导数与函数的最大(小)值高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

课时2导数与函数的最大(小)值第五章

一元函数的导数及其应用我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。下图是函数

y＝f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数的极小值，

f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数的极大值.xyOabx1x2x3x4x5x6

y＝f(x)问题1：进一步地，你能找出函数

y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？xyOabx1x2x3x4x5x6

y＝f(x)最大值最小值问题2：在下图中，观察[a，b]上的函数

y＝f(x)和

y＝g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？Oabxyy

=f

(x)Oabxyx1y

=g(x)x2x3x4x5最小值是

f(a)最大值是

f(b)最大值是

g(x3)最小值是

g(x4)问题3：以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大(小)值？不是Oxyaby=f(x)思考：什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数

y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.【求最值的方法】只要把函数

y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

O3xy

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►课本P93典例剖析

区间[0，3]上的图象得到直观验证.技巧归纳

求

f(x)

在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数

f(x)在

(a，b)内的极值；②求函数

f(x)在区间端点处的函数值f(a)、f(b)；③将函数

f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是

最大值，最小的一个是最小值.说明：注意题目给定的区间，一定要在给定区间内列表1.

参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：►课本P94

x02f

′(x)

f(x)

f(x)max＝20.∴

f(x)min＝

当堂练习1.

参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：►课本P94

解：(2)

f′(x)＝3x2－27.f(x)max＝54.∴

f(x)min＝-54

令f′(x)＝0，得x＝±3x

-4(-4，-3)-3(-3，3)3(3，4)4f

′(x)+0–0+f(x)44单调递增54单调递减-54单调递增-44当堂练习1.

参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：►课本P94

解：(3)

f′(x)＝12x－3x2f(x)max＝22.令f′(x)＝0，得x＝±2x2(2，3)3f

′(x)+0–f(x)单调递增22单调递减15∴

f(x)min＝当堂练习1.

参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：►课本P94

解：(4)

f′(x)＝3－3x2令f′(x)＝0，得x＝±1由于x∈[2，3]此时

f′(x)<0∴

f(x)在[2，3]上单调递减.∴

f(x)min＝f(3)＝-18，f(x)max＝f(2)＝-2.当堂练习变式练习求函数

f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[-1，2]的最值.

因此

x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，0)02f′(x)＋0－0＋f(x)－2单调递增极大值1单调递减单调递增1∴当x＝0或2时，f(x)取最大值1；当x＝-1时，f(x)取最小值-2变式练习求函数

f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[-2，4]的最值.解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

又f(0)＝3，f(2)＝-5，f(4)＝35，f(-2)＝-37，∴当

x＝4时，f(x)取最大值

35.

当

x＝-2时，f(x)取最小值

-37.

即f(x)的最大值为35，最小值为-37.思考：通过上述结论，说说函数的极值与最值有什么区别？极值是局部性概念，最值是整体性概念.极值可以有多个，但最值只有一个。极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得。►课本P94典例剖析

x(0，1)1(1，＋∞)s′(x)–0+s(x)单调递减0单调递增∴当x＝1时，s(x)取得最小值，s(x)≥s(1)＝0，

技巧归纳用导数证明不等式

f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤：①将不等式f(x)＞g(x)移项，转化为证明f(x)－g(x)＞0；②构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；③若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数.只需保证F(a)＞0；④若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数.只需保证F(b)＞0.变式练习►课本P94证明不等式：x－1≥lnx，x∈(0，＋∞).

x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)–0+f(x)单调递减0单调递增∴当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)≥f(1)＝0，即

x－1－lnx≥0；∴不等式

x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)成立.1.函数的极值与最值的区别2.求一个函数的最值的步骤3.利用函数的最值证明不等式通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法.1.函数

f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[-3，0]上的最大值和最小值分别是()A.1，-1 B.1，-17C.3，-17D.9，-19解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.

又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0].

所以最大值