河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i为虚数单位，若复数z=1+i2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A=xx<1A．−2,0 B．−2,13．已知Sn是等差数列an的前n项和，若a3+aA．180 B．100 C．90 D．804．某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长x（单位：分钟）”与“语文阅读理解得分y（单位：分）”的数据xi,yii=1,2A．−0.2 B．12 C．1.2 5．若函数fx=x2xA．43 B．73 C．756．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为287，则其表面积为（

A．148 B．68+207 7．若函数fx=sin2x+bA．−3 B．−33 C．38．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1和A．23 B．53 C．35二、多选题9．已知圆C:x−A．aB．原点在圆C的内部C．圆x2+yD．直线y=x与圆C交于A,B10．已知在△ABC中，AB=2,A．AB．PC．向量PB在向量ABD．若AM=λA11．已知数列an满足an+1=man2m∈R，且a1A．当m<−1B．SC．存在m∈−∞D．当m=2三、填空题12．已知3cosα=213．智能舞蹈机器人A在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人A移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答）14．在母线与底面所成角为π3的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为r的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则r=四、解答题15．已知双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的焦距；(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为2π3的直线l与C交于A,16．已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)求数列an(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差记为dn17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=(1)求证：平面POG⊥(2)若点E为PA中点，点P关于平面BCE的对称点为点Q，求平面Q18．已知函数fx(1)曲线y=fx在点M1,(2)当b=1时，对于任意x>1，(3)证明：i=19．甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为2nn∈N*，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为12，防守方获胜的概率也为12(1)当n=（i）求比赛进行了4轮结束的概率；（ii）求a1(2)求ak的表达式（用n和k答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题》参考答案题号12345678910答案ADCCDABBBCBCD题号11答案ACD1．A【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限.【详解】解：由z=1+i22．D【详解】A=故A∩B=3．C【分析】由等差数列的性质可知a3+a7=【详解】由题意得数列an是等差数列，所以2a5因此S94．C【详解】解：a^5．D【分析】根据函数的奇偶性可求解a=【详解】fx的定义域为R，由于fx为偶函数，故即f−整理可得−2ax=x所以f26．A【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果．【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为287,设其高为h，则287所以侧面梯形的斜高为h1则梯形的面积(2上，下底底面面积分别为2×2=所以该四棱台的表面积为4+7．B【分析】利用导数判断单调性，通过区间端点导数非正的条件联立求出唯一的b，再验证其符合单调递减的条件即可.【详解】因为fx=sin因为函数fx=sin所以f′x=所以当x=π3即b≥当x=5π6即b≤所以b=当b=−3当x∈π3所以b=综上，b=8．B【分析】利用椭圆定义和切线长定理求各边长，再根据勾股定理求解即可.【详解】根据椭圆定义得△PQF根据三角形内切圆切线长性质，得∣F∣PA∣=∣BP设∣BQ∣=x，由∣代入∣F1A因此∣BP∣∣PF2∣=∣P观察△PQF故△PQF1​是直角三角形，对Rt△F1QF(4a3)29．BC【分析】根据半径可求解a=【详解】C:x−故r=2a由于0−x2+y2+故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确，C1,−1到直线y=故S△10．BCD【分析】首先根据已知条件判断△ABC的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量a在向量b【详解】因为AB所以BC所以AB所以△A因为BD=2DC，所以D对于A，CD由勾股定理知AD对于B，由题意知AD所以PB对于C，由B知PB所以P=5所以向量PB在向量AB上的投影向量为对于D，因为AM所以AB由B知AD=1又M,N,D三点共线，所以11．ACD【分析】对于A，利用放缩得到an【详解】对于A，∵an+1=∴an+1=ma∴−an>1，−对于B，a1=1，a而Sn=1对于C，a1=1，a2=∴1+m解得m=1或m=对于D，m=2时，anlog2∴1则数列1+∴1+loglog=112．2【分析】根据和差角公式展开，即可得2cos【详解】由3cosα=2sin则tanα13．16【详解】机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，机器人A移动4秒恰好位于舞台中心共有两种可能：第一种情形：机器人四步中有一步向正北，三步向正南，此时共有C4第二种情形：机器人四步中有一步向正东，一步向正西，两步向正南，此时共有C4所以总路径条数为4+14．533【分析】取过圆锥轴及其中一个大球球心的截面，并结合与底面平行且距离底面为1的平面内三个球心的位置关系，将空间问题转化为平面中圆与直线、圆与圆的相切问题.先由截面中半径为1的圆确定大球球心到圆锥轴的距离，再利用三个球心构成边长为2的正三角形求圆锥底面半径.设再放入的小球半径为r，由对称性知其球心在圆锥轴上，再由相切条件列方程即可求得r.如图：

【详解】设圆锥底面圆心为O，顶点为P，底面半径为R，高为h，三个半径为1的大球球心分别为A,因为母线与底面所成角为π3，所以h=R取过圆锥轴及球心A的截面.在该截面内，单位圆与底边、腰都相切.设右侧底角为M，则A在∠M的角平分线上，且A到底边的距离为1在相应的直角三角形中，sinπ6=1M设O1为圆锥轴与过A,B,C且平行于底面的平面的交点，则O1A=R-3.又因为三个大球两两相切，所以A从而R-3=23设再放入的小球半径为r，球心为S.由对称性可知，S在圆锥轴上.在上述截面内，小球化为一个与两腰都相切的圆.由于顶角为π3，且S所以sinπ6=rPS，从而在同一截面内，大球与小球相切，所以AS由前面结论可得，球心A到圆锥轴的距离为23，且A到底面的距离为1，因此A于是232+4-因为0<r<1，所以15．(1)2(2)4【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到a与b的关系，再将点P的坐标代入双曲线方程，联立求解出a，b的值，进而求出c的值，得到焦距；（2）先求出直线l的方程，然后联立直线l与双曲线C的方程，利用弦长公式求出|A【详解】（1）由题意得：ba又c2=a∴2c=22（2）∵a2=1,∵c=2∵设直线l的斜率为k,∴直线l的方程为：y=联立y=−3因Δ设Ax1∴A16．(1)a(2)n【分析】（1）根据递推公式求出a1及an,（2）首先求出数列cn的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前n【详解】（1）∵S∴当n=1时，S1又∵当n≥2时，∴an=∴数列an∴a（2）∵a由题意知an+1∵c设数列cn的前n项和为T∵T∴T则2 两式相减得：−T即−T∴T17．(1)证明见解析(2)5【分析】(1)利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直；(2)方法一：建立空间直角坐标系，通过点的坐标和向量运算求出平面的法向量；利用对称条件解出对称点坐标，最后用法向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值；方法二：通过线面平行的性质与对称关系确定点的位置及辅助线，结合三角形全等与角度推导；将空间平面夹角转化为平面内的角度差，利用三角函数公式求出余弦值.【详解】（1）∵侧面PBC为正三角形，O为∴P∵ABCD是矩形，且O、∵PO⊂面P∴BC⊥面P∴平面POG⊥（2）方法一：由（1）知PO⊥BC，∵平面PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面以O为坐标原点，OB,OG,OP所在直线分别为x则P0BCPC=−则QB设平面BCE的一个法向量为m=x,取z=3，则y=易知点P到平面BCE的距离与点Q到平面BC即PB⋅m即3=b−解得b=0,c=设平面QAB的一个法向量为又QA则t⋅QA取x0=3设平面PCD的一个法向量为则n⋅PC=0则y1=0设平面QAB与平面PCD夹角为故平面QAB与平面PC方法二：设平面BEC与棱PD因为AD//BC,A且面BCFE∩面PAD=EF，则A设平面BEFC∩平面POG=因为P关于平面BCFE的对称点为Q，P所以PQ⊥面BCFE所以PQ⊂平面POG且PQ⊥O在平面POG内，PO因为H为PG中点P可得△POH为正三角形，因为PM⊥由对称性可知，△P所以∠POH=∠设HQ交OG于点K，则K为则OK由PO⊥面AB则平面PCD与平面AB设平面QAB与平面ABCD则平移可得平面QAB与平面PC则tan60∘−故平面QAB与平面PC18．(1)a(2)a(3)证明见解析【分析】（1）根据切线方程为x+2y−3（2）将问题转化为a>（3）根据（2）的结论得1n【详解】（1）f′则f′1（2）当b=1时，依题意有ax−1设mx设hx由x>1得：h′x<且h1=0，则hx<0在m1=1，则m（3）由（2）可知，当x>1时，令x=t，则t−令t=2n即1n累加得：11即i=1n19．(1)（i）116；（ii）(2)a【分析】（1）（i）利用四个独立事件同时发生来计算概率即可；（ii）利用全概率公式来求解即可；（2）利用构造数列的递推思想，求解通项