河工大材料力学教案第6章 弯曲变形

第六章弯曲变形§6.1工程中的弯曲变形问题§6.2挠曲线的微分方程§6.3用积分法求弯曲变形§6.4用叠加法求弯曲变形§6.5简单超静定梁§6.6提高弯曲刚度的一些措施§6.1工程中的弯曲变形问题实例①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。2.研究变形目的①建立刚度条件，解决刚度问题②建立变形协调条件，解决超静定问题③为振动计算奠定基础。§6.2挠曲线的微分方程1.概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。①挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。②挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。③挠曲线的方程式：w=f(x)④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。挠曲线的曲率表示式：①纯弯曲：②横力弯曲：细长梁，忽略Fs影响。3.挠曲线的曲率表达式①纯弯曲：（a）②横力弯曲：对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响（b）③高等数学中对曲率的定义及表达式于是式（a）转化为（c）在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量对应的也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成（d） 注意到代入式（d）及：（e）此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是（f）式（e）中，于是式（e）可写成（g）此式为挠曲线的近似微分方程。§6.3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程对等直梁而言，EI为常量，于是上式可写成积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程式中C、D为积分常数，可由边界条件及连续条件确定。2.边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。3.连续条件：挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。4.刚度条件：Example1.EI=constFind.wmax、θmaxSolution.①列弯矩方程：(0≤x＜l)②列微分方程及积分③求积分常数边界条件：当x=l时，=θ=0，w=0④转角方程及挠度方程：⑤求θA,wA将x=0代入以上二式Example2.内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方程，wmax、θmax。Solution①求反力：②列弯矩方程：（AC）(0≤x1≤a)（CB）(a≤x2≤l)③列微分方程及积分（AC）（CB）④求积分常数边界条件：当x1=0时，w1=0当x2=l时，w2=0连续条件：当x1=x2=a时，w11=w12，w1=w2 D1=D2=0⑤转角方程及挠度方程（AC）（CB）⑥最大挠度wmax，最大转角θmax当x1=0时，当x2=l时，若a＞b，则,θmax＞θB若a＜b，则最大挠度wmax当时,w为极值,所以应首先确定为零的截面位置。若在式（a）中，令x1=a，可求的若a＞b，则θC为正值。可见从截面A到截面C转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，θ=0的截面必然在（AC）段。令式（a）等于零：x0即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0代入式（b）的最大挠度当F作用于中点时，即，最大挠度发生在中点。极端情况，当F无限接近右支座时，b2<<l2，b2可以省略，于是可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度，因此，在式（b）中令求出跨度中点挠度为：即是在极端情况下，b→0时⑦误差分析：用代替wmax所引起的误差⑧结论可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。§6.4用叠加法求弯曲变形1.积分法①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转角和挠度是最基本的方法。②缺点：积分法比较麻烦。叠加法①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形，这就是弯曲变形的叠加法。②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P188-1Example1Given：Find：θA,θB,wCSolution：查表P190Example2.Find:：θA,θB,wC,wDSolution