高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程▶对应学生用书P4【考情分析】1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.1.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－x的零点所在区间是()A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)C.(0.5，1) D.(1，2)解析：选B.易知f(x)单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－0.3＝0.30.3－0.30.5＞0，f0.5＝0.30.5－0.5＝0.3－0.5＜2.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞a＞b D.b＞c＞a解析：选B.由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c.3.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加()A.2h B.4h C.20h D.40h解析：选B.设三次训练的时间分别为T1h，T2h，T3h，由题意得T两式相减得T2－T1＝10k＝20，即k＝2，则T3－T2＝2log24.096×109－2(log2106＋10)＝2(log2106＋12)－2(log2106＋10)＝4.4.(2025·全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是()A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.y＞x＞z D.y＞z＞x解析：选B.法一：令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝14，y＝127，z＝155，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f(t)，y＝3t－3＝g(t)，z＝5t－5＝h(t)，在同一平面直角坐标系中画出函数f(t)，g(t)，h(t)的图象.由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y.考点1基本初等函数的运算、图象和性质指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.(1)(2025·吉林长春三模)若函数f(x)＝logaax－12(a＞0且a≠1)在区间1，2上单调递减，则实数a的取值范围是A.12，1 B.14，1 C解析：选A.f(x)＝logaax－12是由t＝ax－12，y＝log由题意知：a＞0，t＝ax－12在区间1，若函数f(x)＝logaax－12(其中a＞0且a≠1)在区间所以y＝logat单调递减，可得0＜a＜1，又t＝ax－12＞0对于1，所以tmin＝t(1)＝a－12＞0，解得a＞1综上所述，12＜a＜1(2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是()A.b＜a＜0 B.2b＜a＜0C.0＜a＜b D.0＜2b＜a解析：选B.设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象如右图，设3a＝4b＝t，对于A，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b，由函数图象可知，a＜b＜0，A错误；对于C，当t＞1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b，由函数图象可知，0＜b＜a，C错误；因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图，对于B，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，2b＜a＜0，B正确；对于D，当t＞1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，0＜a＜2b，D错误.[规律方法](1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.对点练1.(1)当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是()解析：选C.当0＜a＜1时，1a＞1，函数y＝a－x＝1ax为底数大于1的指数函数，是增函数，函数y＝logax为底数大于0、小于1的对数函数(2)(2025·浙江金华二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则()A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c解析：选D.由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.则ab＝log32log54＝lg2lg3×lg5lg4＝lg2lg3×lg52lg2＝lg5则bc＝log54log98＝lg4lg5×lg9lg8＝2lg2lg5×lg93lg2＝2lg93lg5＝lg81lg125＜1，考点2函数的零点判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.角度1函数零点个数的判断(2025·河北邯郸一模)函数f(x)＝sinx＋1x在110，10A.3 B.4 C.6 D.8解析：选C.令函数t＝x＋1x，根据“对勾函数”的性质可知：函数t＝x＋1x在110，1上单调递减，在1，10上单调递增，且t1＝2，t110＝t10＝10.1，所以当x∈(110由y＝sint＝0⇒t＝kπ，k∈Z.只有当k＝1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈2，又因为x＋1x＝π，2π，3π在110，10上各有2个解，所以f(x)在1角度2求参数的值或范围(2025·湖南长沙二模)若函数f(x)＝log2x，0＜x＜4，12x2－A.1，2 B.1，2 C.1解析：选D.画出f(x)的图象，由图象可知a的范围是1，[规律方法]利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法对点练2.(1)函数f(x)＝2x＋log2x－1－a2的零点在区间2，3内，则实数aA.4，92 C.8，9 D解析：选D.函数f(x)＝2x＋log2x－1－a2在定义域因为函数零点在区间2，3内，则f2＜0，f3＞0，解得a∈(2)已知正数a，b，c分别是函数f(x)＝2x－3x，g(x)＝x＋2－3x，hx＝x＋2－2x的零点，则(A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：选B.由函数f(x)在0，＋∞上为增函数，又f1＝－1＜0，f2＝52＞0，则f(x)存在唯一零点x0∈1，2，即令g(x)＝0，则g(x)＝x＋2－3x＝x2+2x-3x＝0，解得x＝1或x＝－令hx＝0，可得函数hx的零点即为y＝x＋2与y＝2x的交点的横坐标，画简图如图：可得x＝2(负值舍去)，则c＝2.综上，b＜a＜c.考点3函数的模型及应用(1)(2025·北京平谷一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，如果前10h消除了50％的污染物，那么从消除60％的污染物到消除80％的污染物大约需要经历()A.10h B.4h C.40h D.8h解析：选A.由题意可知0.5P0＝P0e－10k，即0.5＝e－10k，即k＝ln210设消除60％的污染物对应事件为t1，即0.4P0＝P0e-设消除80％的污染物对应事件为t2，即0.2P0＝P0e-两式相除可得2＝e－kt1－t2，即ln2＝－kt1－t即从消除60％的污染物到消除80％的污染物大约需要经历10h.(2)(多选)(2025·云南大理模拟)某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ωcm和厚度xcm满足：n≤23log2ωx.根据以上信息，下列说法正确的是(参考数值：lg2≈0.3)(A.当对折6次时，ωx的最小值为2B.当对折6次时，ωx的最小值为2C.一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折5次D.一张长边长为20cm，厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折7次解析：选BC.令n＝6，由题意可得23log2ωx≥6，即log2ωx≥9，解得ωx≥29，所以当对折6次时，ωx的最小值为29，故B当ω＝20cm，x＝0.05cm时，n≤23log2200.05＝23log2400＝23×lg400lg2＝23×2lg2+2lg2≈23×0.6+20.3≈[反思感悟]构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型.(2)构建的函数模型有误.(3)忽视函数模型中变量的实际意义.对点练3.(1)(2025·山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e－t400，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为((ln2≈0.693，精确到1年)A.265年 B.266年C.276年 D.277年解析：选D.令Q＝Q0e－t400＝12Q0，可得e－t400＝12，可得－t400＝ln12＝－ln2，所以t＝(2)(2025·四川成都二模)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－52lgII0，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(A.1052 B.10－52 C.解析：选D.令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，依题意得2=－52lgI1I0，0.8=－[课下巩固检测练(二)]基本初等函数、函数与方程(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则()A.b＞a＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.a＞b＞c解析：选D.对于a，b，由于y＝x0.3在0，＋∞单调递增，所以20.3＞0.20对于b，c，由于y＝0.2x单调递减，故0.20.3＞0.20.6.所以a＞b＞c.2.(2025·河北沧州二模)函数f(x)＝2x＋lnx－1的零点所在的区间为()A.0，12 C.1，32 解析：选B.因为y＝2x与y＝lnx－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋lnx－1在0，＋又f12＝2＋ln12－1＝2－1－ln∵2－1＜12，ln2＞lne＝12，∴f12＝2－1－ln2＜0，又∵f1＝2＋ln1－1＝1∴函数f(x)的零点所在区间是123.(2025·山东济宁二模)若函数f(x)＝12x2-ax在1，＋∞上单调递减A.a≤2 B.a≥2C.a≤1 D.a≥1解析：选A.f(x)＝(12)x2-ax是由y＝(12)u与u因为f(x)＝(12)x2-ax在1，＋∞上单调递减，且外层函数y根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u＝x2－ax在1，＋对于二次函数u＝x2－ax，其图象开口向上，对称轴为x＝－-a2×二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u＝x2－ax在1，＋则对称轴需满足a2≤1，解得a≤24.(2025·北京房山一模)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)＝N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量.当t＝3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4)＝150，则N(10)＝()A.300 B.450C.600 D.750解析：选C.由题意得N(3)＝N0e3r＝2N0，所以e3r＝2，若N(4)＝N0e4r＝150，则N(10)＝N0e10r＝N0e4r×e6r＝150×22＝600.5.(2025·天津和平二模)已知a＝log52，b＝log5log52，c＝log522，则a，b，cA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.b＜c＜a解析：选D.0＝log51＜log52＜log55＝1，所以0＜a＜1，log5log52＜log51＝0，所以b＜又c＝a2，0＜a＜1，故c－a＝a2－a＝aa－1＜0，所以0＜c＜综上，b＜c＜a.6.(2025·湖南岳阳二模)若函数f(x)有唯一零点，且fx+1＝x2－1＋aex＋e-x，则A.－12 B.C.12 D.解析：选C.由于f(x)有唯一的零点，所以fx+1也有唯一的零点由于y＝x2－1，y＝aex＋e-x均为偶函数，所以g(x)因此g0＝f1＝－1＋2a＝0，故a＝127.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝ex1+λe2xA.当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间0，B.当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间0，C.当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间0，D.当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间0，解析：选D.对于A，B：当λ＝1时，f(x)＝ex1+e2x，其定义域为R，f－x＝e-x1+e-2x＝ex1+e2x＝f(x)，故f(x)为偶函数；又f(x)＝因为y＝t＋1t在t∈1，e单调递增，t＝ex在x∈0，1单调递增，故y＝ex＋e－x在0，1单调递增，故f(x)＝1ex+对于C，D：当λ＝－1时，f(x)＝ex1-e2x，其定义域为{x｜x≠0}，f－x＝e-x1-e-2x＝exe2x-1＝－f(x)，故f(x)为奇函数；又f(x)＝ex1-e2x＝1e-x-，当x∈0，1时，y＝e－x，y＝－ex8.(2025·北京顺义一模)已知直线y＝－x＋4分别与函数y＝2x和y＝log2x的图象交于Ax1，y1，Bx2，y2，给出下列三个结论：①2x1＞x2；②2x1＋2x2＞8；③x1log2x2－A.0 B.1C.2 D.3解析：选C.由题意直线y＝－x＋4与y＝x垂直，函数y＝2x和y＝log2x的图象关于y＝x对称，所以Ax1，y1，Bx2，y2关于y＝x对称，又由y＝－x+4对于①：因为2x1＝－x1＋4，且x2＝4－x1，所以2x1＝x对于②：由2x1＋2x2≥22x1＋x2＝23，因为x1≠x2，对于③：直线y＝－x＋4与y＝2x联立，可得－x＋4＝2x，即2x＋x－4＝0，设函数f(x)＝2x＋x－4，f(x)是增函数，又由f1＝－1＜0，f(32)＝22＋32－4＞0，可得f1·f(32)＜0，所以函数f(x)在区间(1，32)上存在唯一零点，即1＜x1＜32，因为x1＋x2＝4，所以52＜x2＜3，构造函数g(x)＝log2xx(x＞当g'(x)＞0时，可得x∈(0，e)，∴函数g(x)在(0，e)单调递增；当g'(x)＜0时，可得x∈(e，＋∞)，∴函数g(x)在(e，＋∞)单调递减；1＜x1＜32，52＜x2＜3，∴log2x2x2－log2x1x二、多选题9.函数f(x)＝logax＋10<a<1的大致图象不可能为(解析：选BCD.函数f(x)＝logax＋1(0＜a＜1)的定义域为xx因为f－x＝logax＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数当x∈0，＋∞时，f(x)＝logax＋10＜a故函数f(x)＝logax＋10＜a＜110.已知函数f(x)＝2x-12x+1A.不等式f(x)＜B.∀x∈R，都有f－x＝f(xC.f(x)是R上的递减函数D.f(x)的值域为－解析：选AD.对于A：f(x)＝2x-12x+1＝1－22x+1，由f(x)＜13，得－13得32＜2x＋1＜3，解得－1＜x＜1，即原不等式的解集为(－1，1)，故A正确对于B：f(－x)＝1－22-x+1＝1－2x+12x+1≠对于C：f(1)＝1－23＝13＜35＝1－25＝f(2)，所以f(x)在R上单调递减不成立，对于D：由0＜22x+1＜2知－1＜1－22x+1＜1，即函数f(x)的值域为(－1，111.(2025·河北保定一模)下列不等式成立的有()A.log0.30.2＞log0.20.3 B.0.30.2＞0.20.3C.log30.2＜log20.2 D.30.2＜20.3解析：选AB.对于A，log0.30.2＞log0.30.3＝1，log0.20.3＜log0.20.2＝1，故log0.30.2＞log0.20.3，故A正确；对于B，0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，故B正确；对于C，由于log30.2＜0，log20.2＜0，故log20.2log30.2＝1log0.221log0.23＝log0.23对于D，30.2＝315，20.3＝2310，∵31510＝32＝9，231010＝8，所以31510＞2310三、填空题12.(2025·广东深圳三模)已知实数a＞1，且满足loga(2a)＋log2aa＝52，则a＝解析：设loga2a＝t，则t＝loga2＋1，因为a＞1，所以t＞1.由t＋1t＝52⇒t＝2或t＝12(舍去).所以loga2＋1＝2⇒答案：213.(2025·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2x2－2ax在2，4上的最小值是1解析：若a＝0，则x∈2，4，f(x)＝2log2x在2，4上单调递增，最小值为f2＝2log22＝若a＜0，则f(x)的定义域为－∞，2a∪0，＋∞，且由复合函数的单调性可知f则最小值为f2＝log24－4a＝1，解得a＝1若a＞0，则f(x)的定义域为－∞，0∪2a，＋∞，由题意可得2，4⊆(2此时由复合函数的单调性可知f(x)在2，4则最小值为f2＝log24－4a＝1，解得a＝1综上，a＝12答案：114.(2025·山西临汾二模)已知a＞0，函数f(x)＝1x，x＞0，ax2＋x，x≤0，g(x)＝ax－a.若函数F(x)＝解析：因为函数F(x)＝f(x)－g(x)有三个零点，即方程f(x)－g(x)＝0有三个解，当x＞0时，方程为1x＝ax－a，即1＝ax2－ax，即ax2－ax－1＝0因为a＞0，所以Δ＝－a2＋4a＞0，所以方程有两个根，又-1所以ax2－ax－1＝0有一个正根与一个负根，又x＞0，所以F(x)＝f(x)－g(x)有一正的零点；当x≤0时，方程为