二项分布（2课时）高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布（2课时）P72-P761（1）

学习目标核心素养1.理解伯努利试验和n重伯努利试验的概念数学抽象2.理解二项分布概念，理解二项分布的均值、方差公式及应用数学推理3.应用探究：（1）二项分布的概率与分布列；（2）概率决策问题；（3）二项分布的均值与方差。数学运算1（2）

一.新课引入

“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率p1＝0.3，同时，有n个水平相同的人组成智囊团也在研究项目M，他们各自独立解决项目M的概率都是0.1.1．现在李某单独研究项目M，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目

M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率；2．现在李某单独研究项目M，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目

M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率；3．智囊团至少有几人才能使他们解决项目M

的概率大于李某独自解决

项目M的概率。2（4）

二.概念形成：探究伯努利试验和n重伯努利试验．

我们把一次试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2)各次试验的结果相互独立.问题1下列一次随机试验的共同点是什么？试验出现的结果共同点1、掷一枚硬币2、检验一件产品3、飞碟射击4、医学检验正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果2（6）

随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数（1）（2）（3）抛掷一枚质地均匀的硬币某飞碟运动员进行射击中靶从一批产品中随机抽取一件正面朝上抽到次品二.概念形成：探究伯努利试验和n重伯努利试验．是是是103202（8）

思考：(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？

(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？(1)伯努利试验做一次试验,n重伯努利试验做n次试验.(2)在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生;

在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.二.概念形成：探究伯努利试验和n重伯努利试验．2（10）

二.概念形成：探究伯努利试验和n重伯努利试验．例1

判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解：(1)因为硬币的质地不同，试验的条件不同，所以不是n重伯努利试验．(2)某人射击击中的概率稳定且结果只有两种可能，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取试验的结果有三种可能，因此不是

n重伯努利试验．1（11）

二.概念形成：探究伯努利试验和n重伯努利试验．n重伯努利试验的判断依据(1)同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2)各次试验的结果相互独立；(3)每次试验都只有两种结果。3（14）

问题3

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X

的概率分布列是怎样的?解：X取值为0，1，2，3，用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，

二.概念形成：探究二项分布概念．中靶次数X的分布列可表示为2（16）

问题4如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有

哪些?写出中靶次数X的分布列.二.概念形成：探究二项分布概念．连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有中靶次数X的分布列为5（21）

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

问题4如果连续射击4次，写出中靶次数X的分布列是问题3某飞碟运动员连续3次射击，中靶次数X的分布列是一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确是否为伯努利试验,确定重复试验的次数n，判断独立性(2)事件A是什么，确定事件A发生的概率p；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).二.概念形成：探究二项分布概念．2（23）

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为问题5对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?

二项分布和两点分布有什么联系？二.概念形成：探究二项分布概念．

服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率

正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有变式

某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在5次射击中.(1)恰有3次击中目标的概率；

(2)至少有4次击中目标的概率.解：设A＝“击中目标”，则P(A)＝0.8.用X表示事件A发生的次数，则X~B(5,0.8).(1)恰有3次击中目标的概率为(2)至少有4次击中目标的概率为三.概念深化：探究二项分布概念．2（25）1+4（30）

四.应用探究：1求二项分布概率、分布列．例2-1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，

则X~B(10,0.5).(1)恰好出现5次正面朝上的概率为(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为2+3（35）

例2-2

如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,‧‧‧,10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.四.应用探究：1求二项分布概率、分布列．解：小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，

小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数X的分布列为D四.应用探究：1求二项分布概率、分布列．解：由题意，要使移动8次后质点位于－2的位置，需左移5次，右移3次，所以质点最终位于－2的位置的概率是2+1（38）2+1（41）

四.应用探究：1求二项分布概率、分布列．练习2-2

如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，求下列事件的概率（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置。解：（1）由题意，要使移动6次后质点位于0的位置，需左移3次，右移3次，所以质点最终位于0的位置的概率是（2）要使移动6次后质点位于4的位置，需左移5次，右移1次，所以质点最终位于4的位置的概率是1+2（44）

例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.

四.应用探究：2概率决策问题．4（48）

例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?

若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为解2：同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率.四.应用探究：2概率决策问题．4（52）

四.应用探究：2概率决策问题．练习3-1“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率p1＝0.3，同时，有n个水平相同的人组成智囊团也在研究项目M，他们各自独立解决项目M的概率都是0.1.1．现在李某单独研究项目M，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目

M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率；2．现在李某单独研究项目M，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目

M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率；3．智囊团至少有几人才能使他们解决项目M

的概率大于李某独自解决

项目M的概率。3（55）

探究

假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差各是什么?四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此可猜想，

若X~B(n,p)，则有0（55）

四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差下面对均值进行证明.证明：1+5（61）

四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．

四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．1+5（61）

四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．1+5（61）4+1（66）

四.应用探究：3探究二项分布的均值、方差公式及应用．练4-1

(2025·南通高二期中)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数Y的均值．

四.应用探究：3