2026年考研《数字信号处理》FFT算法专项通关试卷(含答案)

2026年考研《数字信号处理》FFT算法专项通关试卷(含答案)一、单项选择题（每题2分，共20分）1.对长度为N=2^v的实序列x[n]进行基2-DIT-FFT运算，其复数乘法次数的理论值为A.Nlog₂N  B.(N/2)log₂N  C.Nlog₂N–N  D.(N/2)log₂N–N答案：B2.在基2-DIF-FFT流图中，第m级（m=1,2,…,v）蝶形运算的两输入数据地址差为A.2^{m-1}  B.2^{v-m}  C.2^{m}  D.2^{v-m+1}答案：B3.若X[k]为序列x[n]的N点DFT，则利用N点FFT计算线性相关r_{xy}[l]时，所需FFT次数为A.1  B.2  C.3  D.4答案：C4.对实值N点序列采用“一次N点FFT算两个实序列”技巧，下列说法正确的是A.仅需一次N点FFT即可同时得到两序列的N点DFTB.需两次N点FFTC.需一次N/2点FFTD.需一次2N点FFT答案：A5.在按时间抽取的基4-FFT中，每一级所需的复数乘法次数约为A.(3/4)Nlog₄N  B.Nlog₄N  C.(1/4)Nlog₄N  D.(3/8)Nlog₂N答案：A6.对N=512点序列做FFT，若处理器支持单精度浮点乘加流水线吞吐率为1次/周期，则理论最少周期数为（仅计复乘）A.2304  B.2560  C.4608  D.5120答案：A7.下列关于Chirp-Z变换（CZT）的说法错误的是A.可计算单位圆上任意弧段的频谱B.其FFT长度L≥N+M–1即可避免混叠C.其复数乘法复杂度与直接DFT相同D.可用于细化FFT谱线答案：C8.若采用分裂基（SR-FFT）算法，则N=64点复序列的实数乘法次数约为A.192  B.256  C.320  D.384答案：A9.在并行FFT处理器中，采用“位反转”地址排序的主要目的是A.降低运算量  B.实现同址计算  C.提高数值精度  D.减少旋转因子存储答案：B10.对N=2048点序列进行GPU加速FFT，若显存带宽为400GB/s，理论上限帧率（每秒FFT次数）约为A.195k  B.390k  C.780k  D.1.56M答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分；多选少选均不得分）11.下列措施能够降低FFT运算中量化噪声功率的有A.逐级缩放（scale-by-2）B.采用块浮点（block-floating-point）C.提高旋转因子存储字长D.增大FFT点数N答案：A,B,C12.关于快速卷积实现，正确的有A.重叠保留法需舍弃每段末尾N–L+1点B.重叠相加法无需舍弃任何点C.二者均需至少一次正FFT与一次逆FFTD.当L≪N时，快速卷积比直接卷积节省运算量答案：B,C,D13.下列算法属于“非2次幂长度FFT”的有A.Bluestein算法B.Winograd算法C.素因子算法（PFA）D.分裂基算法答案：A,B,C14.关于FFT旋转因子W_N^{nk}的存储优化，可行的有A.只存储1/4周期正余弦表B.采用CORDIC迭代实时生成C.采用双端口ROM并行提供实部虚部D.采用单精度查表+泰勒插值答案：A,B,C,D15.在OFDM系统中，采用FFT/IFFT对实现调制解调，其优点包括A.可用单芯片实现大量子载波B.频谱利用率高C.抗多径能力强D.无需循环前缀答案：A,B,C三、填空题（每空2分，共20分）16.基2-DIT-FFT第m级旋转因子指数k的取值范围为0∼2^{m-1}−1，其步进间隔为________。答案：2^{v−m}17.若用N=1024点FFT计算实信号功率谱，则平均功率可直接由∑_{k=0}^{N−1}|X[k]|^2除以________得到。答案：N^218.分裂基算法将N点DFT递归分解为1个N/2点DFT与________个N/4点DFT。答案：219.按时间抽取的基2-FFT中，同址运算要求输入或输出序列为________序。答案：位反转20.采用CZT计算M点频谱，若序列长度N，则FFT长度L需满足L≥________。答案：N+M−121.对实序列x[n]做256点FFT，利用“双实序列”技巧，可将x[n]偶数点与奇数点分别放入实部与虚部，则一次FFT后，需用________个复数加法分离两序列DFT。答案：N22.在定点DSP中，为防止FFT溢出，常采用逐级衰减策略，每级右移________位。答案：123.若处理器支持256点复数FFT耗时5µs，则其等效复数乘法吞吐率为________GMAC/s。答案：51.224.重叠保留法分段长度N=512，滤波器长度L=64，则每段有效输出样本数为________。答案：44925.采用Winograd小N算法实现7点DFT，其实数乘法次数为________。答案：9四、简答题（每题8分，共24分）26.简述基2-DIT-FFT与基2-DIF-FFT在流图结构上的异同，并说明为何二者均可实现同址运算。答案：相同点：二者均将N点DFT逐级分解为2点DFT，运算量相同，均为(N/2)log₂N次复乘；均使用旋转因子W_N^{rk}；均可原位运算。差异：（1）分解顺序不同：DIT按时间抽取，先对输入分组；DIF按频率抽取，先对输出分组。（2）旋转因子位置：DIT旋转因子在蝶形输入端；DIF在输出端。（3）位反转：DIT输入需位反转输出自然顺序；DIF输入自然输出位反转。同址原因：每级蝶形运算的两个输出可写回同一存储单元，因为旧数据在运算后不再被使用，故无需额外缓存。27.说明如何利用一次N点FFT完成实序列x[n]的N点DFT，并给出具体步骤与复数运算量。答案：步骤：（1）构造复序列g[n]=x[2n]+jx[2n+1]，n=0,…,N/2−1；（2）计算G[k]=DFT_{N/2}(g[n])；（3）利用对称性：X[k]=G[k]mod(N/2)+W_N^{-k}G[〈−k〉_{N/2}]，k=0,…,N−1；（4）分离实部虚部得X[k]。运算量：1次N/2点FFT+N次复数乘法+N次复数加法，总计约(N/4log₂(N/2)+N)次复乘。28.给出重叠保留法实现长序列卷积的完整流程，并指出其相比重叠相加法的优势。答案：流程：（1）将滤波器h[n]补零至长度N；（2）对输入x[n]分段，每段长度N，段间重叠L−1点；（3）每段与h[n]做N点圆周卷积（FFT→点乘→IFFT）；（4）舍弃每段前L−1点，保留后N−L+1点；（5）拼接得最终输出。优势：无需额外加法拼接，保留段直接连续，缓存需求小；对实时流式处理更友好。五、计算与分析题（共71分）29.（12分）已知x[n]=cos(2π·7n/64)+0.5cos(2π·13n/64)，n=0,…,63。（1）用64点基2-DIT-FFT求X[k]，写出k=7与k=13处的理论幅值；（2）若FFT输入量化字长为8位定点，计算k=7处信噪比SNR（dB）。答案：（1）理论幅值：X[7]=X[64−7]=32；X[13]=X[64−13]=16；其余k≠7,13,57,51处为0。（2）量化噪声功率σ_q^2=Δ^2/12=(2/2^8)^2/12=2.04×10^{-5}；信号功率P_s=(32^2+16^2)/64=20；SNR=10log₁₀(P_s/σ_q^2)=10log₁₀(20/2.04×10^{-5})≈59.9dB。30.（15分）设计一个FFT-based快速相关器，用于在0≤l≤1023范围内搜索长度为L=64的BPSK码片延迟。输入序列采样率f_s=10MHz，要求实时处理。（1）给出分段参数与FFT长度；（2）估算所需复数乘法次数；（3）若采用GPU2048点FFT耗时8µs，判断能否满足实时。答案：（1）选N=2048，重叠L−1=63，每段有效输出2048−63=1985点；（2）每秒数据量10M样本，需分段数≈10^6/1985≈504；每段需2次2048点FFT+2048次复乘，总计504×(2×(2048/2log₂2048)+2048)≈504×(2×11264+2048)=504×24576≈12.4M复乘；（3）GPU每秒可执行1/(8µs)=125k次2048点FFT，提供125k×11264≈1.4G复乘/秒，远大于12.4M，故可满足。31.（16分）考虑N=256点分裂基FFT算法。（1）画出第一级分解流图，标出旋转因子；（2）推导实数乘法次数递推式M(N)=M(N/2)+2M(N/4)+3N/2−4，并求M(256)；（3）与基2-FFT相比，运算量降低百分比。答案：（1）第一级：将X[k]分为X[2k]（N/2点DFT）、X[4k+1]与X[4k+3]（两N/4点DFT）；旋转因子W_N^{k}与W_N^{3k}，k=0,…,N/4−1。（2）递推：3N/2−4为当前级实乘；解得M(N)=Nlog₂N−3N+4；M(256)=256·8−3·256+4=1024。（3）基2实乘：2·(N/2log₂N)=2048；降低(2048−1024)/2048=50%。32.（14分）采用CZT对序列x[n]=e^{jπn^2/64}，n=0,…,63，计算z平面上半径为0.9、角度从π/4到3π/4的128点频谱。（1）写出CZT参数A,W及长度L；（2）给出g[n]与h[n]构造式；（3）计算总复数乘法次数并与直接DFT比较。答案：（1）A=0.9e^{jπ/4}，W=0.9^{−1/128}e^{j(π/2)/128}，L=128+64−1=191，取L=256。（2）g[n]=x[n]A^{−n}W^{n^2/2}；h[n]=W^{−n^2/2}，n=0,…,255。（3）3次256点FFT+256次点乘，复乘≈3·(256/2log₂256)+256=3·1024+256=3328；直接DFT需64·128=8192，降低(8192−3328)/8192≈59.4%。33.（14分）设计一个8点基2-DIT-FFT的Verilog流水线模块，要求：（1）给出输入位反转地址映射表；（2）写出第1级蝶形运算的旋转