甘肃省陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当第一中学2026届高三下学期三诊摸底考试数学试卷（含解析）(有解析)

甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026学年高三三诊摸底考试数学试卷一、单选题1．已知，q：直线与直线平行，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（

）A． B． C． D．3．已知实数满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．4．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（

）A．10 B．20 C． D．5．已知，，则（

）A．3 B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．7．已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．8．已知，，若，恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）：销量频数10411842店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（

）A．可以估计约为B．日销售量在范围内的天数约为20天C．若日销售量超过的概率为p，则D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布10．正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（

）A．平面 B．C．三棱锥的体积为 D．平面平面11．如图，在中，，的内切圆与相切于点，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．B．为定值2C．D．记的内心为，则三、填空题12．，则用和表示的结果为_____13．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______．14．已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____．四、解答题15．在锐角中，内角的对边分别为，已知．(1)求A；(2)若．（ⅰ）求；（ⅱ）求的面积．16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点．(1)求证：平面平面；(2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围．17．已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．18．已知抛物线的焦点为点，点在抛物线上，，且的最小值为．(1)求抛物线的方程；(2)设点P不在坐标轴上，过P可作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，①证明：；②若直线，，直线AB与x轴相交于点H，求的最大值．19．近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）．(1)求前3局中，不“调试”的概率；(2)求；(3)若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望．题号12345678910答案AACBABABABCABD题号11答案ACD1．A根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得或.当时，，满足平行条件.当时，，满足平行条件.所以，两直线平行时或.因此是的充分不必要条件.2．A先将化简后，再求出其共轭复数即可.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：A.3．C【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误；对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误；对于选项C，因为，所以，可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到，所以，选项C正确；对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；4．B由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.【详解】因为为的中点，则，所以．如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心，所以，，则，，因此．5．A由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可．【详解】由题设有，即，解得或，因为，所以，则，则，故选：A．6．B首先根据已知条件求出与以及的值，进而确定的解析式，再结合三角函数的平移规律进行解答即可.【详解】根据题中图象可知，函数的最小正周期，，，，又，所以，所以，所以.故选：B7．A首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果.【详解】将代入得，即，解得，当时，将代入得，去分母得，所以，所以，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所以，所以.8．B根据以及的符号变化将的范围分成三类，，，分类讨论中的取值范围，从而确定的最小值.【详解】由题意可知，对任意，由，当时，有，所以对任意时，，此时只要求，即，故，即的最小值为；当时，且，因此，在时，，此时要求，即，在时，，此时要求，即，由此可得，此时，令，求导得，由于，故在单调递减，因此，的最小值为，即的最小值为；当时，，因此，在时，，此时要求，即，在时，，此时要求，即，在时，存在使得，此时要求，则，因此需要同时满足，，显然矛盾，故无解；综上所述，即的最小值为，故B正确.9．ABC【详解】日销售量的平均值为，所以可以估计约为，故A正确；因为日销售量X近似服从正态分布，所以，所以，所以日销售量在范围内的天数约为天，故B正确；可得，所以，故C正确；若未来连续3天的日销售量都超过，这不能说明日销售量不服从正态分布，在正态分布下它也是可能发生的，只是发生的可能性极小，故D错误.10．ABD证明出，结合线面平行的判定定理可判断A选项；由结合柱体和锥体的体积公式可判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断B选项；证明出平面，平面，结合线面垂直的性质可判断D选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、、、，对于A选项，在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，A对；对于B选项，，，，所以，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，所以，所以，又因为，，、平面，所以平面，因为，，所以，，所以，，因为，、平面，所以平面，所以平面平面，D对.11．ACD由三角形内切圆的性质可判断A；由三角形的面积公式，结合余弦定理可判断B；由直线的斜率公式及二倍角公式可判断C；联立直线的方程，表示出点的坐标，结合双曲线的定义，可判断D.【详解】

如图1，设的内切圆与分别相切于点.对于A，根据内切圆的性质，得，则，而，所以，则，故A正确.对于B，在中，由余弦定理得①，又，即，得，代入①中，得，所以，所以.故，故B错误.对于C，以的中点为原点，为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，则，由，结合双曲线的定义知，点在以为焦点，以为顶点的双曲线右支上，其方程为.设，则，即.当时，，而，故.又，所以.当时，，所以，故，依然满足.综上所述，，故C正确.对于D，若的内心为，则等价于点在双曲线的右支上.如图2，不妨设，则，又，故.由，，联立解得交点，则，即点满足，故D正确.12．根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.【详解】由，得，而，所以.故答案为：13．12根据等差数列及等比数列的通项公式列方程组求解即可.【详解】等差数列的通项公式为，则，.等比数列的通项公式为，则，.由题意知，，整理得，即，所以或.对于二次方程，，则此方程无实数解.因此，所以.故.14．①②④令可判断①；令可判断②；中取，得，，即可判断③；用代换中的可得，即可判断④.【详解】取，得，即，解得或（舍去），所以，①正确；令，得，整理得，故是偶函数，②正确；的定义域为，若的图象关于点对称，则,中取，得，又，所以，所以的图象不关于点对称，故③错误；用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得，所以，④正确.综上所述，正确结论的序号为①②④.15．(1)(2)；.（1）将边化角化简后解三角方程可求得角A；（2）利用正弦定理求得，再求，则可求；利用余弦定理可求出边，再求的面积即可.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，,,又即，且，所以可得，即，又，所以.（2）因为，，所以由正弦定理可得,即,即，又,所以，则，，所以，因为，，所以由余弦定理可得，，即，解得，（负舍）所以的面积.16．(1)证明见解析(2)（1）根据平面与平面垂直可得线面垂直，再由线面垂直，面面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面的夹角的余弦，再由不等式的性质求取值范围即可.【详解】（1）因为，为的中点，所以，又平面平面，是交线，平面，所以平面，因为平面，所以,又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量，则，令，可得，设平面的法向量，则，令，可得，则，所以，当时，，即当时，，由可得，所以，综上，可知，即的取值范围为.17．(1)，；(2)（i）；（ii）证明见解析.（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可；（ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可.【详解】（1）．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，由（1）知，，，在上单调递减，在上单调递增；，，在上单调递减，在上单调递增，又，且；，且，作出函数和的图象，由图象知的取值范围为．（ii）不妨设，由（i）知，，显然，且，所以，同理，．要证，只需证，只需证．又，只需证．令函数，则，所以函数在（0，1）上单调递增，由得，所以显然成立，综上，．18．(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）若，则点在抛物线在轴上方部分的下方，由抛物线定义可得等于点到准线的距离，则的最小值为点到准线的距离，故，解得，即抛物线的方程为；（2）①设，、，由题意可得直线、不与坐标轴平行，可设，联立，消去