三年级奥数等差数列的计算

三年级奥数等差数列的计算小朋友们，我们在数学的世界里常常会遇到各种各样的数。有时候，这些数会按照一定的规律排列起来，就像排队一样，整整齐齐，特别有意思。今天我们要认识的，就是这样一种非常有规律的数列——等差数列。学会了它，你就能快速解决很多看起来很复杂的问题哦！一、什么是等差数列？我们先来看看下面这几组数，你发现它们有什么共同的特点了吗？1.1，2，3，4，5，6……2.3，6，9，12，15……3.10，20，30，40……仔细观察一下，是不是每一组数中，从第二个数开始，后一个数减去前一个数，得到的差都是一样的？像这样，从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个不变的数，这样的数列就叫做“等差数列”。那个不变的差，我们给它起个名字，叫做“公差”。而数列中的每一个数，我们都叫做“项”。排在最前面的那一项，叫做“首项”，排在最后面的那一项，叫做“末项”。这个数列一共有多少项，我们就说它的“项数”是多少。比如第一组数：1，2，3，4，5，6……*首项是1。*公差是2-1=1，或者3-2=1，这个差一直不变。*如果我们只看前6个数，那么末项就是6，项数就是6。二、等差数列的神奇公式认识了等差数列的“家庭成员”——首项、末项、项数、公差，接下来我们就要学习怎么和它们“打交道”，也就是怎么进行计算啦！这里有两个非常重要的公式，它们能帮我们解决很多问题。（一）求第n项是多少？有时候，我们会遇到这样的问题：一个等差数列，首项是2，公差是3，请问它的第5项是多少？第10项呢？如果我们一项一项地往后加，当然也能算出来，但如果项数很多，比如求第100项，那就太麻烦啦！这时候，我们就需要一个“偷懒”的好办法——公式！第n项=首项+(项数-1)×公差我们来理解一下这个公式。首项是“起点”，从首项到第2项，我们加了1个公差；从首项到第3项，我们加了2个公差；那么，从首项到第n项，我们一共加了（n-1）个公差。所以，第n项就等于首项加上（n-1）个公差。大家看，这样是不是就清楚多啦？举个例子：一个等差数列，首项是2，公差是3，求第5项。这里，首项=2，公差=3，项数=5。第5项=2+(5-1)×3=2+4×3=2+12=14。我们来验证一下：2（第1项），5（第2项，2+3），8（第3项，5+3），11（第4项，8+3），14（第5项，11+3）。对啦！就是14。（二）求前n项的和是多少？还有一种常见的问题：求一个等差数列前n项加起来的总和是多少？比如，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？这个大家可能会算，但如果是1加到100呢？传说数学家高斯小时候就用了一个巧妙的方法快速算出了1加到100的和。他用的方法，其实就是等差数列求和的精髓。总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式是怎么来的呢？我们可以把数列正着写一遍，再倒着写一遍，然后把对应的项加起来。比如：1，2，3，4，5（正着写）5，4，3，2，1（倒着写）上下对应相加：(1+5)，(2+4)，(3+3)，(4+2)，(5+1)。每一组的和都是6（也就是首项+末项），一共有5组（也就是项数）。所以两个数列的和就是(首项+末项)×项数。那一个数列的和，自然就是(首项+末项)×项数÷2啦！举个例子：求等差数列2，5，8，11，14（这就是我们前面例子中的数列，首项2，公差3，第5项14）的前5项的和。这里，首项=2，末项=14，项数=5。总和=(2+14)×5÷2=16×5÷2=80÷2=40。我们验证一下：2+5=7，7+8=15，15+11=26，26+14=40。完全正确！三、小试牛刀学会了公式，我们就来练练手吧！例题1：一个等差数列，首项是5，公差是4，请问它的第6项是多少？思路：用“第n项”公式。首项=5，公差=4，项数=6。第6项=5+(6-1)×4=5+5×4=5+20=25。例题2：计算：3+6+9+12+15+18。思路：这是一个等差数列求和。先找找首项、末项、项数。首项=3，末项=18。项数是多少呢？我们数一下，1项3，2项6，3项9，4项12，5项15，6项18。所以项数=6。总和=(3+18)×6÷2=21×6÷2=126÷2=63。例题3：一个等差数列的首项是10，第5项是30，请问它的公差是多少？思路：这道题和前面的不一样，是知道首项、项数和第n项，求公差。我们可以把“第n项”公式反过来用。第5项=首项+(5-1)×公差→30=10+4×公差。那么，4×公差=30-10=20→公差=20÷4=5。四、总结一下今天我们认识了等差数列，还学会了两个非常有用的公式：1.求第n项：第n项=首项+(项数-1)×公差2.求前n项和：总和=(首项+末项)×项数÷