人教版数学九年级上册第7讲 圆的有关性质满分练习题（含解析）

第7讲圆的有关性质

'垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍.

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以A.B为端点的的弧记

作AB，读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个湍点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180。用三个字母表示，如AC8.

小于半圆的弧叫做劣弧，如A3。

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任••角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(I)垂直「弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

⑶弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

⑷平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑸平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为门与半径为寰

的G>O叫做同心圆.

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的与。。2的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆O的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：•・•AB是直径，AB1GH,

，圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是

【答案】（-2,-1）

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O,

则点O即是该圆弧所在圆的圆心.

•・•点A的坐标为（・3,2）,

・••点0的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

/.BE=—AB=-^-x6=3cm,

22

在RsBOE中,

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=r,

解得r=12=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1.（2018秋•镇海区期末）如图，4?是的直径，45=10,P是半径04上

的一动点，PC_LAB交于点C,在半径。8上取点Q,使得OQ=CP,

。。_1_48交。0于点。，点。，。位于A8两侧，连接CD交A8于点七，点

。从点A出发沿A0向终点。运动，在整个运动过程中，ACEP与△。成2的面

积和的变化情况是（）

一直不变C.先变大后变小D.先变小后变大

OD,PD,CQ.设PC=x,OP=yfOF=a,

vPCLAB,QDLAB,

zcpo=zoer)=90°,

♦.・PC=OQ,OC=OD,

RtAOPC=RtADQO,

/.OP=DQ=y,

「.S/=S四边形pcQc-SMm-SAb。=Tcv+)')2_T(y_Q)y_T(x+Q)x=与'+ga(y-

•・•PC//DQ,

PC_PF

，~DQ~~FQy

•.—―-----,

ya+x

:.a=y-x，

・'•%=与’+；()’一x)()~x)=；(f+)[)=$

故选：8.

二.解答题(共2小题)

2.(2018秋•云安区期末)如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度八4=60米，拱高夕0=18

米.

(1)求圆弧所在的圆的半径，•的长；

(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即所=4

在RtAADO中，由勾股定理得：r=302+(r-18)2,

解得，r=34；

(2)连结。r,

\-OE=OP-PE=30,

在&44比H」，由勾股定理得：AE2=AO2-OE2,即：AE2=342-302,

解得：A£=16.

AM=32.

•.•A夕=32>30,

二.不需要采取紧急措施.

3.(2017•道外区一模)如图，为＜9。直径，点。为45下方0O上一点，点C为弧

中点，连接CD,CA.

(1)求证：ZABD=2NBDC；

(2)过点C作CE1顺于“，交AD于石，求证：EA=EC\

则NCAB=NBDC=a,

,点C为弧/WQ中点，

AC=CD,

/.乙ADC=4DAC=。，

NDAB="a,

连接4),

•.•/W为OO直径，

/.Z4DB=90°，

:.a+p=90°，

"=90。一々，

/.Z4BD=90°-ZZM^=90°-(/?-«),

/.ZABD=2a，

:.ZABD=2/BDC；

(2)-.CE1AS,

ZACE+NC4B=ZADC+N3DC=90°,

•//CAR=/CT>R,

/.ZACE=ZAZX?,

\-ZCAE=ZADC，

:.ZACE=ZCAE,

AE=CE：

(3)如图2,连接OC,

;.NCOB=2NCAB,

♦.•ZABD=2/BDC,ABDC=/CAB,

.\ZCOB=ZABD，

NOHC=ZADB=9()0，

,OH_OC_\

而一瓦一屋

•.•OH=5,

."£>=10,

AB=\lAD2+BD2=26:

.•.AO=13,

...A/7=18,

•.•△A//石SAADB,

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

(3)直径所对的圆周角是直角。

【典例】

L如图，矩形ABCD的顶点A,B在圆上，BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是篇的

三等分点(菽,麻)，BG交AF于点H,若标的度数为30。，则NGHF等于

G

【答案】400

【解析】解：如图，连接BF,

,/AB的度数为30°,

的度数为150°,ZAFB=15°,

•二G是宙的三等分点，

，而的度数为50。，

・・・NGBF=25°,

/.ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如图，AB是。O的直径,BC=CD=DE,ZCOD=38°,则NAEO的度数是

【答案】570

【解析】解：:能隽防，ZCOD=38°,

ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

/.ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

又・・・OA=OE,

/.ZAEO=ZOAE,

:.NAEO」x(180°-66°)=57°.

2

3.如图，在。O中，OCJ_AB,ZADC=32°,则NOBA的度数是

【答案】26°

【解析】解：如图,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

■:Z2-2Zl-2x320-64°.

:.N3=64。，

在RsOBE中，ZOEB=90°,

・•・ZB=90°-Z3=90°-64°=26°

【方法总结】

1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

1.（2019•泸县模拟）如图，是的直径，C,。分别是0O上的两点，OC±OD,

AC=2cm,BD=>/2cm,则0O的半径是（）

c

D

A.丛cmB.2cmC.x/5cmD.3cm

【解答】解：过点。作OE_LA8,与圆交于点E,过点D作DH上A3于点、H,过点C作

CG_LA6于点〃连接CE、DE、BC.

：.GH=DE=2

•••OC_LQD,OH工AB,

Z.COD=ZAOE=ABOE=90。，

:・ZAOC=NEOD,NCOE=NBOD,

：.AC=DE=2,CE=BD=4i,

•/ZCOD=90°,ZBQE=90。，

.•.NCBO」NCOO=45°,NBCE=工BOE=45。,

22

/.NCED=180°-4CBD=135°,/BDE=180°-/BCE=135°,

.\ZCED+ZBCE=I8O°,

:.DEWAB,四边形&双为等腰梯形，

•:BD=yH,ZCBD=45c,NDHB=45。,

：.HB=HD=—BD=\,

2

同理£G=1

•;GH=DE=2,

:.BC=CG+GH^BH=U2+\=4

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2=AC2+BC2=22+42=20,

/.AB=26，

OA=013=45

故选：C.

2.（2019•福建模拟）如图，A8是OO的直径，NAO力=120°,点C为弧△力的中点，入C交

D.2x/5

•.NZXM=12O°,

NAO。=60。，

•・•CD=BC,

NDOC=/BOC=Or,

AD=CD,

：.OD±ACr设04=厂，贝iJOE='/=DE=l,

2

:.OA=2,

/.AE=yJOA2-OE2=G,

故选：A.

3.（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在OO中,AB=AC,若NABC=57.5。，则NBOC

的度数为（）

B.130°C.122.5°D.115°

【解答】解：•.•A8=AC,ZABC=57.5°,

...ZACB=ZABC=57.5°，

NA=1800-ZABC-ZACB=65°，

二.由圆周角定理得：Z5OC=2ZA=130。，

故选：B.

二.填空题（共8小题）

4.（201%海安县一模）如图1,一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD,AB,AD

的长分别是和4帆，上部是圆心为O的劣弧8,圆心角NC8=120。.现欲以8点

为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形A4S所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图

4所示记拱门上的点到地面的最大距离/〃〃，贝心?的最大值为_（2+2百）_，〃.

图3图4

【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P,交地面于

点Q，

Q

:.NDOP=60°,-DC=-AB=y/3,

22

:.OD=2,PQ=5,

当点〜在线段AO上时，拱门上的点到地面的最大距离力等于点。到地面的距离，即点尸与

点。重合时，此时

h=VDC2+BC2=V（2x/3）2+42=2近，

如图2所示，当点P在劣弧CO上时，拱门上的点到地面的最大距离〃等于OO的半径长与

圆心O到地面的距离之和，

易知，OQ„OB,

而h-OP+OQ=2+OQ,

二.当点。与点6重合时，/z取得最大值，

由图1可知，OQ=3,BQ=6，则。3=2百，

〃的最大值为OP+O4,即2+26.

故答案为：（2+26）.

5.（2019•晋江市二模）点4、C为直径是的圆周上两点，点4为AC的中点，以线段劭、

AC为邻i力作菱形八片。）.顶点。恰在该圆育行的三等分点上，则该菱形的功长为，M

【解答】解：过8作直径，连接4c交AO于石，

•・•点5为AC的中点，

:.BDA.AC,

如图①，

•・•点。恰在该圆直径的三等分点上，

:.BD，x6g=2日

3

：.OD=OB-BD=6

•.•四边形是菱形，

..DE=-BD=4^，

2

:.（比=26,

连接OC，

-CE=>/OC2-OE2=Vl5,

二边CO=\/DE2+EC2=3yli；

如图②，BD=-x6x/3=4^,

3

同理可得，（X）=不，CF：=小,D忖=2忑「

连接oc,

-CE=yl0C2-0E2=276,

:.边CD7DE,+CE?=6,

故答案为6或3页.

6.（2019•下城区二模）已知C是优弧Afi的中点，若NAOC=4NB,OC=4,则AB=

473

【解答】解：如图，连接CO,延长CO交AB于”.

C

A'B

•・•AC=BC,

:.CH1AB,AH=I3H,

.-.z64/7O=90°.

•;OA=OB,

...ZA=ZB，

•「NAOC=90°+NA=4N6,

.•.24=300,

•.CM=OC=4,

:.OH=-OA=2,

2

/.AH=26,

.•MB=46,

故答案为46.

7.（2019•崇明区二模）如图，在QO中，点。为弧AB的中点，OC交弦居于。，如果A5=8,

OC=5,那么OD的长为3.

【解答】解：连接AO,

•・•点C为弧的中点,

.・.AC=BC,

：.CO±AB,AD=-AB=4,

2

•.CO=5,

：.AO=5，

DO=\l52-42=3,

故答案为：3.

8.（2019•江岸区校级模拟）如图，已知四边形人46外接圆的半径为5,对角线/1C与

BD交于点、E,BE=DE,AB=4iBE,且AC=8,则四边形A3CD的面积为10.

【解答】解：;BE=DE,AB=&BE,

"AB2=2BE?=BE・BD,

AB:BE=BD:AB,

乂ZEBA=ZABD,

MBES^DBA,

:.ZADB=ZBAE,

\'ZADB=ZACB,

：.ZACB=Z.CAB,

/.AB=BC.

连接40,交AC于“，连接。4,

/W=AC,

:.BOA.ACf

:.CH=AH,

,-.CH=AH=-AC=4

2

•.AO=5,

:.OH=y10A2-AH2=3,BH=OB-OH=5-3=2.

5v.„r=-AC^BH=-x5x2=5»

•.•E是△。的中点，

S“BE=S^DE，SgcE=SADC£，

''S^BC~^AAt)C'

,•S四边形=ZSyfic—10»

故答案为10.

9.（2019•浙江模拟）如图，已知半0O的直径项为3,弦47与弦切交于点E,ODLAC.

垂足为点尸，AC=4D,则弦AC的长为6

【解答】解：:ODJlAC,

:.AD=CD,ZA尸0=903

.又•/AC=«D.

AC=BD,BPAD+CD=CD+BC,

AD=BC，

AD=CD=BC，

ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,

-：AB=2,

;.八O=BO=1,

.•/Acr3VJ3\/3

Ahr=AOsinZ.AOF=-x—=---，

224

则AC=2A〃=述；

2

10.（2019•荆州一模）点A、C为半径是3的圆周上两点，点8为弧AC的中点,以线段84、

为邻边作菱形八ACT）,顶点。恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为—后或

2b

【解答】解：过8作直径，连接AC交AO于石，

•・•点3为4c的中点，

J.BD1.AC.

如图①，

•・•点。恰在该圆直径的三等分点上,

:.BD=-x2x3=2,

3

•・•四边形"6是菱形，

:.DE=-BD=\,

2

:.OE=2,

连接oc,

-CE=yl0C2-0E2=>/5,

二边CD=dDE?+EC?

_2

如I图②，40=—x2x3=4,

3

同理可得，OD=\,OE=\,DE=2,

连接OC，

-CE=y]0C2-0E2=>/8=2x/2,

二边CD=JDE2+C炉=、（2扬2+2z=26,

故答案为的或2G.

11.（2019•新城区校级模拟）点A、C为半径是4的圆周上两点，点〃为弧AC的中点，以

线段以、为邻边作菱形八46,顶点。恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为

2x/6_.

【解答】解：如图，连接。4,设8。交AC于G，BD交OO于F.

•・•四边形A8CD是菱形，

.•.8。垂直平分线段AC,

.•.即是直径,

•;OD=DF=2,OB=4,

.\BG=DG=2,

:.OG=\,

在RtAAGD中，==而，

在RtAABG中，吊8=J（屈2+32=2瓜

故答案为2G

知识点3圆周角定理及推论

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

圆周角的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

②90。的圆周角所对的弦为宜径；半圆或直径所对的圆周角为宜角.

③如果三角形•边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

【典例】

1.如图，。。的半径为2,点A为。。上一点，半径0口_1弦8（：于D,如果NBAC=60。，

那么BC的长是

AO

D/C

【答案】273

【解析】解：・・・NBAC=60。，・・・NBOC=120。,

,/OD_L弦BC,・•・ZBOD=90°，

*/ZBOD=ZA=60°,AOD=—OB=1,

2

•••BD=7OB2-OD2=722-12=^'

/.BC=2BD=2A/3

2.如图所示，A、B、C、D四个点均在。O上，ZAOD=50°,AO〃DC,则NB的度数为

【答案】650

【解析】解：如图连接AD,

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80°：/河=65。.

2

VAO//DC,

/.ZODC=ZAOD=50°,

JZADC=ZADO+ZODC=115°,

/.ZB=180°-ZADC=65C

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径史处相等，可迅速构造等腰二角形。

2、利用宜径所对的圆周角是更角，可便捷构造直角三角形。

【随堂练习】

1.（2019•青山区模拟）已知的半径为2,A为圆内一定点，AO=\.尸为圆上一动点,

以AP为边作等腰AAPG,AP=PG,ZAPG=120°,OG的最大值为（）

A.1+V3B.l+2>/3C.2+75D.2>/3-l

【解答】解：如图，将线段Q4绕点。顺时针旋转120。得到线段07,连接AT,GT,0P.则

AO=OT=\,AT=y/3,

•••AAOT,AAPG都是顶角为120。的等腰三角形,

:.^OAT=ZPAG=3>0°,

OAAT

AP-AG

...△OV^ATXG,

OPOAx/3,5-

----=-----=—，OP=2,

TGTA3

:.TG=20

•.oq,OT十GT,

OG„1+2\/3,

.•.OG的最大值为1+26,

故选：B.

2.（2019•鹿城区模拟）如图，AB.BC是OO的弦，N8=60°,点O在NB内，点。为AC

上的动点，点M,N,P分别是AD,DC,8的中点.若G）O的半径为2,则QV+MV

的长度的最大值是（）

A.1+GB.1+26C.2+2x/3D.2+6

【解答】解：连接OC、。4、BD,作O〃_L4C于H.

vZAOC=2ZABC=120°,

\OA=OC>OH±AC,

/.ZCOH=ZAOH=60°,CH=AH,

CH=AH=OC・sin60°=75,

:.AC=2xf3，

•;CN=DN,DM=AM，

；.MN=LAC=6

2

•.CP=PB,AN=DN,

：.PN=-BD,

2

当以）是直径时，PN的值最大，最大值为2,

.•.尸A/+/W7V的最人值7y2+6.

故选：D.

二.解答题（共2小题）

3.（2019•苍南县模拟）如图，在A44C中，C4=CIB,E是边BC上一点,以AE为直径的

0O经过点C,并交48于点。，连结中.

（1）判断迫的形状并证明.

（2）连结CO并延长交朋于点尸，若BE=CE=3,求AT的长.

A

DY//

B”~£----

【解答】（1）证明：MQE是等腰直角三角形.

•.•人£是00的直径

ZACB=ZADE=90°,

：.ZBDE=180°-90°=90c.

•.C4=CB,

N4=45°,

.•.MZ比是等腰直角三角形.aE~C

（2）过点/作尸G_LAC于点G，

则刖尸G是等腰直角三角形，且AG=R7.

\-OA=OC,:.ZEAC=ZFCG.

•;BE=CE=3,

/.AC=BC=2CE=6,

CF1

tanZFCG=tanZEAC=

AC2

：,CG=2FG=2AG.

.♦.召G=AG=2,

AF=2A/2.

4.（2019•南开区一模）已知：如图1,在OO中，直径A8=4,C£>=2,直线4。，8C相

交于点E.

（1）NE的度数为_60°_；

（2）如图2,与CD交于点尸，请补全图形并求N£的度数;

（3）如图3,弦与弦8不相交，求NA£C的度数.

E

DD

C

B

D

(1)(2)(3)

【解答】解：(1)如图1,连结OZ),OC,BD,

(1)

\OD=OC=CD=2

.•・ADOC为等边三角形,

ZZX>C=60°

：.ZDBC=30°

.-.Z£Z?D=30°

•「AB为直径,

/ADB=90°

/.ZE=90°-30°=60°

NE的度数为60。：

(2)①如图2,直线AD,CB交于点E,连结8,OC，AC.

•.OD=OC=CD=2,

.•・ADOC为等边三角形,

ZDOC=60°,

.-.zmc=30%

:.ZEBD=3V,

•「AB为直径，

/.ZACB=90°,

ZE=90°-30°=60°,

「.ADOC为等边三角形，

Z7X>C=60o,

...N6D=30°,

/.ZADB=90°,

.-.ZBED=60°,

.­.ZAEC=60°.

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

1.如图，点A、B、C、D、E在。。上，且标的度数为50。，则NB+ND的度数为

c

【解析】解：连接AB、DE,则NABE=/ADE,

■:AE为50°,:.ZABE=ZADE=25°,

•・•点A、B、C、D在。O上，

・•・四边形ABCD是圆内接四边形，

•••/ABC+NADG180。，

•••ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

:.ZB+ZD=1800-ZABE=180°-25°=I55°

2.如图，已知。0的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若NE+NF=70。,

【解析】解：•・•四边形ABCD为。O的内接四边形,

AZA=ZBCF,

VZEBF=ZA+ZE,

WZEBF=180°-ZBCF-ZF,

:.ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

AZA+ZE=180-ZA-NF,

即2NA=180。-(ZE+ZF)=110°,

:.ZA=55°

3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，ZADC=90°,AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,则阴影部分的面积为cm2.

【答案】31

【解析】解：如图，连接AC.

•JZADC-900,

AAC是直径，

/.ZABC=90°,

ACD1AE,AB1CF,

*/SRJ=SAAEC+SAAFC二上・AE・CD+工・CF・AB,X4X5+LX6X7=31（cnr）

2222

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法：

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

1.（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形A5CD是0。的内接四边形，AD=BC.若

ZBAC=45°,Zfi=105°.则下列等式成立的是（）

D

C.AB=-CDD.AB=—CD

32

AD=BC,

ZACD=ZBDC=ABAC=45°，

.•.NOKC=90。，

vZ/MC=ZDCA,=45°,

/.AB//CD,

ZABC+NBCD=18(F,

Z4BC=105°,

:.ZDCB=75°,ZACB=30°,

•」NC他=90。，

CK=gBK,

•.AKAB=NKDC,ZAKB=ZDKC,

:自KBS/^DKC,

AI3UK

.**----=-----,

CDKC

AB=—AB

3f

故选：B.

2.（2019•岳麓区校级二噗）如图，在圆O的内接四边形448中，A4=3,4）=5,

ZBAD=60°,点C为弧8。的中点，则AC的长是（）

*0

BfD

QoAr468G

AA.4AB・2,3C・-------nD.

33

【解答】解：•.■人、B、C、。四点共圆，Zfi4Z)=60">

ZBCD=180°-60°=120°,

­.•ZEAP=60°,AC平分ZfiAD,

ZCAD=ZCAB=3(r,

如图1，

将AACD绕点C逆时针旋转120°得ACBE,

则NE=NCAD=30。，BE=AD=5,AC=CE,

/.ZABC+AEBC=(180°-CAB+ZACB)+(180°-Z£-/BCE)=180°,

「.A、B、E三点共线，

过C作OW_LA£于M,

\AC=CE,

：.AM=£M=-x(5+3)=4,

3.（2019•碑林区校级三模）如图，四边形AACD内接于圆O,连接OB,OD,若

4OD=/BCD,则44。的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解答】解：设44£>=工，则N4Q£）=2x,

•;NBCD=NBOD=2x,NBAD+NBCD=l800,

/.3x=180°,

.,.x=60°，

：.ZBAD=60o,

故选：C.

4.（2019•德州）如图，点O为线段3C的中点，点A,C,。到点O的距离相等，若NA6C=40。,

A

BUC

则NADC的度数是（）°

A.130°B.140°C.150°D.160°

【解答】解：由题意得到。4=1M=OC=O£>,作出圆O,如图所示，

四边形人4CD为圆O的内接四边形，

・•.ZABC+ZA7X?=180°,

vZABC=40°,

.-.ZADC=140°,

5.（2019•蓝田县一模）如图，点A、8、C、O在G）O上，CB=CD,ZCAD=30°,ZACD=50°,

贝ljNA£>4=()

D

A.30°B,50°C.70°D.80°

【解答】解：•・•C8=C。，NCA£>=30°,

/.ZC4Z)=ZC4B=30o,

/.NDBC=ZDAC=3",

•.•44a>=50°,

/.ZABD=5()°,

ZACB=ZADB=180°-ZCAB-ZABC=180°-50°-30P-300=7/.

故选：c.

6.(2019•江北区一模)如图，点A、B、C:、。在上，Z4OC=120。，点3是弧4c的

鼻中点，则ND的度数是()

A.60°B.35°C.30.5°D.30°

【解答】解：连接OB,

•・•点“是AC的中点，

7AOB=-7AOC=60°,

2

由圆周角定理得，ZD=-CZAO8=30°,

故选：D.

B

D]O

7.（2019•周村区一模）如图，四边形ABC。内接于G）O,AB=9,AD=15,ZBCD=120°,

弦AC平分NE4Z),则AC的长是（)

A.7GC.12D.13

【解答】解:

过C作C£_LA£）于石，C〃_LA4交AB延长线于尸，则N3ACZD£C=9C)°,

•.AC平分NE4D,

/.CF=CE,

由勾股定理得：AF2=AC2-CF2,AE2=AC2-CE2,

.\AF=AE,

•.•A、B、C、。四点共圆,

/.Z/^C=ZD,Z2W)+Z^CD=180°,

•/ZBCD=120°，

440=60。，

•.AC平分44。,

:.ZBAC=ZDAC=3(T,

在AF8C和ADEC中

NFBC=ND

NBFC=NDEC

CF=CE

.△FBC"DEC(AAS),

:.BF=DE,

\-AB=9,AD=15,

/.AF+AE=AB+BF+AD-DE=9+BF+\5-DE=9+\5=24,

.\AF=AE=\2.

vZ^C=30°,ZAFC=90°,

/.AC=2CF,

:.CF2+122=(2CF)2,

解得：CF=4x/3,

/.4C=2CF=8x/3,

故选：B.

8.(2019•行唐县模拟)如图，四边形ABZX：内接力O。，加定=78。36',则/BOC的度

A.157012*B.156°48zC.78。12'D.156。28'

【解答】解：•.•NBDE=78°36,

ZCDB=18(F-ZBDE,

•.•NA+N6B=180。，

.•.NA=78°36',

..ZfiOC=157012\

故选：A.

9.(2019•雁塔区校级三模)如图，四边形A38为G)O的内接四边形，AOLBC,垂足为

点、E,若NAPC=130°,则的度数为()

80°C.75°D.60°

【解答】解：•.•四边形"CO为0O的内接四边形，ZzWC=130%

ZABE=180°-130°=50°,

AOLBC,

NA即=90°,

:.ZBAE=4(r,

­.AOLBC,

:.BC=2BE,

：.ZBDC=2ZBAE=S0°,

故选：B.

综合运用：圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm,求

球的半径。

【解析】解：如图，设EF的中点M,作MN_LAD丁点M,取MN上的球心O,连接OF,

丁四边形ABCD是矩形,

/.ZC=ZD=9()U,

・•・四边形CDMN是矩形，

/.MN=CD=4cm,

设OF=xcm,则ON=OF,

AOM=MN-0N=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，0乂2+乂甲=0产

即：(4-x)2+22=x2

解得：x=2.5cm

答：球的半径为2.