋43×4＋44×6＋…＋4n＋1·(2n)，两个等式相减得－3Tn＝4×2＋42×2＋43×2＋…＋4n·2－4n＋1·(2n)，⇒－3Tn＝2(4＋42＋43＋…＋4n)－4n＋1·(2n)，

存在探索试题7．(2025·武清区校级模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{anbn}的前n项和An；(2)将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，{an}中剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1的值；∴bn＝b1qn－1＝2n，∴anbn＝(n＋1)·2n，An＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，2An＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，上述两个等式作差得－An＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1又∵m∈N*，m＞1，所以m＝2，此时n＝7，∴存在满足题设条件的m、n，此时m＝2.【解析】(1)将an＋1an＋λan＋1－3an＝0(n∈N*)两边同时除以an＋1an，7．(2025·和平区校级月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝b1，a2＝5，a3＋a4＝19，S11＝11(b4＋1)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)对任意的正整数n，从以下三个条件中任选一个作答，【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝5，a3＋a4＝19，可得a1＋d＝5，2a1＋5d＝19，解得a1＝2，d＝3，则an＝3n－1；设等比数列{bn}的公比为q，b1＝a1＝2，由S11＝11(b4＋1)，即有22＋55×3＝11(1＋b1q3)＝11×(1＋2q3)，解得q＝2，由等比数列的求和公式，可得bn＝2n.(2)选①cn＝an＋1b2n＝(3n＋2)·4n，8．(2025·清远三模)已知有限数列M：a1，a2，…，aN，其中ai∈[0，1)，i＝1，2，…，N(N≥3)．在M中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为M的一个子列．对某一给定正整数t，若对任意的g∈{n∈N*|n

≤t}，均存在M的相应子列，使得该子列的各项之和为g，则称M具有性质Gt.(2)若N＝5，是否存在M具有性质G4？若存在，写出一个M，若不存在，说明理由；(3)若N＝7，且存在M具有性质Gt，求t的取值范围．(2)不能，理由如下：假设M：a1，a2，…，a5具有性质G4，因为ai∈[0，1)，所以M的任意四项和小于4，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4，则对于M的任意四项子列S，不妨设S：a2，a3，a4，a5，有a2＋a3＋a4＋a5＝4－a1＞3，又M具有性质G4ai∈[0，1)，所以M的任意三项和小于3，故不存在M的子列其各项和为3，与M具有性质G4矛盾，所以N＝5时，不存在M具有性质G4.(3)由题可知，N＝7时，又ai∈[0，1)，所以t＜7，由(2)道理相同可知，t≠6，所以M具有性质G1，G2，G3，G4，G5，综上t∈{1，2，3，4，5}．(2)证明：①函数f(x)＝ln(ex－1)－lnx，x＞0，令函数h(x)＝x－ex＋1，x＞0，求导得h′(x)＝1－ex＜0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，则h(x)＜h(0)＝0，即ex－1＞x，ln(ex－1)＞lnx，任意x＞0，f(x)＝ln(ex－1)－lnx＞0，于是an＋1－an＝ln(ean－1)－lnan－an＝ln(ean－1)－ln(anean)，令g(x)＝xex－(ex－1)，x＞0，求导得g′(x)＝ex＋xex－ex＝xex＞0，函数g(x)＝xex－(ex－1)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝0，10．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n＋1层球数比第n层球数多n＋1，设各层球数构成一个数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；【解析】(1)根据题意，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，则有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1令f′(x)＝0，得x＝0；且x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，也是最小值，即