仁化学校六年级奥数思维导引下

◊第10Wo

数论,■〜…综/合（I）”¥

【内容概述】

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.

【典型问题】

1.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？

【分析与解】我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5.

:当n为4时，如果其内含有5的倍数（个位数字为。或5）,显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个

位数字为0；

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9；它们的积的个位

数字都是4；

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.

：当n为3时，有1X2X3的个位数字为6,2X3X4的个位数字为4,3X4X5的个位数字为0,……,

不满足.

：当n为2时，有1X2,2X3,3X4,4X5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足.

至于n取1显然不满足了.

所以满足条件的n是4.

侬级数：***

1998年全国小学数学奥林匹克•强赛B卷第5题

।期年全国小学数学奥林匹克•强赛A卷第5题

2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么,

(Da+b的最小可能值是多少？

(2)a+b的最大可能值是多少？

【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,

67,71,73,79,83,89,97.

可得出，最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.

圻以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.

赖卷级贩**

1羽4年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第9题

3.如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数；

③这个数除以9所得的余数是5.

那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.

【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除

以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14.

所以两位幸运数只有14.

北京市第九届迎春杯数学竞赛■•决赛第二题第2题

4.在555555的约数中，最大的三位数是多少？

【分析与解】555555=5X111X1001

=3X5X7X11X13X37

显然其最大的三位数约数为777.

颈弱级数：***

5.从一张长2002亳米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分

不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最

后剪得正方形的边长是多少亳米？

【分析与解】从长2002亳米、宽847亳米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这

样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：20024-

847=2……308,8474-308=2……231,3084-231=1……77.2314-77=3.

不难得知，最后剪去的正方形边长为77亳米.

镌)励级数：***

第三届全国小学数学奥林匹克•“从小爱数学”夏令营第5题

6.已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答

案.

【分析与解】设这三个数为a、b、c,且aVbVc,因为两两不互质，所以它们均是合数.

小于20的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1种因数的合

数不满足，所以只剩下6,10,12,14,15,18这6个数，但是14=2X7,其中质因数7只有14含有，无

法找到两个不与14互质的数.

所以只剩下6,10,12,15,18这5个数存在可能的排列.

.4的可能取值61012

△的可能取值101215121515

。的对应情况15不存在不存在1518不存在

所以，所有可能的答案为(6,10,15)；(10,12,15)；(10,15,18).

瓢®级数：***。"

1992年全国小学数学奥林匹克•决赛第6题

7.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若十组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1.那

:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a*b）72+l=73；

:当a=36时，b必须取8或24,a+b的值为44或60,均不同第一种情况中的值；

：当a=24时，b必须取9或18,a+b的值为33或42,均不同第一、二种情况中的值；

当a=18时，b必须取8,a+b=26,不同于第一、二、三种情况的值；

：当a=12时，b无解；

:当a=9时，b必须取8,a+b=17,不同于第一、二、三、四情况中的值.

总之，a+b可以有11+2+2+1+1=17种不同的值.

（2）60=2X2X3X5,有12个约数:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.a、b为60的约数,

不妨设a>b.

：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可■取11个值，于是a—b可取11种不同的值：59,58,

57,56,55,54,50,48,45,40,30；

.当a=30时，b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10；

:当a=20时，b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5；

当a=15时，b可取4,12,所以a-b可取11,3；

:当a=12时，b可取5,10,所以a-b可取7,2.

总之，a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值.

的麴级数/L

1991年全国小学数学奥林匹克•决赛第4题

10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次.

比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

【分析与解】由于+=，・二.

所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱.

又由于它们都是•秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因

此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.

距离为9X=40.5（米）.

福僦级数：***

11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）

【分析与解】我们知道18,33的最小公倍数为「18,331=198,所以每198个数一次.

1~198之间只有1,2,3,…，17,198（余0）这18个数除以18及33所得的余数相同，而9994-

198=5……9,所以共有5X18*9=99个这样的数.

卷励级数：***

।空年全国小学数学奥林匹克•决赛A卷第9题

12.甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A

除乙数所得余数是A除闪数所得余数的2倍.求A等「多少？

【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数.

BP6034-A=a...k；(2X939)：A=b....k；(4X393)+A=c……k.

于是有(1878—603)+A=b—a；(1878-1572)4-A=b-c；(1572-603)4-A=c-a.

所以A为1275,306,969的约数，(1275,306,969)=17X3=51.

于是，A可能是51,17(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍).

当A为51时,有603子51=11...42；9394-51=18……21；393+51=7....36.小满足；

当A为17时,有603+17=35...8；9394-17=55....4；3934-17=23....2；满足.

所以，除数4为17.

te级数：****1

13.证明：形如ii,in,mi,mu,…的数中没有完全平方数.

【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以

4余1,偶数的完全平方数能被4整除.

现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.

评注：设奇数为2n+l,则它的平方为+4n+l,显然除以4余1.

赖侬)级数：****

第四届“华罗庚金杯”少年数学遨请赛•决赛口试第］0题

14.有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒，其余各盒

被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问：甲取走的一盒中有多少块

奶糖？

【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.

八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.

从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6.

观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31.

因此甲取走的一盒中有31块奶糖.

励嫡级数：***

第三届‘烧芟庚金杯”少年数学遨请赛•决赛第5题

15.在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份；笫二种将木棍分成】2等份;

第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？

【分析与解】10,12,15的最小公倍数［10,12,15］=60,把这根木棍的作为一个长度单位，这样，木

棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位.

不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9,11,14(相应于10,12,15等份)，共计34个.

由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1.

又由于4,5的最小公倍数为2(),所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再

减去2.

同样，6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重，必须再

减去4.

由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点.沿这

些刻度点把木棍锯成28段.

◊第11讲。

立体图形

［内容概述］

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体枳的计算问题，解题时考虑沿某个方向的

投影常能发挥明显的作用.较为乂杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

［典型问题】

•魅）级数：**

第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12题（略有改动）

1.用棱长是1厘米的立方块拼成如图11T所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

图11一1

【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3X3=9个小正方形的面积,

朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等

于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于（9+7+7）X2=46个小正方形的面积，而每个小正方形

面积为1平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米.

颜例缎数:*鲜薪二

1993年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第10题

2.如图11-2,有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体，那

么它的表面积减少了百分之几？

图11-2

【分析与解】原来正方体的表面积为5X5X6=150.

现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为（3X2）X2=12,124-

150=0.08=8%.

即表面积减少了百分之八.

的嫡级数：***

3.如图11-3,一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每

条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么,这60块长方体表面积的和是多少平方米？

7Z

【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了（3-1）+（47）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积IX1=1（平方米），所以表面积

增加了9X2X918（平方米）.

原来正方体的表面积为6X1=6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）.

北手击多二届“迎春杯”数学竞赛•决赛第二题第1题

4.图11-4中是一个边长为4厘米的止方体，分别在前后、左右、上下各血的中心位置挖去一个边长1厘

米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方屈米？

图11-4

【分析与解】原正方体的表面积是4X4X6=96（平方厘米）.

每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积

的组成部分.总的来看，每一个面都增加了4个边长是I厘米的正方形.

从而，它的表面积是96+4X6=120平方厘米.

皴励级数：**

1989年全国小学数学奥林匹克•初赛第克题

5.图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体

小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长

为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方屈米？

图11-5

【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面.

所以，最后得到的立体图形的表面积是：

2X2X6+1X1X4+XXX4+XX4=29.25（平方厘米）.

籍）四级数：*

6.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在中、小

水池的水里，两个水池的水血分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水

池的水面升高了多少厘米・

【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3X3X0.06:0.54立方米；

放在小水池里的碎石的体积为2X2X0.04=0.16立方米；

则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6X6=36平方米的大水池中，则使

大水池的水面升高0.7+36=米=厘米=厘米

@@级数：*

第三届“华罗庚金杯”少年数学遨请赛•复赛第6题

7.如图11-6,从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿

虚浅折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

【分析与解】容器的底面积是（13-4）X（9-4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器得体积为：

图11-6

45X2=90（立方厘米）.

级数：***

北京市第八届“迎春杯”少年数学邀请赛•决赛第二题第6题

8.今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下

一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的

切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米？

【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21:15:12=7:5:4,为了叙述方

便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切

下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.

于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长

为12厘米、9厘米、6厘米.

所以剩下的体积应为：

21X15X12-()=1107(立方厘米).

级数：*

第e届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•初赛第3题

9.如图11-7,有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.那么，圆锥体

积与圆柱体积的比是多少？

【分析与解】圆锥的体积是，圆柱的体积是

所以，圆锥体积与圆柱体积的比是.

嫄簸）级数：**

第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛口试第23题

10.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年改用长3米宽2米

的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤.问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？

【分析与解】底面周长是3,半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2.

同理，去年粮囤底面积是，高是1.

3222

（—x2）+（——xl）=4.5.

444万

因比，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍.

跳）励级数：***

11.一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底曲半径为

2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中.求这时容器的水深是多少厘米？

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水

中体积之和，因而水深为：

52X^-X15+22X^X18…RC

---------；------------=17.72（厘米）：

它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中.此时容器与铁圆柱组成一个类似于卜.图的

立体图形.

底面积为，水的体积保持不变为.

所以有水深为（厘米），小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出

于是厘米即为所求的水深.

的四级数：**'

第三届“华罗庚金杯”少年数学遨请赛•初赛第5题

12.如图11-8,用高都是1米，底面半径分别为L5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问

这人物体的表面积是多少平方米？(a3.14)

【分析与解】物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即

2

2x^-xl.5+2x^-xl.5xl4-2x^-xlxl4-2x.zrx0.5xl

=4.5期+3乃+2乃+乃

=10.5万

h32.97(平方米)

即这个物体的表面积是32.97平方米.

醺噬级数：***

/届“华罗庚金杯”少年邀请赛•决赛口试第8题

蟀市第二十二届《中小学数学教学》“数学解题能力展示”读者评选活动小学高

年级组•初赛第9题(略有改动)

13.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图119所示在三个方向上加

固.所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米.若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘

米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？

【分析与解】长方体中，高十宽-十(365-5)-180,..........................................①

高+长二(405-5)=200,..........................................................................................................②

长+宽二(485-5)=240,..........................................................................................................③

②-①得长一宽=20,..............................................................................................................④

④+③得长=130,则宽=110,代入①得高=70,所以长方体得体积为：

70X110X30=1001000（立方厘米）=1.001（立方米）.

北京市第十一届“迎春杯''数学竞赛•决赛第二题第5题

14.有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的校长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的

.如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种

木块一共多少块？

【分析与解】设甲的梭长为1,则乙的棱长为2,闪的棱长为3.显然，A正方体校长不可能是4,否则无

法放下乙和丙各一个.

于是，大正方体的棱长至少是5.事实.匕用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，

其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少);甲种木块需用:5X5X5-1X3X

3X3-7X2X2X2=420^).

因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块).

曲侬)级数：****

第四届“华罗庚金杯”少年数学邀蜜赛•决赛二试第4题

15,有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长

方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方

体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把

所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体.分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个?

【分析与解】一面染红的长方体，显然应将4X5的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体,

个数最多.

二面染红的长方体，显然应将两个4X5的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个

数最多.

三面染红的长方体，显然应将4X5,4X5,4X3的面染红，于是产生4X(5+5+3-4)=36个一面染成

红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个.

四面染红的长方体，显然应将4X5,4X5,4X3,4X3的面染红，产生4X(5+5+3+3-2X4)=32个一

面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个.

五面染红的长方体，应只留一个3X5的面不染，这时就产生(3-2)X(5-2)+(4-l)X(5+5+3+3-2X

4)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27.

六面染红的长方体,产生2X[(3-2)X(5-2)+(5-2)X(4-2)+(4-2)X(3-2)]=22个一面染成红色的小

正方体.

于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体.

◊第12讲。

几何综合（I）

【内容概述】

几何图形的设计与构造.涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称件解的较为复

杂的直线形和圆的周长与面积计算问题.

供型问题】

醺）励级数：****.

北京市第四届“迎春杯”数学竞赛•决赛第5题

L今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花.请你给出一

种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.

【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法.

的励级数：****

南京市第二届“兴趣杯”数学竞赛,决赛B卷第3题

2.已知如图12T,一个六边形的6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1.9、9、5厘米.求这

个六边形的周长.

图12-1

【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，

因为NBAF=120°,而么NIAF=18O°-NBAF=60°.

又/EFA=120°,而NIFA=1800-ZEFA:60°,则

△IAF为等边三角形.

同理aBCG、AEHD.AIGH均为等边三角形.

在AIAF中，有IA=IF=AF=9］厘米），

在aBGC中，有BG=GC=BC=1［厘米），

有IA+AB+BG=IG=9+9+l=19,即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19（厘米）.

则EH=JH-IF-FE=19-9-5=5（厘米），在△EDH中，DH=EH=5（厘米），所以

CD=GH-GC-DH=19-1-5=13（厘米）.

于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42（厘米）.

跳蛾级数：****

3.图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的.为了计算出这个图形的周长，最少要

量出多少条线段的长度？

图12-9

【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往

左的路程，往上的路程等于往下的路程,于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2

即为所求的周长.所以，最少的量出下列6段即可.

小玄市1988年小学数学奥林匹克邀请赛•复赛第7题

4.将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4,其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为

2：3.已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少？

【分析与解】设重叠部分的面积为x,则原三角形面积为l+2x,粗实线的面棚为1+x.因此

(l+2x)：(l+x)=3：2,解得x=l,即重叠部分面积为1.

贫麴级数：***

第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•总决赛口试第20题

5.如图12-5,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方座米.问：大正六角星形的面积是多少平方厘

米？

【分析与解】如下图所示，在正六边形ABCDEF中，与面积相等，12个组成小正六角星形，那么

由6个及12个组成的正六边形的面积为16・12X(12+6)=24(平方厘米).

而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角

的面积相等，所以大正六角星形的

积为24+6X12=48（平方厘米）.

励四级数：***

1996年全国小学数学奥林匹克•“我爱数学”夏令营第5题

6.如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD,DE=EA.若三角形ABC的面积是1.则阴影部分的面积

是多少？

【分析与解】△ABC.Z\ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有

而E为AD中点，所以

连接FD,ADFE.ZXFAE面积相等，设贝ij.的面积也为x,

13

=

SABDF=~SMEA~S对比~7~2%，而S△尸0c=Sg/%.+S4收.=+~•

4o

,解得.

所以，阴影部分面积为

皴函级数:****,…

理年第2届美国数学邀请赛试题1986年第4届美国数学竞赛试题

1991年上海市数学竞赛试题（略有改动）

7.如图12-7,P是三角形ABC内一点，DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD的面积

是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20.那么三角形ABC的面枳是多少？

D

G

p

BEH

图12-7

【分析与解】有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比，即为12:15=4:5.

同理有FP:PG=20:15=4:3,DP:同=12:20=3:5.

国l2-7(a)

如羽12-7(a),连接PC.IID,有△PHC的面积为ADPH与△PHC同底PH,同高，所以面积相等，即，而

△DPH与aEPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以

如第12-7(b)所示,连接FH、BP,

如图12-7(c)所示,连接FD、AP,

图12-7(6)图12-7(c)

925

+

有Sgsc=S。AIPD+SQBEPF+S0cGPH+^SDGP+^SEHP=12+20+15+8+—+—=72.

嫄励级数：***

1992年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第5题

8.如图12-8,长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形

的边长是长方形长的，②号正方形的边长是长方形宽的.那么，图中阴影部分的面积是多少?

图12-8

【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的.

而②号正方形的边长为席的,所以未标号的正方形的边长为长方形宓的.

所以在长方形中有：长二宽，则长：宽:12:8,不妨设长的为12k,宽为8k,则①号正方形的边

长为5k,又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96，不大于100.所以k只能为1,即长方形的

长为12,宽为8.

于是，图中①号正方形的边长为5,②号正方形的边长为1,则未标号的正方形的边长为7,所以剩余的

阴影部分的面积为：

12X8-52-12-72=21.

级数;率惇**

1华6年全国小学数学奥林匹克•决赛A卷第11题

9.如图12-9,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C,I),E

是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A:B:C:D:E=l:2:3:4:5.那么这个长方形

的长与宽之比是多少。

【分析与解】以下用表示E部分横向的长度，竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似.

有：=5:4,:=1:2.

而+=+,所以有：：：=5:4:1:2.

而++=+对应为5+1=6,那么对应为3.

而A面积：B面积：C面积=1:2:3,所以==.

有+竖对应为6,所以=对应为3.

那么长方形的竖边为6+对应为9,长方形横边为

+6+对应为5+6+4=15.

所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3.

皴您级数：****

1995年全国小学数学奥林匹克•“我爱数学”夏令营第9题

10.如图12-10.红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相密合.已

知露在外面的部分中，红色的面枳是20,黄色的面积是

14,绿色的面积是10.那么，正方形盒子的底面积是多少？

【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减

少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变.

并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边

长乘以大正方形盒子边长的积.

所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是.黄色露出面积=绿色露出

血枳，而它们的和为14+10=24,即黄色露出面积=绿色露出面枳=12.

有黄：空白;红：绿，12：空白=20：12,解得空白=7.2,所以整个正方形纸盒的底面积为

12+7.2+20+12=51.2.

融）四级数：****

1989年全国小学数学奥林匹克・决赛第13题

11.如图1271,在长26。厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A,B,C,D,E:F,其中

AB=EF=130厘米.现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍

沿45°方向弹出，如此继续下去.假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个

袋中？

B

K

国45・

、C45・

D

图12-11

【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD

的距离，于是A的位置为(0,150),球经过的路线为：

(0,150)-(150,0)-(260,110)-(220,150)-(70,0)-(0,70)-(80,150)-(230,0)-(260,

30)一(140,150)-(0,10)-(10,0)-(160,150)-(260,50)-(210,0)-(60,150)-(0,90)

-*(90,0)一(240,150)-*(260,130)-*(130,0).

为此，该球最后落入E袋.

檀媛）级数：*****

第五愚“华罗庚金杯”少年邀请赛・决赛一试第55

12.长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞.弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并

一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止.如图12T2.当AB=4,AD=3时，弹子最后落入B洞.问：若

AB=1995,AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次？

图12-12

【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2.

因为第一次撞击BC边的点距C点1,第一次撞击AB边的点距A点为2,1994+2=997.

听以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次.

畿知级数：**

13.10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状.过图中所示两个圆心

图12-13

A,B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少？

【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成

一个完整的圆，即共有4个完整的圆.

那么直线AB的左下方有107=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和

与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3.

曲税级数:***「

1994年全国小学数学奥林匹克•初赛民族卷第11题

14.在图12-14中，一个圆的圆心是0,半径r=9厘米，N1=N2=15°.那么阴影部分的面积是多少平

方厘米？（取3.14）

【分析与解】有AO=OB,所以aAOB为等腰三角形，AO=OC,所以AAOC为等腰三角形.

ZABO=Z1=15°,ZAOB=180°-/1-NABO=150°.

ZAC0=Z2=15°,ZA0C=180e-Z2-ZAC0=150°.

所以ZB0C=360°-ZA0B-ZA0C=60o,所以扇形BOC的面积为（平方厘米）.

跳励级数：***

1994年全国小学数学奥林匹克•初赛民族卷第11题

15.图12-15是由正方形和半圆形组成的图形.其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点.

已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少？（取3.14)

―・10―一D

Ay级

。二夕

BQ

图12-15

【分析与解】过P做AD平行线，交AB于。点，P为半圆周的中点,所以0为AB中点.

BOC

2

有S\RCD=l°x10=100,Sw=（—）x^-x-l=12.5万.

AI5CM千网IDU22

+55x50

SAAOP=5x（10+2”2=37.5,S梯形=[11（）+2^^2=-

阴影部分面积为SABCD+S半WIDPCSAAOP-S梯形OPQB=100+12.54-37.5-50==12.5+12.5万3.75.

第14讲数字谜综合

内容概述

各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.

典型问题

1.ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字.已

知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCDXEFG的最大值与最小值相差多少？

【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小.

A显然只能为1,则BCD+EFG=993,

当ABCD与EFG的积最大时，ABCD.EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234,对

应EFG为759,所以有1234X759是满足条件的最大乘积；

当ABCD与