广东省和美联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（含答案）

广东省和美联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（

）A．5 B．4 C． D．32．一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品．若从中任取支，则这两支都是一等品的概率是（

）A． B． C． D．3．如图是一个古典概型的样本空间和事件A、B，其中，，，，那么（

）

A． B．事件A与B互斥C． D．事件A与B相互独立4．直线，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．6．已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．外离7．过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的有（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则与的夹角是锐角C．已知向量，，是不共面的向量，则向量，，共面D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面10．已知曲线：的两个焦点分别为，，点在上，且，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（

）A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则C．若，则 D．若，则的离心率为11．如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（

）A．三棱锥中，点P到平面的距离为定值B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C．直线与平面所成角的正弦值的范围为D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为三、填空题12．已知，，且，则________．13．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________．14．已知点，，动点满足且，则点的轨迹方程为__________四、解答题15．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值；(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取多少人？16．已知圆M过点(1)求圆M的方程；(2)过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程.17．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为．(1)求的值；(2)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率．18．如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．已知和为椭圆上两点.(1)求的离心率；(2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；(3)设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1．B【详解】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字，因为，所以第70百分位数为第6个数字，即.故选：B.2．A【详解】将支一等品用表示，支二等品用表示，从中任取支的情况有，，，，，，，，，共种情况，这两支都是一等品的情况有，，，，，共种情况，所以这两支都是一等品的概率为.故选：A.3．D【详解】由图知，，故A错误；事件A与有共同基本事件，故不是互斥事件，B错误，∵，∴；故C错误；因为，又，，，所以A与B相互独立，故D正确.故选：D4．C【详解】若，则，可得或，时，，即两直线平行，符合；时，，即两直线重合，不符.所以，即是的充要条件.故选：C5．A【详解】因为空间向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是，故选：A6．B【详解】因为圆，即关于直线，说明该直线过圆心，则有，解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为4，而.所以两圆的位置关系是相交.故选：B.7．B【详解】由椭圆：，得，即，.如图，作出符合题意的图形，因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，.所以的周长为.设，则，，又因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.故选：B.8．D【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则，

由椭圆与双曲线的定义得，可得，因为，所以，即，则，故，且，则所以，由于函数在上为增函数，所以，则，故的取值范围是.故选：D.9．AD【详解】对于A，空间中任意两个向量是共面的，三个向量中有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对于B，若，则与的夹角是锐角或者，故B错误；对于C，假设是共面的向量，则存在实数使，即，故向量是共面向量，与题设矛盾，故假设不成立，即向量不共面，故C错误；对于D，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面，故D正确.故选：AD10．BD【详解】对于A，若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，则，故A错误；对于B，若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确；对于C，当时，曲线是椭圆，易得，，，因此焦点，，设点在椭圆上，满足，整理得，的斜率，的斜率，，将代入上式，得，并不恒等于，故C错误；对于D：若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确．故选：BD．11．AC【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图：可得，，，，，，得到，，设，则，，则，设面的一个法向量为，则，，令，得，，，对于A：P到平面的距离为，故A正确；对于B：连接，，四边形为平行四边形，，又面，面，面，同理可证面，又，面面，过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误；对于C：设直线与面所成角为，则，，，，直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确；对于D：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心，，，解得，外接球半径R满足：，三棱锥的外接球表面积为，故D错误．故选：AC.12．【详解】由，可得，即，解得.故答案为：.13．【详解】两边平方得，表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，同一坐标系内画出图形如下：

当过点时，，解得，当与相切时，圆心到的距离为，解得，由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是.故答案为：14．【详解】解：根据题意，可知，由，，则，，在中，，即，，，即，，所以为定值且大于，可得的轨迹为椭圆，且长轴长，焦距，焦点在轴上，中心在原点的椭圆，即，，所以，所以的轨迹方程为：.故答案为：.15．(1)(2)73，72(3)12，10，2【详解】（1）；（2）因为，所以，所以中位数为；平均数为；（3）因为，所以在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取：，，.16．(1)(2)或【详解】（1）设圆，则，解得，满足，所以圆的方程为，即.（2）由（1）知，，半径，设圆心到直线的距离为，则，即，解得，当直线的斜率不存在时，为，符合题意；当直线的斜率存在时，设，故，解得，此时直线的方程为，综上，直线的方程为或.17．(1)(2)【详解】（1）解：设“甲成功解密份文件”，“乙成功解密份文件”（）由题知，解得.（2）解：由（1）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码至多2次”，则，其中两两互斥，与，与，与分别相互独立，可得，，所以，则所以甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率为．18．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，此时.【详解】（1），，又平面，平面，平面.（2）由，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.因此，两两互相垂直，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系.

在等腰梯形中，，因此易证得，故，则.设平面的法向量为，则，即，取，则，则.设直线与平面所成角为，则.（3），设，则.设平面的法向量为，则有，即，取，则，即.由题（2）可知，平面的法向量为.设平面与平面的夹角为，则，整理得，解得或（舍去）.因此，棱上存在点G，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时.19．(1)(2)或(3)存在，【详解】（1）由题意，解得，所以.（2）

当的斜率不存