湖南大材料力学课件第4章 弯曲内力

材料力学弯曲内力第四章一、平面弯曲的概念及梁的计算简图1.概念与实例吊车梁受力特点：作用在杆上的所有外力都垂直于杆轴(横向力)。变形特点：变形前为直线的杆轴线，变形后为曲线。以弯曲变形为主的杆称为梁纵向对称平面杆轴挠曲线PRARBm平面弯曲：弯曲变形后的轴线为外力所在平面内的一条平面曲线。梁的简化①

简支梁一端固定铰支座一端可动铰支座固定铰支座：允许转动,不允许有水平位移和竖直方向的位移。提供：竖直和水平两方向的反力。可动铰支座：只限制竖直方向的位移，仅能提供竖直方向的反力。2.梁的计算简图例：短滑动轴承，可简化为简支梁。②

悬臂梁：一端固定约束，一端自由固定端：不允许转动和移动。可提供：水平反力、竖直反力和反力偶。自由端：不限制任何转动和移动,不提供反力。③外伸梁三种梁均有三个反力，有效平衡方程也为三个，

均为静定梁。对于单跨梁这是仅有的三种静定形式。多跨静定梁11223①

分布力——沿全梁或部分长度上连续分布的横向力。荷载的简化q：荷载集度(单位长度上的力)

单位

kN/m

、N/m

q为常数时，称为均布荷载q②

集中力通过微小梁段作用的横向力。单位：kN、Np

PPmP=mm作用的平面为纵截面，力偶矢方向垂直梁轴线。③

集中力偶二、弯曲内力——剪力与弯矩①

求反力ABLPabPRARBxAABxA.c②

截面法求内力由平衡：剪力Q弯矩MMQ由平衡方程ABxLPabBQ

M

PRB取右段为脱离体，可求出Q

、M

结论显然是：

Q=QM=M

ABxLPabxAMQ.cQ、Q

大小相等，指向相反。M、M

大小相等，转向相反。为了便于表达，规定符号QQQ>0正QQQ<0负Q使脱离体有顺时针转动趋势为正，反之为负。M使得梁上部受压，下部受拉为正，反之为负正M>0

MM梁段+

梁段+M<0负MM

例4－1

图示简支梁，已知q、L求1－1截面的内力。1ABLaq1解：①

求反力由对称性，易求得：1ABLaq1RARBABLaRBRAq1②

求内力qaQRAxdxMCc.不要将材料力学对Q、M的符号规定与列平衡方程中力与力偶的符号混淆。a.取脱离体之前不能进行力的简化，取脱离体之后可进行。b.假设1-1截面上的内力均为正号，则最后结果的符号具有双重含义。注意：例4－2求图示悬臂梁1－1截面的内力。1m1m1m1m1m2mABP1=1kNP3=3kNP2=2kNm1=2kNmm2=1kNmq=2kN/m111m解：截面法：.AcM1Q1P1P3P2m1m2q1m1m1m1m1m..AcM1Q1P1P3P2m1m2q1m1m1m1m1m..AcM1Q1P1P3P2m1m2q1m1m1m1m1m.(1)梁内任一截面的剪力Q的大小，等于该截面左边(或右边)的所有外力在与梁轴垂直方向上投影的代数和(横向力代数和)若考虑左段为脱离体，则向上的力产生正剪力，向下的力产生负剪力。基本规律：(2)梁内任一截面的弯矩M的大小，等于该截面左边(或右边)所有外力(包括外力偶)对该截面形心的力矩的代数和，若取左段为脱离体，则向上的力产生正弯矩，向下的力产生负弯矩；顺时针转的力偶产生正弯矩，逆时针转的力偶产生负弯矩。例4－3求图示梁1－1，2－2截面的内力。2m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA11221m1m解：(1)求反力2m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA11221m1mRA=5kNRB=4kN(2)根据基本规律求内力2m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA11221m1mRA=5KNRB=4KN2m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA11221m1mRA=5kNRB=4kN三、剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图求：距A端x的截面内力(1)求反力(2)求内力Q(x)称为剪力方程，M(x)称为弯矩方程。ABlxRBRAqAxRAqMxABlxRBRAq+M+

Q根据剪力方程和弯矩方程画内力图：①

对齐平行原梁。③

正负号要标在图上。④

控制点的坐标必须标上。②

正号剪力画在上方，负号剪力画在下方；正号弯矩画在下方，负号弯矩画在上方。画图要求例4－4

作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求反力(2)列剪力方程和弯矩方程AC段CB段PABCRARBL(3)绘图PABCRARBL

QM＋＋AC段CB段C点为集中力作用点，剪力图在C点发生突变，即C点左、右两侧截面上的剪力值不同，两者的代数差等于该集中力的值。(4)讨论qMQ结论：集中力作用点将发生剪力突变，突变方向，从左向右与集中力方向一致，突变值等于集中力的数值。在集中力作用点，弯矩图上出现尖点，尖点方向与集中力的箭头方向一致。例4－5

画图示梁的内力图。解：①

求反力②

列内力方程剪力方程弯矩方程abm0ABLRARBabm0ABLRARB＋

Q＋③

绘图M④

讨论集中力偶作用点，弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶的值。四、弯矩、剪力和分布荷载集度间的关系及其应用。(负号表示方向向下)Lqq(x)yxq(x)MCQM+dMQ+dQdxxdx1.微分关系的推导q(x)MCQM+dMQ+dQdx(dx)2为高阶无穷小，可略去q(x)MCQM+dMQ+dQdx2.Q、M图的基本规律①

q=0——水平线——斜直线②——斜直线——抛物线抛物线的凹向由M的二阶导数确定。常见荷载的内力图的特征荷载内力图q=0q=c集中力PP集中力偶m0m0Q图特征水平线斜直线斜直线PP无影响M图特征斜直线Q>0Q<0抛物线抛物线m0m0Mmax发生位置：①

Q=0②

集中力作用点③

集中力偶作用点1m1m1m1m2m1m3kN2kN1kN2kNm2kN/m1kNm+++

+Q(kN)M(kNm)1