2026八年级下《一次函数应用》同步练习

一、前言演讲人2026-03-07

目录01.前言07.作业03.新知识讲授05.互动02.教学目标04.练习06.小结08.致谢

2026八年级下《一次函数应用》同步练习01ONE前言

前言时光的指针拨回到2026年的春天，八年级下学期的教学进程已经行进到了最核心、也最富有挑战性的篇章。作为一名深耕数学教育一线多年的教师，我常常站在讲台上，看着台下那一张张稚气未脱却又充满求知欲的脸庞，心中总会涌起一种难以言喻的感慨。数学，尤其是代数中的函数部分，对于这个年龄段的孩子来说，往往是一道难以逾越的门槛。它不再是简单的加减乘除，不再是枯燥的数字游戏，而是一种全新的思维方式，一种用变量去描述世界的语言。今天，我精心编纂这份《一次函数应用》同步练习，并非为了应付考试，而是为了架起一座桥梁。这座桥梁的一端是学生手中熟悉的代数运算，另一端则是真实世界中复杂多变的实际问题。我试图通过这份练习，让学生们明白，那些在黑板上画出的线条，不仅仅是图形，它们是历史的轨迹，是经济的脉搏，是时间的刻度。

前言这不仅仅是一次作业的布置，更是一场思维的探险。我把自己多年来教学一线的所见所闻、所思所感，都融入到了这些题目和讲解中。我希望当你们翻开这份练习册时，看到的不是冰冷的题目，而是一个个鲜活的生活场景，是一段段需要你去推演、去解构的逻辑链条。我们即将要探索的，是“变化”的奥秘，是“规律”的寻找。在这条路上，可能会有迷茫，会有卡顿，但请相信，当你最终解出那个答案的那一刻，那种豁然开朗的喜悦，是任何事物都无法替代的。这，就是我编写这份练习的初衷。02ONE教学目标

教学目标在这一章的学习中，我们的目标绝非仅仅是让学生记住几个公式，或者会算几个具体的数值。我们要达成的，是更深层次的思维构建。首先，从知识与技能的角度来看，我们要让学生彻底吃透一次函数的概念。具体而言，就是理解$y=kx+b$中，$k$与$b$分别代表什么几何意义——$k$是直线的斜率，代表变化率；$b$是纵截距，代表初始值。我们要让学生能够熟练地根据已知条件列出一次函数解析式，并且能够准确地画出对应的图像。这不仅仅是笔头上的功夫，更是对数形结合思想的深刻领悟。其次，在能力与应用层面，我们的目标是实现“建模”能力的飞跃。现实生活中的问题千奇百怪，但它们往往都遵循着某种线性规律。我们要训练学生从纷繁复杂的文字描述中，剥离出核心变量，构建出数学模型。无论是行程问题中的相遇与追及，还是经济问题中的利润与成本，亦或是工程问题中的工作效率，学生都需要具备将现实情境转化为数学语言的能力。

教学目标最后，也是最为重要的，是情感与态度的培养。数学不应是高高在上的，它源于生活，服务于生活。我希望通过这一章节的学习，能让学生体会到数学工具的强大与实用。当他们发现自己能够用数学的眼光去分析出租车计费、去规划出行路线、去预测未来的趋势时，那种自信心的建立将是受益终身的。我们要让他们明白，学习一次函数，就是掌握了一把打开变化世界大门的钥匙。03ONE新知识讲授

新知识讲授在正式进入练习之前，我们必须先筑牢地基。一次函数的应用，核心在于“转化”。我们要把生活中的问题，翻译成数学上的$y=kx+b$。让我们从最直观的物理现象入手。大家都知道，物体的运动是线性的。比如，你骑着一辆自行车，你的速度是恒定的。在这个场景下，时间$x$和距离$y$就构成了一个最简单的一次函数关系。这里，$k$就是你骑车的速度，$b$则是你出发时距离起点的距离（通常为0）。图像就是一条过原点的射线。这很好理解，对吧？但生活往往比骑车要复杂。让我们看一个经典的场景——出租车计费。这是一个非常完美的一次函数应用模型。当你坐进出租车，起步价是10元，包含了3公里。这10元，就是截距$b$。这代表了无论你走多远，或者走到哪里，只要上车，你就必须支付的“基础成本”。然后，超过3公里之后，每公里加收2元。这里的2元，就是斜率$k$。

新知识讲授所以，如果你行驶了$x$公里（这里$x$指的是超过3公里的部分，或者我们需要注意定义域的转换），那么总费用$y$就可以表示为$y=2x+10$。注意，这里的$x$是有范围的，它不能小于0，也不能大于你行驶的总距离。再来看一个更具商业气息的场景——打折销售。这也是八年级学生必须攻克的难关。这里涉及到几个核心概念：成本价、销售价、进价、售价、利润。假设某商品的进价是$a$元，售价是$b$元。如果商家进行促销，打八折出售，那么售价就变成了$0.8b$。这时候，每件商品的利润就是售价减去进价，即$0.8b-a$。如果我们把销售数量设为$x$，总利润设为$y$，那么$y=(0.8b-a)x$。这就构成了一个一次函数。这里的关键在于，你必须明确哪个是自变量，哪个是因变量。在这个例子里，销售数量$x$是自变量，总利润$y$是因变量。

新知识讲授有时候，情况会更微妙。比如，商家为了促销，不仅打折，还可能购买一定数量有优惠。这就涉及到分段函数或者条件函数了。但在我们这个阶段，我们先专注于纯粹的线性关系。比如，如果利润随着销量的增加而增加，那么$k$就是正的；如果销量增加反而亏损，那么$k$就是负的。通过观察$k$的符号，我们可以判断出业务的好坏。行程问题中的相遇与追及，本质上也是一次函数。假设甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。甲的速度是$v_1$，乙的速度是$v_2$。那么，$t$小时后，两人之间的距离$s$就是$s=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t$。这是一个正比例函数的变体。而如果乙在甲后面追甲，乙的速度是$v_乙$，甲的速度是$v_甲$，且$v_乙>v_甲$。那么，$t$小时后，乙追上甲的距离差$s$就是$s=(v_乙-v_甲)t$。这些看似复杂的行程问题，一旦画成函数图像，就会变得非常清晰。两条直线的交点，往往就是问题的“答案”所在。

新知识讲授此外，还有工程问题中的工作效率。如果完成一项工作，甲单独做需要$m$天，乙单独做需要$n$天，那么甲的工作效率是$1/m$，乙是$1/n$。两人合作$x$天，完成的工作量$y$就是$y=\frac{1}{m}x+\frac{1}{n}x$。如果要求他们共同完成工作，那么$y$就等于1。这些知识点，就像是一块块拼图。我们需要做的，就是找到这些拼图之间的逻辑联系，将它们拼凑成完整的图像。在接下来的练习中，我会引导大家去寻找这些联系，去体会$k$和$b$在不同场景下的不同含义。04ONE练习

练习好，理论铺垫得差不多了，现在让我们把目光投向具体的题目。这里的每一道题，都是我精心挑选的，它们分别对应了我们刚才讲到的不同应用场景。

：基础建模（从情境到解析式）题目1：某市出租车收费标准如下：起步价10元（3公里以内），超过3公里后，每行驶1公里加收2.5元。设行驶里程为$x$公里（$x>3$），付费为$y$元。（1）请写出$y$与$x$的函数关系式。

：基础建模（从情境到解析式）若某人付了35元车费，他乘坐了多少公里？解析与思路：这道题是出租车计费问题的经典变式。很多同学一上来就会写$y=2.5x+10$，这忽略了题目中的条件$x>3$。在数学上，这叫做“定义域”的限制。（1）当$x>3$时，$y=2.5(x-3)+10=2.5x+2.5$。大家看，这里的$b$变了，不再是10，而是2.5。这很有意思，起步价虽然还是10，但当你行驶超过3公里后，你的“基础成本”在数学模型中已经发生了位移。（2）当$y=35$时，代入上式：$35=2.5x+2.5$。解得$2.5x=32.5$，$x=13$。所以，他乘坐了13公里。这里要

：基础建模（从情境到解析式）若某人付了35元车费，他乘坐了多少公里？验证一下，13确实大于3，符合定义域。题目2：某商场销售一种商品，每件进价是40元，标价是60元。商场以“八折”促销，为了获得不低于20%的利润率，商场至少应卖出多少件？解析与思路：这道题稍微有点绕，它有两个量在变：数量和利润率。首先，标价60元，八折就是$60\times0.8=48$元。这就是销售价。其次，利润率不低于20%，意味着利润不能少于进价的20%。进价40元，20%就是$40\times0.2=8$元。所以，每件商品的最低利润是8元。

：基础建模（从情境到解析式）若某人付了35元车费，他乘坐了多少公里？那么，每件商品的最低售价应该是$40+8=48$元。哎？发现了吗？打折后的价格刚好等于最低利润要求的价格。设卖出$x$件，总利润$y=(48-40)x=8x$。题目要求不低于20%，也就是$y\ge8$。所以，$8x\ge8$，解得$x\ge1$。这道题的答案很简单，至少卖1件。题目3：甲、乙两车分别从相距$S$千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度为$v_1$千米/时，乙车速度为$v_2$千米/时。求出发后$t$小时两车之间的距离$y$与$t$的函数关系式。解析与思路：

：基础建模（从情境到解析式）若某人付了35元车费，他乘坐了多少公里？这是一道行程问题。两车相向而行，距离在不断缩短。$t$小时后，甲车走了$v_1t$，乙车走了$v_2t$。两车走过的总路程是$v_1t+v_2t$。因为初始距离是$S$，所以剩余距离$y=S-(v_1t+v_2t)=S-(v_1+v_2)t$。这是一个关于$t$的一次函数，$k=-(v_1+v_2)$。因为距离$y$必须大于0，所以$t$的取值范围是$0<t<\frac{S}{v_1+v_2}$。

：图像与性质（从解析式到图像分析）题目4：一次函数$y=kx+b$的图像经过点$(-1,0)$和$(0,-2)$。（1）求该函数的解析式。（2）当$x>2$时，求$y$的取值范围。解析与思路：（1）把两个点代入解析式。当$x=-1,y=0$时，$0=k(-1)+b\Rightarrowb=k$。当$x=0,y=-2$时，$-2=b$。所以$k=-2,b=-2$。解析式为$y=-2x-2$。

：图像与性质（从解析式到图像分析）（2）当$x>2$时，$y=-2(2)-2=-6$。因为斜率$k=-2<0$，所以当$x$增大时，$y$减小。所以当$x>2$时，$y<-6$。题目5：如图（假设有一张图），直线$l_1$：$y=x+1$和直线$l_2$：$y=-x+3$相交于点$P$。求点$P$的坐标，并求出两直线与$y$轴围成的三角形的面积。解析与思路：求交点就是联立方程组。$\begin{cases}y=x+1\\y=-x+3\end{cases}$

：图像与性质（从解析式到图像分析）相加得：$2y=4\Rightarrowy=2$。1代入得：$2=x+1\Rightarrowx=1$。2所以交点$P(1,2)$。3求面积：两条直线与$y$轴的交点分别是$A(0,1)$和$B(0,3)$。4底边$AB$的长度是$3-1=2$。5点$P$到$y$轴的距离就是$x$坐标的绝对值，即1。6所以面积$=\frac{1}{2}\times2\times1=1$。705ONE互动

互动说实话，每次讲完这些应用题，我都会在课堂上留出一点时间，专门用来“互动”。不是那种简单的举手提问，而是深度的思维碰撞。记得有一次，我讲“打折销售”的时候，有个平时很调皮的男生突然举手问我：“老师，如果商家为了赚钱，故意把标价定得很高，然后再打折，这不就是诈骗吗？”我当时愣了一下，随即笑了。这个问题问得非常好，它已经超出了数学本身的范畴，触及到了经济学和商业伦理。我没有直接回答“是”或“不是”，而是引导全班同学一起思考。“是啊，”我拿出一支粉笔，在黑板上画了一个大大的坐标系，“如果标价是100元，打一折卖10元，那肯定不行。但如果标价是1000元，打八折卖800元，虽然进价只有500元，商家还是赚了300元。这叫什么？这叫‘水分’。”我接着问：“那我们怎么在数学上避免这种‘水分’呢？”

互动大家陷入了思考。这时候，我又抛出了一个新的问题：“假设商家要保证利润率不低于20%，他应该把标价定在多少？”这个问题瞬间点燃了课堂的气氛。学生们开始分组讨论，有的算，有的辩论。有的说：“标价是进价的1.5倍！”有的说：“不对，要考虑打折后的价格。”经过一番激烈的讨论，大家得出了一个结论：要保证利润率，必须先算出保本售价，然后再在这个基础上加上期望的利润率。这种互动，往往比单纯地做题要有意义得多。它让学生们明白，数学公式背后，隐藏着真实的商业逻辑。当学生们能够从数学的角度去审视商业行为时，他们的思维就变得成熟了。还有一次，是关于行程问题。我在黑板上画了两条射线，一条代表甲，一条代表乙，然后问：“如果甲的速度是5，乙的速度是3，他们在A点相遇后继续前进，那么他们的距离会越来越大，对吗？”

互动“对！”大家异口同声。“那如果甲的速度是3，乙的速度是5，并且乙在甲后面追甲，那结果呢？”“乙会追上甲！”“那如果甲的速度和乙的速度一样呢？”“那他们永远追不上，距离保持不变。”通过这样的互动，图像不再是静止的线条，而是动态的过程。我鼓励学生们在草稿纸上画出这些动态的过程，看着线段如何延伸、如何缩短、如何保持平行。这种直观的感受，是任何语言都无法替代的。在互动环节，我也非常关注那些反应慢一点的同学。有一次，一个女生在“分段函数”的问题上卡住了，急得满头大汗。我没有直接帮她解题，而是走到她身边，轻轻敲了敲她的桌子，说：“别急，先看看题目里的条件，那个‘3公里以内’是什么意思？”

互动她抬起头，看了看我，又看了看题目，小声说：“意思就是……起步价是固定的？”“对！”我肯定了她，“那就把3公里以前和以后分开想，不就简单了吗？”她点了点头，重新开始列算式。慢慢地，她的笔尖动了起来。当她算出正确答案，抬起头对我露出一个灿烂的笑容时，我感到由衷的欣慰。那一刻，我知道，教育的意义就在于此——在迷茫中点亮一盏灯，在无助时伸出一双手。06ONE小结

小结时光飞逝，不知不觉，我们已经走完了《一次函数应用》这一章的学习旅程。现在，让我们停下脚步，回过头来，对这一章的内容做一个系统的小结。一次函数，它是我们连接代数与几何的纽带，也是我们连接理论与现实的桥梁。在这一章里，我们学会了如何从纷繁复杂的现象中，提炼出最核心的变量关系。我们看到了$y=kx+b$中的$k$，它像是一个向导，指引着直线的倾斜方向，告诉我们变化是快还是慢，是正向还是反向；我们看到了$b$，它像是一个基石，决定了直线的起点在哪里，代表了初始的投入或积累。回顾我们学过的题型，无论是出租车计费、打折销售，还是行程问题、工程问题，它们本质上都是对同一个数学模型的运用。不同的是，变量$x$和$y$的物理意义不同，但数学的骨架是相同的。这就是数学的统一之美。

小结我想特别强调的是“数形结合”的思想。当我们面对一个复杂的应用题时，画图往往能起到事半功倍的效果。一条直线，一个交点，一段线段的长短，往往就隐藏着解题的关键。很多时候，我们之所以解不出来，不是因为算术能力不行，而是因为缺乏直观的图像思维。此外，我们还要注意“分类讨论”的思想。比如在出租车问题中，起步价内的路程和超出部分的路程，计算方式是不同的；在打折销售中，不同的利润率要求，对应的售价也是不同的。学会分类，学会严谨，是我们学习数学的必修课。这一章的学习，不仅仅是为了应付考试，更是为了培养一种严谨的逻辑思维。在未来的学习和生活中，你们会遇到无数个需要“建模”的问题。希望你们能够带着这一章学到的知识和思维方式，去迎接新的挑战。记住，数学不仅仅是数字，它更是一种理性的精神，一种探索真理的勇气。12307ONE作业

作业学而不思则罔，思而不学则殆。为了巩固今天所学的内容，我为大家准备了以下几道作业题。请大家务必独立思考，认真完成。

作业一：综合应用题（必做）某公司计划从甲、乙两厂购买同一种型号的零件，其中从甲厂购买10个，乙厂购买若干个（不超过10个），两个厂的价格相同。设从乙厂购买$x$个，总费用为$y$元。已知甲厂的报价为每个100元，乙厂报价为每个80元，且乙厂规定：一次购买数量超过10个时，超过部分打八折。（1）分别求出$y$与$x$的函数关系式。（2）若该公司计划共购买50个零件，请设计购买方案，使总费用最少，并求出最少费用

作业一：综合应用题（必做）。解析提示：这道题是典型的分段函数建模。要注意$x$的取值范围。当$0<x\le10$时，直接相加。当$x>10$时，前10个80元，后$x-10$个打八折，即$80(x-10)$。总费用$y=100\times10+80x$。或者$y=10\times100+(x-10)\times80\times0.8+10\times80$。注意合并同类项，化简为一次函数形式。

作业一：综合应用题（必做）最后比较两种方案的费用。作业二：探究题（选做）如图，直线$y=-x+2$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点，点$C$在$x$轴上，且$OC=2$。连接$BC$。（1）求$\triangleABC$的面积。（2）若点$P$是$y$轴上的一点，是否存在点$P$，使得$\triangleABP$的面积为$\triangleABC$面积的2倍？若存

作业一：综合应用题（必做）在，求出$P$点坐标；若不存在，请说明理由。解析提示：先求交点$A$和$B$。$y=-x+2$，令$y=0$，得$x=2$，即$A(2,0)$。令$x=0$，得$y=2$，即$B(0,2)$。$C(2,0)$，与$A$重合？不对，题目说$OC=2$，所以$C(2,0)$。等等，$A$也是$(2,0)$。这意味着$A$和$C$是同一个点？让我们再看一遍题目：“直线$y=-x+2$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点，点$C$在$x$轴上，且$OC=2$。”

作业一：综合应用题（必做）如果$A$是$(2,0)$，那么$C$也是$(2,0)$，那么三角形面积为0。1可能是题目描述有歧义，或者$A$点不是$(2,0)$。2让我们重新理解：直线与$x$轴交于$A$，与$y$轴交于$B$。$C$在$x$轴上，$OC=2$。3如果$A$是$(2,0)$，那$C$就是$(2,0)$。这显然不合理。4可能是$A$的坐标不同？不，$y=-x+2$与$x$轴交点一定是$(2,0)$。5

作业一：综合应用题（必做）看来这道题可能想表达的是$C$点在$x$轴上，且$OC$的长度是2，但$A$点不一定是$(2,0)$？不对，$A$是交点，一定是$(2,0)$。或许$C$点在$x$轴上，且$OC$的长度是2，意味着$C$可以是$(2,0)$也可以是$(-2,0)$？如果$C$是$(-2,0)$，那么三角形$ABC$的面积就好算了。或者是题目本身有笔误？比如直线是$y=-2x+4$？考虑到这是作业题，为了让大家做，我们假设$C$点是$(-2,0)$。那么$AB$的长度是$\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

作业一：综合应用题（必做）底边$AB$在$y$轴上的投影是2。或者直接用坐标面积公式：$S=\frac{1}{2}x_Ay_B-x_By_A=\frac{1}{2}2\times2-0\times0=2$。如果$C(-2,0)$，那么$AC$长4。面积$S_{ABC}=\frac{1}{2}\times4\times2=4$。（2）求$P$点在$y$轴上，使得$\tr