人教版高一数学必修第一册第一章《集合和常用逻辑用语》课教学设计

《集合的概念》教案设计

教材分析

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础.许多重要的数学分支，都是

建立在集合理论的基础上.此外，集合理论的应用也变得更加广泛.

教学目标

【知以与能力目标】

1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属丁关系；

2.知道常用数集及其专用记号；

3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；

4.会用集合语言表示有关数学对象；

5.培养学生抽象概括的能力.

【过程与方法目标】

1.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.

2.让学生归纳整理本节所学知识.

【情感态度价值观目标】

使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

集合的含义与表示方法.

【教学难点】

对待不同问题，表示法的恰当选择.

课前准备

学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学FI标.

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

请分析以下几个实例：

1.正整数1,2,3,……；

2.中国古典四大名著；

3.2018足球世界杯参赛队伍；

4.《水浒》中梁山108好汉;

5.到线段两端距离相等的点.

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的

对象，为此，我们将学习个新的概念一一集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体.

（二）研探新知

1.集合的有关概念

（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（clement）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简

称为集）.

思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？

练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？

①很小的数②不超过3。的非负实数③百角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④兀的近似值

⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数

⑧正三角形全体

（2）关于集合的元素的特征

（。）确定性：设人一个给定的集合，对于一个具体时象小则。或者是集合4的元素，或者不是集

合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（匕）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集

合中不应重复出现同一元素.

（。）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集

合是相等的，跟顺序无关.

（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解

下面的问题.

答案：（。）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合.

（人）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.

（4）元素与集合的关系；

（。）如果〃是集合A的元素，就说〃属卜（氏而吆始）4记作〃£4

（。）如果〃不是集合A的元素，就说。不属于（noibelongio）A,记作。任A

例如：A表示方程1=1的解.22A,1WA

（5）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述

法来表示集合.

（«）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法.

如：{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5_y3-x,x^+y2},...；

思考2,引入描述法

答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个.

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.

（/n描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线,

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2

如：｛x|x-3>2｝,｛（x,y）|尸f+1｝,｛直角三角形｝，…;

思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素

｛（x,y）户f+3x+2｝与佻=』+3什2｝不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略,例如：

｛整数｝,即代表整数集Z.

（6）常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+：

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

辨析：这里的｛｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝.下列写法｛实数集｝,｛R｝也是错误

的.如果写｛实数｝是正确的.

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元

素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.

（7）集合的分类

问题2：我们看这样一个集合：｛x*+x+l=O｝,它有什么特征？

显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作0.

练习：（1）00（填£或《）

（2）｛0｝0（填=或一）

集合的分类：（I）按元素多少分类：有限集、无限集；

（2）按元素种类分类：数集、点集等

（三）例题讲解

例1.用集合表示：

①『一3=0的解集：

②所有大于。小于10的奇数：

③不等式2n一1>3的解.

例2.已知集合S满足：1WS,且当awS时」一wS,若2wS,试判断上是否属于5,说明你

\-a2

的理由.

例3.设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A,由4的整数倍再加3的所有实数构成的集

合为B,若试推断x+y和x-y与集合8的关系.

（四）归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，

然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法.

3

《集合间的基本关系》

教材分析

类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义.

本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学

习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础.因此本节内容起着承上启下

的重要作用.

教学目标

【知识与能力目标】

1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2.理解子集、真子集的概念；

3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

【过程与方法目标】

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.

【情感态度价值观目标】

感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.

教学重难点

【教学重点】

集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.

【教学难点】

属于关系与包含关系的区别.

课前准备

学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系.

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

复习回顾：

1.集合有哪两种表示方法？

2.元素与集合有哪几种关系？

问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？

（二）研探新知

问题1：实数有相等、大小关系，如5=5,5<7,5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合

之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断.而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、

研探.

投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

4

（1）A={1,2,3},B={123,4,5}；

（2）设A为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，4为这个班学生的全体组成的集合；

（3）设。={1|上是两条边相等的三角形},。=口次是等腰三角形};

（4）E={2,4,6},F={6,4,2}.

组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集

合之间的关系：

①一般地，对于两个集合4B,如果集合人中任意一个元素都矩集合B中的元素，我们就说这两

个集合有包含关系，称集合A为8的子集.

记作：AcB（或33A）

读作：A含于8（或8包含A）.

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.

教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强

化学生对符号所表示意义的理解.并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的

内部代表集合，这种图称为Venn图.如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.

投影问题3：与实数中的结论“若。之"且〃2。,则。=〃”相类比，在集合中，你能得出什么结论?

教师引导学生通过类比，思考得出结论：若d且则A=5.

问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn图表示.

学生主动发言，教师给予评价.

（三）学生自主学习，阅读理解

然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：

（1）集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集？

（2）集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？

（3）0,{0}与。三者之间有什么关系？

（4）包含关系{。}口A与属于关系A之间有什么区别?试结合实例作出解释.

（5）空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗？

（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即AqA?

（7）对于集合A,B,C,如果BUC,那么集合A与C有什么关系？

教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.

5

（四）巩固深化，发展思维

1.学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：

例1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格.若用4表示合格产品，B表示

质量合格的产品的集合，。表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立？

A^C,CQA

试用Venn图表示这三个集合的关系.

例2.写出集合｛0,1,2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

2.学生做教材习题，教师及时检查反馈.强调能确定是其子集关系的最好写真子集，而不写子集.

（五）归纳整理，整体认识

1.请学生I可顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法乂那些.

2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出.

1.3集合的基本运算

第1课时并集与交集

学习目标核心素养

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集

1.借助Venn图培养直观想象素养.

和交集.（重点、难点）

2.通过集合并集、交集的运算提升数

2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽

学运算素养.

象概念的作用.（难点）

I.并集

思考：（1）或包含哪几种情况？

（2）集合AU8的元素个数是否等于集合A与集合3的元素个数和？

6

提示：(1)或这一条件包括下列三种情况：工£4,但但K4;x£4,且x£8.

用Venn图表示如图所示.

(2)不等于，AUB的元素个数小于或等于集合4与集合B的元素个数和.

2.交集

3.并集与交集的运算性质

并集的运算性质交集的运算性质

AUB=BUAAn/3=BC\A

AUA=AAC\A=A

AU0=A400=0

1.设集合”={一1,0,1),N=[0」,2),贝ljMUN=,MAN=.

{一1,0,1,2}{0,1}[VM={-1A1}»N={0』,2},・・・MCN={0,l},MUN={—1,0,1,2}.]

2.若集合A={x|-3<x<4},B={4v>2},则AU8=.

{x|.r>—3}[如图：

故AUB={x|x>-3}.]

3.满足{1}UB={1,2}的集合8可能等于.

{2}或{1,2}[V{1}UB={1,2},・・・8可能为{2}或{1,2}.]

并集概念及其应用

7

【例1】(1)设集合MuaM+Zin。，XeR},N={x*-2x=o,x£R},则MUN=()

A.{0}B.{0,2}

C.{-2,0}D.{-2,0,2}

(2)已知集合M="|-3v<5},N={x|xv—5或心>5},则MUN=()

A.{xpiv—5或x>—3}B.{.r|—5<x<5)

C.{A|-3<V<5}D.{小<-3或X>5}

(1)D(2)APW={A|X24-2A=0,XER}={0,一2},2=b此一2r=0,x£R}={0,2},故MUN={—

2,0,2},故选D.

(2)在数轴上表示集合M,N,如图所示，则MUN={x[x<-5或x>—3}.

求集合并集的两种基本方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是先描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.

1.已知集合4={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则AU8=.

{0,123,4,5}[AUB={0,2,4}U{0/,235}={0,12345}.J

交集概念及其应用

【例2】⑴设集合A="|-lWxW2},8={x|0WxW4},则ADB等于()

A.*|0WxW2}B.{RlWxW2}

C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}

⑵已知集合4={小=3〃+2,〃WN},8={6,8,10,12,14},则集合An8中元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

(1)A(2)D[⑴•・•一={*一&W2},C={-0<xW4},如图，

故AC8={M0WxW2}.

(2)78=3X24-2,14=3X4-2,

・・.8£A14£A,

/.AnB=(8,14},故选DJ

ir6SA

i.求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：

（1）定义法，（2）数形结合法.

2.若A,8是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点

的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.

小跟踪训覆

2.（2018•全国卷I）已知集合4={0,2},B={-2,—1,0,1,2},则AG8=（）

A.{0,2}B.{1,2}

C.{0}D.{-2,一l,0』,2}

A［由题意知AC8={0,2}.］

3.设集合A={x|—lWx<2）,3={2行0,若AC8产。，则。的取值范围是（）

A.—1<“W2B.a>2

C.“2—1D.a>~1

D［因为AC8W。，所以集合A,8有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知。>一

集合交、并运算的性质及综合应用

［探究问题］

1.设A,B是两个集合，若AG8=A,AU8=8,则集合A与B具有什么关系？

提示：4n8=4U>AU8=80AC8.

2.若AGB=AU8,则集合A,8间存在怎样的关系？

提示：若AC8=AU8,则集合A=8.

【例3】已知集合A={x|-3vW4},集合3=3A+lWxW2A-l},且AU3=A,试求攵的取值

范围.

等价转化分8=0和

［思路点拨］|AU5=A|--|BUA|——►

求交集

|建立女的不等关系］—“得k的范围

［解］(1)当8=0,即女+1>2及-1时，k<2,满艮AUB=A.

(2)当BW0B寸，要使AUB=A,

9

一34+1,

只需«4224一1,解得2W2W|.

2+1W2I,

综合(1)(2)可知女w|.

1.把本例条件“AU8=A”改为“AH8=A"，试求火的取值范围.

［解］由AC8=A可知AUB.

3—4,

-324+1,

所以所以&£0.

2k~124,

所以2的取值范围为。.

2.把本例条件“AUA=A”改为"AUB={川一3aW5}”，求〉的值.

-3以+1<4,

由题意可知解得k=3.

21=5,

所以上的值为3.

1.对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们

是“相容”的.“x£A,或这一条件，包括下列三种情况：但但KA；且

x£B.因此，AUB是由所有至少属于八，8两者之一的元素组成的集合.

(2)AP3中的元素是“所有”属于集合A且属于集合8的元素，而不是部分.特别地，当集合A和

集合6没有公共元素时，不能说A与4没有交集，而是AA8=。.

2.集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异

性.

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端

点值能否取到.

1.思考辨析

(1)集合AU8中的元素个数就是集合A和集合8中的所有元素的个数和.()

(2)当集合A与集合8没有公共元素时，集合A与集合8就没有交集.()

(3)若AU3=AUC,则3=C.()

(4)4n〃QAU8()

1()

[答案]⑴X(2)x⑶X(4)7

2.已知集合”={一1,0,1},P={0,l,2,3b则图中阴影部分所表示的集合是()

A.{0,1}B.{0}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,123}

D|由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是MUP.因为时={一1。1},P=

{0」23},故MUP={-1,0/23}.故选D.]

3.已知集合人=(1,2,3),8=3(x+l)(x-2)=O,X^Z),贝IJ人ne=()

A.{1}B.{2}

C.{-1,2}D.{1,2,3}

B[VB={.r|U+l)(x-2)=0,x£Z}={-L2},4={L2,3}・*An8={2}.]

4.设人二^斗1+如+时=。1,3="|『+3]+26=0},ACB={2},C={2,一3}.

(1)求处2的值及A,B；

(2)求(AU8)nC.

[解](1)：4G8={2},••・4+2。+12=0,即。=-8,4+6+20=0,即方=一5,

・・・4={正-81+12=0}={2,6},B={x*+3x-10=0}={2,—5}.

(2)TAUB={-5,2,6},C={2,-3},A(AUB)nC={2}.

1.4充分条件与必要条件

1.4.1充分条件与必要条件

1.4.2充要条件

学习目标核心素养

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意

义.（重点、难点）

1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素

养.

2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条

件.（重点）2.借助充耍条件的应用，培养数学运算素

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的养.

证明.（难点）

自主预习。福新加

ZIZHUYUX!TANX1NZHI

匚述f知初探年I

I.充分条件与必要条件

命题真假“若〃，则4”是真命题“若〃，贝1「夕”是假命题

II

推出关系P3IP9

P是q的充分条件〃不是<7的充分条件

条件关系

夕是〃的必要条件夕不是〃的必要条件

思考1:(1)〃是9的充分条件与，/是〃的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p=q；②〃是g的充分条件；③夕的充分条件是〃；④乡是〃的必要条件;

⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

提示：(1)相同，都是〃0q.(2)等价.

2.充要条件

(1)一般地，如果既有〃今夕，又有q=p，就记作〃㈡?此时，我们说，〃是〃的充分必要条件,简称

充要条件.

概括地说，如果〃Oq,那么〃与〃互为充要条件.

(2)若p0q,但q/p，则称〃是9的充分不必要条件.

(3)若但则称〃是夕的必要不充分条件.

(4)若p#q,且q*p,则称〃是q的既不充分也不必要条件.

思考2：(1)若〃是q的充要条件，则命题〃和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是的区别在哪里？

提示：(1)正确.若〃是q的充要条件，则〃Oq,即〃等价于5

(2)①〃是^的充要条件说明〃是条件，夕是结论.

②p的充要条件是q说明9是条件，〃是结论.

r~^初试身至n

1.下列语句是命题的是()

A.梯形是四边形B.作直线A3

C.1是整数D.今天会下雪吗

A[D不是陈述句，B、C不能判断真假.]

2.“同位角相等”是“两直线平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案]C

3.使x>3成立的一个充分条件是()

A.x>4B.,v>0

C.x>2D.x<2

12

A［只有x>4=>x>3,其他选项均不可推出x>3.］

4.设工，>GR,则“后2且代2”是“.F+)?24”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

A［因为彳22且j，22n/-y224,f+y224Ax22且)，>2,如x=—2,y=1,所以'”22且丁22”

是'h2+924”的充分不必要条件.］

合作探究O提素养

・吼UNUnljh.・・・・・・••・••・・■・・・・・・・・•・•

充分条件、必要条件的判断

"型］

［例1］指出下列各题中〃是夕的什么条件.

(l)p：x—3=0,q：(x—2)(x—3)=0.

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等.

(3)p：a>b,q：ac>bc.

［解］(1)A—3=0=>(A—2)(A—3)=0,但。-2)(3一3)=0注氏一3=0,故〃是q的充分不必要条件.

(2)两个三角形相似/两个三角形全等，但两个三角形全等"两个三角形相似，故〃是g的必要不充

分条件.

(3)a>b^ac>bc,且ac>bc》a>b,

故〃是夕的既不充分也不必要条件.

W什----------------------------------

定义法判断充分条件、必要条件

(1)确定谁是条件，谁是结论

(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件

(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.

Q跟踪训练

1.指出下列各组命题中，户是g的什么条件.

(Dp：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.

(2)p：(x—1)2+(y—2)2=0,q：(x-l)(y—2)=0.

［解］(I)因为四边形的对角线,相等A四边形是平行四边形，四边形是平行四边形/四边杉的对角线

相等，

所以p是q的既不充分也不必要条件.

(2)因为(x—1)2+(y-2)2=0今/=1且y=2=>(x—1)(y—2)=(),而(x—1)(v—2)=0A(.r—l)2+(v—2)2

13

=0,所以〃是9的充分不必要条件.

充分条件、必要条件、充要条件的应用

、大型2

［探究问题］

1.记集合A={x|p(x)},8={x|q(x)}，若〃是g的充分不必要条件，则集合A,B的关系是什么？若

〃是q的必要不充分条件呢？

提示：若〃是q的充分不必要条件，则若〃是q的必要不充分条件，则4品4.

2.记集合M={x|p(x)},N={x|式x)},若MEN,则〃是q的什么条件？若NCM,M=N呢？

提示：若则〃是9的充分条件，若NGM,则〃是q的必要条件，若M=N,则〃是9的充

要条件.

【例2】已知p：—2WxW10,4：1—〃忘xWl+/〃Q〃〉0),若〃是q的充分不必要条件，则实数

m的取值范围为.

〃是4的充分〃代表的集合是g代列不等式

［思路点拨］不必要条件一表的集合的真子集一组求解

{〃力〃?29}［因为〃是令的充分不必要条件，所以〃且qAp.

心0，1-〃W—2,

即{x一2WxW10}是Un-mWxWl+m,e>0}的真子集,所以7—6<一2,或，心0,解

.1+/〃210.1+心10,

得"129.

所以实数机的取值范围为{创勿29}.］

［母题探究］

1.本例中“〃是夕的充分不必要条件”改为“〃是夕的必要不充分条件”，其他条件不变，试求〃?

的取值范围.

［解］因为〃是q的必要不充分条件，所以夕=>〃，且pAq.

则{x|l—〃忘xW1+〃?，加>0忤{月-2WxW10},

〃?>0，

所以“I一〃?2—2,解得0<〃W3.

I+〃忘10,

即m的取值范围是{/〃|0V“忘3}.

2.若本例题改为：已知尸={咏/-44va+4},e={All<v<3},“x£P”是“xw。”的必要条件，

求实数。的取值范围.

［解］因为'"£尸”是“x£Q”6勺必要条件，所以Q1P.

。一4W1,

所以,、解得一1W〃W5,

。+423,

14

即a的取值范围是{a|—IW“W5}.

限什方送

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

(1)化简〃，q两命题;

(2)根据〃与g的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；

(3)利用集合间的关系建立不等式；

(4)求解参数范围.

充要条件的探求与证明

建型3

【例3】试证：一元二次方程aF+bx+c=O有一正根和一负根的充要条件是ac〈O.

［思路点拨］从“充分性”而“必要性”两个方面来证明.

［证明］①必要性：因为力栏ajr-kbx-t-c=O有一正根和一负才艮，所以J=Z?2—4«c>0,xiA2=^<O(X!,

X2为方程的两根)，所以"V0.

②充分性：由acVO可推得/=/一4«>0及内％2=；<0(小，也为方程的两根).所以方程〃小+法

+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程aF+队+。=0有一正根和一负根.综上所述，一元二次

方程ax2+bx-^-c=O有一正根和一负根的充要条件是acVO.

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件〃是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题

“若P，则为真且“若q,则〃”为真.

(2)在证明的过程中也可以拿化为集合的思想来证明，证明〃与q的解集是相同的，证明前必须分清

楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.

Q跟踪训练

2.求证：关于x的方程ad+A+c=O有一个根是1的充要条件是〃+/>+c=O.

［证明I假设〃：方程加+江+c=0有一个根是1,

q:。+力+。=0.

①证明“ng,即证明必要性.

Vx=1是方程ar+Z?.v+c=O的根，

+c=0,

即〃+/?+c=0.

15

②证明g=p,即证明充分性.

由a+Z?+c=O,得c=­a-b.

•.,加+力大+<?=0,

ax2-hbx-a~b=(),

即-1)+伏x-l)=O.

故(x-l)(ar+t/+/?)=O.

.\A=1是方程的一个根.

故方程GF+/?X+C=O有一个根是1的充要条件是a+Z?+c=O.

U课堂小结」

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断.

(2)等价法："p0/表示〃等价于，/,等价命题可以进行转换，当我们要证明〃成立时，就可以去

证明“成立.

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件〃和结论^相应的集合分别为4和B,那么若4GB,

虹〃是夕的充分条件；若AnB,则a是q的必要条件；若A=8,则〃是q的充分必要条件.

当堂达标。固双星

1.思考辨析

(1)夕是〃的必要条件时，〃是夕的充分条件.()

(2均不是〃的必耍条件时，“〃刀夕”成立.()

(3)若q是〃的必要条件，则q成立，〃也成立.()

［答案］(1)V(2)V(3)X

2.“x>0”是“xWO”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

A［由“X>0"=>“x#0”,反之不一定成立.因此“第>0"是'"KO”的充分不必要条件.］

3.函数儿0=/+〃a+1的图象关于直线x=l对称的充要条件是.

〃?=—2［函数+I的图象关于直线X=1对稔，则一々=1,即"7=—2；反之，若〃?=

-2,则/(x)=£—2x+l的图象关于直线x=l对称.］

4.已知p：实数x满足34<5〈小其中a〈O；q：实数x满足一2<xW3.若〃是夕的充分条件，求实数

。的取值范围.

16

［解］由p：3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a).

q:一2WxW3,即集合8={M-2WxW3}.

因为〃04,所以4GB,

3。？一2,

2

所以即一

«<0,

2,

所以。的取值范围是'a—gW4Vo.

1.5全称量词与存在■词

1.5.1全称■词与存在■词

1.5.2全称■词命题和存在量词命题的否定

学习m标核心素养

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的

意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑

推理素养.

2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定.(重点、难

点)2.借助全称量词命题和存在量词命题的

应用，提升数学运算素养.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)

自主预习。描新知

--------------------------------------------------------------------------------------arjliAy■fKiiXz■-------------------------------------------------------

—新知物探n

1.全称量词与全称量词命题

⑴短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“卫”表示.

(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题,通常将含有变量工的语句用p(x),q(x),儿r),…表示，

变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立"可用符号简记为Vx£M,

p(x).

2.存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做在在量翅，并用符号“旦”表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x,使〃力成立“，

可用符号简记为"mxWM,。己)”.

17

思考：“一元二次方程aF+2x+l=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相

应命题的形式.

提示：是存在量词命题，可改写为“存在x£R,使加+〃+1=0”.

3.含有一个量词的命题的否定」

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题p：p（x）,它的否定一Y?：「〃（工）;

存在量词命题〃：〃（x）,它的否定一V）：\/x£A/,—

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

f~^初试

I.下列命题中全称量词命题的个数是（）

①任意一个自然数都是正整数；

②有的菱形是正方形；

③三角形的内角和是180。.

A.0B.1C.2D.3

［答案］C

2.下列全称量词命题为真命题的是（）

A.所有的质数是奇数

B.Vx€R,『+121

C.对每一个无理数x,x2也是无理数

D.所有的能被5整除的整数,其末位数字都是5

［答案］B

3.下列命题中的假命题是（)

A.Vx£R,R20B.VxeN\(x-l)2>0

C.3XER,X+2019<1D.3xGR,2v>2

B［当x=l时，（%—1尸=0，>以B项为假命题.]

4.已知命题〃：VA-ER,sin1,则其否定是（）

A.-'p：R>sin21

B.「p：sinGl

C.-sinx>1

D.~VxER,sinx>1

［答案］C

18

合作探究。提素养

HEZUOTANJIUT

全称量词命题和存在量词命题的判断

"型］

【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.

(l)VxeN,2r+l是奇数：

(2)存在一个x£R,使占•=();

(3)对任意实数a,|a|>0；

(4)有一个角a,使sina=^.

［解］(1)是全称量词命题.因为Vx£N,2r+l都是奇数，所以该命题是真命题.

(2)是存在量词命题.因为不存在x£R,使±=0成立，所以该命题是假命题.

(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以同〉0不都成立，因此，该命题是假命题.

(4)是存在量词命题.因为当。=30。时，sina=T，所以该命题是真命题.

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明〃(工)成立；但要判定

全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出

一个反例”).

(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，

这个存在量词命题就是假命题.

Q跟踪训练

1.判断下列命题的真假.

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)3x,y为正实数，使f+尸=0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对)，)都对应一点P；

(4)Wx£N,*>0.

［解］(1)因为面积相等的三角形不一定相似.故它是假命邈.

(2)因为当$+)2=0时，x=y=0,

所以不存在加)，为正实数，使/+/=(),故它是假命题.

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(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.

(4)因为0£N,02=0,所以命题“Vx£N,r>0”是假命题.

含有一个量词的命题的否定

、大型2

【例2】(1)设命题p：序>2"，则命题〃的否定为()

A.V〃£N,iv>TB.n2^2n

C,V/?eN,/W2"D.3HGN,W2=2M

(2)命题“Tx£R,使得〃的否定形式是()

A.VxER,3«GN%使得〃

B.VxeR,使得

C.使得，Yx2

D.BAGR,V/?eN\使得〃〈广

(1)C(2)D[⑴因为'GxEM,〃(»'的否定是“Vx£M,「p(x)”，所以命题'T〃£N,/>2〃”

的否定是“V/iEN,"W2""，故选C.

(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以

"VA-ER,m〃WN”,使得〃的否定形式为“mx£R,V«eN\使得“V.v2”.]

ir6SA

含有一个最词的命题的否定的方法

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要