4.5 用迭代序列求sqrt(2)的近似值教学设计沪教版2020选择性必修第一册-沪教版2020

4.5用迭代序列求sqrt(2)的近似值教学设计沪教版2020选择性必修第一册-沪教版2020授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容一、教学内容本节课为沪教版2020选择性必修第一册4.5节，主要内容有：通过方程x²=2变形得到迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2，理解迭代思想；掌握迭代步骤（选择初始值、迭代计算、设定精度要求）；利用迭代序列计算sqrt(2)的近似值，分析迭代过程的收敛性及误差。核心素养目标二、核心素养目标数学运算：运用迭代公式进行精确计算，提升运算能力；逻辑推理：分析迭代过程的收敛性，理解递推关系，培养逻辑推理能力；数学建模：将求sqrt(2)的问题转化为迭代模型，体会数学建模思想。教学难点与重点三、教学难点与重点1.教学重点：迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2的推导与应用，理解其由方程x²=2变形而来（通过x=2/x取平均）；掌握迭代步骤，如初始值x₀=1时，计算x₁=1.5，x₂≈1.4167，逐步逼近sqrt(2)。2.教学难点：迭代收敛性的理解，学生易困惑“为何迭代序列会收敛”，需结合实例（如计算x₃≈1.4142，与sqrt(2)误差减小）说明单调有界原理；初始值选择的影响，如x₀=-1时收敛到-sqrt(2)，引导学生明确初始值需为正且非0。教学方法与手段四、教学方法与手段1.教学方法：讲授法讲解迭代公式推导逻辑，讨论法分析初始值对收敛的影响，实验法通过分组计算迭代序列验证收敛性。2.教学手段：多媒体动态展示迭代步骤与数值变化，教学软件实时计算逼近过程，实物投影展示学生计算结果对比分析。教学过程五、教学过程

同学们，今天我们要学习如何用迭代序列求sqrt(2)的近似值。首先，我引导你们思考：sqrt(2)是一个无理数，约等于1.414213562...，但在实际应用中，如工程计算或科学实验，我们需要它的近似值。如何高效地计算呢？今天我们就用迭代方法来解决这个问题。你们回想一下，之前我们学过方程x²=2的解法，但直接求解困难。迭代方法通过递推公式逐步逼近精确值，这既高效又实用。现在，我演示迭代公式的推导过程：从方程x²=2变形，两边除以x（x≠0），得到x=2/x，然后取xₙ和2/xₙ的平均值，形成迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2。为什么这样变形？因为取平均可以加速收敛，避免发散。你们看，这个公式简洁但强大，是本节课的核心。接下来，我选择初始值x₀=1，计算x₁=(1+2/1)/2=1.5，x₂=(1.5+2/1.5)/2≈(1.5+1.3333)/2≈1.4167，x₃≈(1.4167+2/1.4167)/2≈(1.4167+1.4118)/2≈1.4142，x₄≈1.4142，越来越接近sqrt(2)。你们注意到吗？每一步迭代值都在减小，但误差在减小，这体现了收敛性。

现在，我深入讲解迭代步骤。首先，选择初始值x₀，它必须为正且非零，否则可能不收敛。例如，x₀=1时，序列单调递减；x₀=2时，x₁=(2+2/2)/2=(2+1)/2=1.5，同上收敛；但x₀=-1时，x₁=(-1+2/(-1))/2=(-1-2)/2=-1.5，x₂≈(-1.5+2/(-1.5))/2≈(-1.5-1.3333)/2≈-1.4167，收敛到-sqrt(2)，这说明初始值选择至关重要。其次，迭代计算：重复应用公式，直到满足精度要求，如|xₙ₊₁-xₙ|<0.001。你们动手计算：设x₀=1.5，x₁=(1.5+2/1.5)/2≈(1.5+1.3333)/2≈1.4167，x₂≈(1.4167+2/1.4167)/2≈(1.4167+1.4118)/2≈1.4142，x₃≈1.4142，误差小于0.001，达到精度。最后，分析收敛性：序列单调递减且有下界（如xₙ>sqrt(2)），所以收敛。你们思考：为什么收敛？因为每次迭代都取平均，减少了误差。例如，x₀=0.5时，x₁=(0.5+2/0.5)/2=(0.5+4)/2=2.25，x₂≈(2.25+2/2.25)/2≈(2.25+0.8889)/2≈1.5694，x₃≈(1.5694+2/1.5694)/2≈(1.5694+1.2748)/2≈1.4221，x₄≈1.4142，虽然初始值小，但最终收敛。

现在，我用教学软件验证。打开Python程序，输入迭代公式，动态显示数值变化。例如，输入x₀=1，输出序列：1.0,1.5,1.4166666666666667,1.4142156862745097,1.4142135623746899，误差从0.4142降到0.0000000003。你们观察：迭代次数少，精度高。讨论：为什么软件高效？因为计算机快速计算，避免手动误差。例如，x₀=1.5时，软件输出：1.5,1.4166666666666667,1.4142156862745097,1.4142135623746899，3步稳定。你们提问：如果初始值x₀=0，会怎样？软件报错，因为除零。强调：初始值必须非零。

最后，总结本节课。我回顾重点：迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2的推导和应用；步骤包括选择初始值、迭代计算、设定精度；收敛性分析，序列单调有界。难点突破：初始值选择影响收敛方向，如x₀>0收敛到正sqrt(2)，x₀<0收敛到负值；收敛速度取决于初始值接近程度。你们练习：独立计算x₀=1.3的迭代序列，x₁≈(1.3+2/1.3)/2≈(1.3+1.5385)/2≈1.4192，x₂≈(1.4192+2/1.4192)/2≈(1.4192+1.4092)/2≈1.4142，x₃≈1.4142，验证收敛。强调：迭代是求解方程近似解的强大工具，应用于实际问题如数值分析。你们课后思考：如何用迭代求其他平方根？教学资源拓展六、教学资源拓展

1.拓展资源：

（1）其他无理数的迭代求法：如求sqrt(3)的迭代公式为xₙ₊₁=(xₙ+3/xₙ)/2，初始值x₀=1时，序列为1,2,1.75,1.7321，收敛到sqrt(3)。类似地，sqrt(5)的迭代公式为xₙ₊₁=(xₙ+5/xₙ)/2，验证初始值x₀=2时，x₁=2.25,x₂≈2.2361，逼近sqrt(5)。

（2）迭代法的数学原理：不动点迭代理论，若函数g(x)满足|g'(x)|<1，则迭代序列xₙ₊₁=g(xₙ)收敛。对g(x)=(x+2/x)/2，g'(x)=(1-2/x²)/2，当x>sqrt(2)时|g'(x)|<1，故收敛。

（3）迭代在数值分析中的应用：牛顿迭代法求方程f(x)=0的解，迭代公式为xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f'(xₙ)。例如求x²-2=0时，f(x)=x²-2，f'(x)=2x，迭代公式简化为xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2，与教材一致。

（4）迭代法的历史背景：巴比伦人（公元前1800年）用迭代法计算sqrt(2)，初始值x₀=1，迭代3次得1.4142，与教材方法相通。

（5）计算机编程实现：Python代码实现迭代求sqrt(2)，例如定义函数defsqrt_iter(x0,tol=1e-6):whileTrue:x1=(x0+2/x0)/2;ifabs(x1-x0)<tol:returnx1;x0=x1，调用sqrt_iter(1)输出1.414213562373095。

2.拓展建议：

（1）基础探究：改变初始值x₀，如x₀=0.1,1.0,10.0，观察迭代序列的收敛速度和极限值，记录迭代次数与误差，分析初始值对收敛的影响。

（2）拓展应用：用迭代法求sqrt(a)（a>0），推导一般迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/2，并验证a=3,5,10时的收敛性。

（3）数学建模：建立迭代模型解决实际问题，如物理中单摆周期近似计算，或工程中电阻网络等效电阻的迭代求解。

（4）跨学科联系：结合物理中的“逐步逼近法”，如用迭代计算电路中的电流分布，体会数学工具在自然科学中的应用。

（5）数学史研究：查阅《九章算术》中“开方术”的迭代思想，对比巴比伦、中国古代与现代迭代法的异同，撰写小报告。

（6）编程实践：用Excel或Python编写迭代程序，动态展示sqrt(2)的逼近过程，调整精度参数tol，观察迭代次数变化。

（7）竞赛拓展：研究迭代法的加速收敛技术，如艾特肯加速法，对序列xₙ构造新序列xₙ'=xₙ-(xₙ₊₁-xₙ)²/(xₙ₊₁-2xₙ+xₙ₋₁)，比较加速前后的收敛速度。典型例题讲解七、典型例题讲解

例题1：用迭代公式求sqrt(2)的近似值，取初始值x₀=1.5，要求精度为0.001。

解：x₁=(1.5+2/1.5)/2≈(1.5+1.3333)/2≈1.4167

x₂≈(1.4167+2/1.4167)/2≈(1.4167+1.4118)/2≈1.4142

|x₂-x₁|≈0.0025>0.001，继续迭代

x₃≈(1.4142+2/1.4142)/2≈(1.4142+1.4142)/2≈1.4142

|x₃-x₂|<0.001，取x₃≈1.414

例题2：分析初始值x₀=0.5时迭代序列的收敛性。

解：x₁=(0.5+2/0.5)/2=(0.5+4)/2=2.25

x₂≈(2.25+2/2.25)/2≈(2.25+0.8889)/2≈1.5694

x₃≈(1.5694+2/1.5694)/2≈(1.5694+1.2748)/2≈1.4221

x₄≈(1.4221+2/1.4221)/2≈(1.4221+1.4065)/2≈1.4143

序列逐步逼近sqrt(2)，收敛。

例题3：若要求|xₙ₊₁-sqrt(2)|<0.0001，至少需要迭代几次？（x₀=1）

解：x₀=1,x₁=1.5,x₂≈1.4167,x₃≈1.4142,x₄≈1.41421356

|x₄-sqrt(2)|≈|1.41421356-1.41421356|<0.0001，需4次迭代。

例题4：证明迭代公式xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2收敛到sqrt(2)。

解：设极限为L，则L=(L+2/L)/2，解得L²=2，L=sqrt(2)（取正值）。

例题5：初始值x₀=-1时，迭代序列收敛到哪个值？

解：x₁=(-1+2/(-1))/2=(-1-2)/2=-1.5

x₂≈(-1.5+2/(-1.5))/2≈(-1.5-1.3333)/2≈-1.4167

x₃≈(-1.4167+2/(-1.4167))/2≈(-1.4167-1.4118)/2≈-1.4142

收敛到-sqrt(2)。内容逻辑关系八、内容逻辑关系

①迭代公式的推导基础：核心知识点为方程变形与迭代结构，关键词“x²