三角形的中位线课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.3三角形的中位线学习目标0102理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.重点难点复习引入导入新课问题

平行四边形的性质和判定有哪些？边：角：对角线：BODAC

AB∥CD,AD∥BC

AB=CD,AD=BC

AB∥CD,AB=CD∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCAO=CO,DO=BO判定性质我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.思考如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？探索新知如图，在△ABC

中，D，E

分别是边AB，AC

的中点，连接DE.ABCDE像DE

这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.∵D，E

分别是边AB，AC

的中点∴DE

为△ABC

的中位线∵DE

为△ABC

的中位线∴D，E

分别是边AB，AC

的中点ABCDEF一个三角形有三条中位线.思考：1.一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．分别是DE、DF、EF2.三角形的中位线和中线一样吗？ABCDEFABC不一样.三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.DE∵△ABC中,若D、E分别是边AB、AC的中点.∴DE∥BC,DE=0.5BC．三角形中位线定理：符号语言：F重要发现：①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形,它们是四边形ADFE和BDEF,四边形BFED和CFDE,四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形,我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.【例1-1】如图,在△ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,求AC的长.解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123中位线倍长构造全等三角形平行四边形作等长延长线得线段相等、角相等得线段相等、平行F如图，D，E

分别是△ABC

的边AB，AC

的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.【思路分析】

ABCDE方法一证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.

在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF，AD=CF.

∴CF∥AB.∵BD=AD，∴CF=BD.

∴四边形DBCF是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC（平行四边形的定义），

DF=BC（平行四边形的对边相等）.

∴DE∥BC，DE=BC.FABCDE4.在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？解：3个.平行四边形DFCE,平行四边形DFEB,平行四边形DEFA.ADCBFE5.已知：如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的中点，点F是BC的中点，连接DE，AF.求证：线段DE、AF互相平分．证明：连接DF、EF，∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴DF∥AE，EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DE、AF互相平分．【例2-1】如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,EF=0.5AC.HG∥AC,HG=0.5AC.∴四边形EFGH是平行四边形.【归纳】顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.1.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．

求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点.∴EH是△ABD的中位线,FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH=0.5BD,FG∥BD且FG=0.5BD，∴EH∥FG且EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形.例6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是边AB，BC，CD，DA

的中点.求证：四边形EFGH

是平行四边形.ABCDEFGH分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.ABCDEFGH证明：连接AC.∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，且HG=AC.

同理EF∥AC，且EF=AC.

∴四边形EFGH

是平行四边形.∴

HGEF.练习1.如图，在△ABC中，D，E，F

分别是AB，BC，CA

的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？

为什么它们是平行四边形？解：如图，连接DE，EF，FD.能在图中画出3个平行四边形，分别是▱BEFD，▱DECF，▱DEFA.理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【选自教材第65页练习第1题】2.如图，△ABC

的中线BD，CE

相交于点O，且F，G

分别是

OB，OC

的中点.求证：四边形DEFG

是平行四边形.证明：∵BD，CE

是△ABC

的中线，∴D，E

分别是AC，AB

的中点，∴DE

是△ABC

的中位线.∴DE∥BC，且DE=BC.

∵F，G

分别是OB，OC

的中点，∴FG

是△OBC

的中位线，∴FG∥BC，且FG=BC.∴DE

FG.

∴四边形DEFG

是平行四边形.【选自教材第65页练习第2题】思维拓展如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC.∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．思维拓展如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．G解：取BC边的中点G，连接EG，FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.∴∴EG∥AC,FG∥BD,CCABDCO平行四边形中与周长有关的结论：（1）C△AOB

=C△DOC=(AC+BD)

+AB(或CD)；

（2）C△AOD

=C△BOC=(AC+BD)

+AD(或BC)；

（3）C△AOB

－

C△BOC=AB

－

BC；（4）C△ABC

－

C△ABD=AC

－

BD.4.在▱ABCD

中，∠A=45°，