山东滨州市无棣县2025-2026学年九年级上学期期末数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末学业质量检测

九年级数学试题

本试卷共8页.满分120分.考试时长120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔

将答案写在答题卡上.答案写在本试卷上无效.

第I卷（选择题共30分）

一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选

项选出来，每小题3分，满分30分）

1.如图所示的几何体的主视图是（）

4D⑪

2.点（3,T）关于原点成中心对称点的坐标是（）

A.（―3,—4）B.（—4,3）C.（4,-3）D.（-3,4）

3.如图，/|〃/2〃，3，直线。、b与I1、4、/3分别相交于点A、B、。和点。、E>F.设

AB=ZBC=4,DE=-,则的长为（）

2

A.3C.5D.9

4.如图，在心△ABC中，ZC=90°,若8$8=得，则1@114的值为（

5

13

4

5.关于反比例函数），二一的图象，下列说法正确的是（

A.图象必经过点（1,1）B.两个分支分布在第二、四象限

C.两个分支关于x轴成轴对称D.当XV。时，＞的值随x的增大而减小

6.下列说法正确的是（）

A.掷一枚硬币时，反面朝上必然事件

B.三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点

C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等

D.所有的矩形都相似

7.如图，为。。的直径，/。=49。，点。、。是。。上的两点，则NABC的大小为（）

A.49°B.41°C.51°D.53°

8.如图，VABC的内切圆。。分别与48,8cAe相切于点。,瓦/，且A8=7,CE=6,则VA5c的

周长为（）

Ao

BE

A.32B.28C.26D.3()

9.我们规定：若。是锐角，则tan@=Sina=l-cosa,已知sin2/?=!，且2/为锐角，根据这个

21+cosasina3

规定求tan尸的结果是（）

A.3-2夜DR.-------C.3+20D.3

3

10.如图，抛物线丁=口2+法+《。〈0）与1轴交于43两点，与y轴的正半轴交于点C,对称轴是直线

x=-\,其顶点在第二象限，给出以下结论：①当机工一1时，a-b>anr+bm^

2

②若av(+bx1=ax；+bx2且%¥%，则X+々=2；

③若OA=OC,则。4二一，

a

④若8（l,0）,C（0,3）,连接AC,点尸在抛物线的对称轴上，且ZPC4=90。，则。（一1,4）.其中正确

C.②③④D.④

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题（每小题3分，共计15分）

11.9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出

一张，正面的数是奇数的概率为

12.如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网L6m远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为

0.9m的球网，而且落在离球网3.2m远的位置上，则球拍击球的高度〃为m.

-70.9w

13.如图，正六边形ABCDEF内接于。0,若。O的半径为3,则阴影部分的面积为_（结果保留兀）.

A

B,

oD

14.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20WXW30,且工为整数)出

售，可卖出(30-幻件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元.

6如图，矩形ABCO中，AB=6,AZ)=10,点E在边AO上，且AE:EO=1:4,动点P从点A出

发,沿运动到点B停止，过点E作所J.PE交射线8c于点凡连接P/，点Q是线段尸产的中点,

连接EQ,则

(1)当AP=2时，BQ=

(2)连接。。，则在点尸运动整个过程中，线段。。长的最小值为.

三,解答题(共计75分)

16.(1)计算：2lan30"sinGO+\/5cos45'-lan60

(2)如图，在VABC中，点。在8C边上，点E在AC边上，且A£>=A8,NDEC=/B,若

AE=2,EC=6,求A3的长.

17.(1)如图，在RtZ\4BC中，ZBAC=90°,将VA3C绕点4顺时针旋转90。后得到△ABC,点

B的对应点是点夕，点C的对应点是点C,连接CC'.若AC=3,NCCB'=20。，求CC的长及

的度数.

c

（2）已知函数》二/一21+（_,的图象与x轴交于A3两点，与轴交于点。（0,—3）,根据图象回答下列

问题：

①点A坐标为，点B坐标为；

②当r取何值时，y>-3?:

③若二次函数），=/—2x+c•的图象与直线y=A有两个交点，则人的取值范围是_____

18.2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为A8,C,。.体育老

师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.

（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）

的概率是：

（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及.他先从这四张卡片中随机抽取一张不

放回，再从剩下三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的

两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率.

19.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点。恰好看到一颗星星,

此时淇淇距窗户的水平距离8Q=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达点D,透过点户恰好看到月亮，

仰角为《，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面8。的距离A8=CO=1.6m,点尸到8。的距离

PQ=2.6m,AC的延长线交产。于点旦（注：图中所有点均在同一平面）

(1)求夕的大小及tana的值；

(2)求CP的长及sinNAPC的值.

20.如图，在aABC中，AB=AC,以A8为直径的。O分别与BC,AC交于点。，E,过点。作

DFA.AC,垂足为点凡

(1)求证：直线Q*是。。切线;

(2)求证：8c2=4CF・AC.

21.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，一次函数)，=2x+m的图象与x轴］,y轴交于

4—3,0),8两点，与反比例函数y=«(kw0)的图象交于点

X

(1)求〃?和火的值；

(2)已知四边形O8OE是正方形，点。在反比例函数)，=&(%#())第三象限的图象上.当AOBP的面

积等于正方形OBOE面枳的一半时，求点尸的坐标.

22.综合与实践

一块直角三角形木板，它的一条直角边3c长2m，AABC的面积为1.5m2.

形桌面的边长；另一个图形|［谈写出正方形桌面边长的结果即可；

(2)丙、丁两人分别按图3,图4的设计加工一个长方形桌面.请从图3,图4中任选一个图形求出长方

形桌面的面积Mm?)与QE的长x(m)之间的函数表达式，并求出面积)(m?)的最大值(说明：若两个

图形都作答，仅对排列在前的答案评分).

23.已知抛物线y=ax2—m.x+2m—3经过点A(2.-4).

(1)求”的值;

(2)若抛物线与)，轴的公共点为(0,-1),抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没

有，请说明理由；

M4

(3)当一2«式41时，设二次函数y=3,一，依+2"?-3的最大值为M,最小值为M若一=一,求小

N5

的值.

2025-2026学年第一学期期末学业质量检测

九年级数学试题

本试卷共8页.满分120分.考试时长120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔

将答案写在答题卡上.答案写在本试卷上无效.

第I卷（选择题共30分）

一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选

项选出来，每小题3分，满分30分）

1.如图所示的几何体的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【详解】解：该几何体从正面看，得到主视图为

2.点（3,7）关于原点成中心对称点的坐标是（)

A.(-3,-4)B.(Y3)C.(4,-3)D.(―3,4)

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标变化规律，规律为对称点的横纵坐标均为

原坐标的相反数.

【详解】解：点（3,-4）关于原点成中心对称点的坐标为（一3,4）.

3.如图，4〃/2〃,3，直线。、b与11、6、4分别相交于点A、B、。和点。、E、F.设

3

A3=2,BC=4,OE=一，则的长为（）

ab

个

9

A3B.-C.5D.9

2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线段成比例,清楚平行线段之间的关系是解题的关键.根据平行线段成比例列关系

式求解即可.

【详解】解：・・F〃/2〃/3，

ABDE

:.一=——,

BCEF

3

VAB=2,BC=4,DE=-,

2

3

・•.2_$,

i~~EF

:.EF=3,

39

・•.DF=EF+DE=3+-=~.

22

故选：B.

,若COS8=N，则tan力的值为（）

4.如图，在中，ZC=90°

13

C

BA

D.

135

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦值，设8C=5tA8=13x,勾股定理求出4C的长，再利用正切的定义进行求解即可.

【详解】解：•・•在即△ABC中，ZC=90°,cos^=—,

13

BC_5

••丽-15’

・••设BC=5x,4B=13x，则：AC=yjAB2-BC2=12.r»

BC5

/.tanAx=---=—.

AC12

4

5.关于反比例函数y二一的图象，下列说法正确的是（）

x

A.图象必经过点（1,1）B.两个分支分布在第二、四象限

C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x＜。时，y的值随x的增大而减小

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键.本题利用反比例

函数的图象与性质，逐一验证各选项即可.

4

【详解】解：对于A,将％=1代入y=—,得），二401,所以A选项错误，不符合题意：

x

对于B,因为攵＞0,所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意；

对FC,反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于入轴对称，所以选项C错误，不符合题意；

对于D,由于々＞0,当x＜（）时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题

意.

故选：D.

6.下列说法正确的是（）

A.掷一枚硬币时，反面朝上是必然事件

B.三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点

C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等

D.所有的矩形都相似

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、掷一枚硬币时，反面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件；错误;

B、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心；错误；

C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等；正确；

D、相似多边形要求对应角相等且对应边成比例，所有矩形对应用都相等，但对应边不一定成比例，因此不

是所有矩形都相似；错误.

7.如图，A8为。。的直径，/。=49。，点C、。是。。上的两点，则/A3C的大小为（）

A.49°B.41°C.51°D.53°

【答案】B

【解析】

【分析】由直径所时的圆周角是90。得出NACB=90。，根据直角三角形的两个锐角互余，结合圆周角定理

计算即可.

【详解】解：如图，连接AC,

•・•在。。中，A8为。。的直径,

.\Z4CB=90°,

•/NC48=NO=49。，

/.ZCBA=90°-ZC4B=41°.

8.如图，VA6c的内切圆。。分别与AA,3C,AC相切于点。，石，尸，且A6=7,CE=6,则VA6C的

周长为（）

A.32B.28C.26D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根据切线长定理得到AQ=AE,BD=BE,CE=CF,因此将VA3c的周长转化为2A5+2CE

即可求解.

【详解】解：・・・。解分别与A分8C,AC相切于点D,E,F,

AAD=AF,BD=BE，CE^CF,

C.nr=AB+BC+AC

=AB+BE+CE+AF+CF

=AB+BD+CE+AD+CE

=2AB+2CE

=2x7+2x6

=26.

asina1—cos。I

9.我们规定：若a是锐角，则tan工=--------=———，已知sin2〃=；,且2£为锐角，根据这个

21+cosasma3

规定求tan夕的结果是（）

A.3—2\/2B.----C.3+2-\/2D.3

3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查新定义运算与锐角三角函数的基本关系，先利用同角三角函数的平方关系求出COS24的

值，再对照题目给出的公式代入计算tan/即可.

【详解】解：•••24为锐角，sin2^=-,sin22/?+cos22^=1,

3

.Mh2MLflY2V2

••cos2p=-71-sin2p=J1--=----，

Y13J3

u3、，，“小Lasinal-cos«

・根据规定，a为锐角时，tan—=-------=—；-----,

21+cos«sma

12夜

令。=2/，a为锐角，可得tanp=l-cos2=_/_=±22、3=3—2夜.

sin2/13

3

故选：A.

10.如图，抛物线丁=依2+法+《々<0）与X轴交于A8两点，与y轴的正半轴交于点。，对称轴是直线

x=-l,其顶点在第二象限，给出以下结论：①当加。一1时，a-b>anr+bm^

②若ax；+bx}=ax}+bx2且x1^x2,则+x2=2；

③若OA=OC,则03=-'；

a

④若8（l,0）,C（0,3）,连接AC,点P在抛物线对称轴上，且NPC4=90。，则尸（—1,4）.其中正确

C.②③④D.©@@

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值、对称轴、与坐标轴的交点以及直角三角形的

存在性等知识点；解题的关键是利用二次函数的对称性和性质，结合代数运算与几何条件进行推理判断.

【详解】解：•・•抛物线y=ad+bx+c,a<0,对称轴为直线l=一1,顶点在第二象限.

①当初工一1时，

•・•抛物线开口向下，顶点在x=-l处取得最大值，

+/?（-1）+<?>am2+hm+c,

即a-b>am2+bm，此结论正确.

②若ax^+bx}=ax；+bx2且x产电，

则Q(X：-x；)+b(x}-x2)=0,

(%-工2)[〃($+Z)+力1=0，

•・•石WXj,

+X2)+力=(),

又,•一=-】，

2a

;.b=2a,

代人得a(七十々)+2a=。，

,.,。工0,

.•.4十々=-2,此结论错误.

③若。4=OC,C(0,c),OA=c,A点坐标为(-C。),

对称轴x=-1,

-c+Xf.,

--------2-=-1,

2

：♦xB=c~~2,即OB=c—2♦

将A(-c,0)代入y=ax2+lax+c,得

ac1—2ac+c=0»即c(ac—2a+1)=0,

Qc>0,

:.ac—2a+\=0»

「2」

••V乙9

a

/.OB=C-2=--,此结论正确.

a

④若3(1,0),C(0,3),

对称轴x=T,

厂.A(—3,0),

设抛物线解析式为y=a(x+3)(/-1),

代入C(0.3),得3=—3a,

v=­x~—2x+3♦

设P(T"),

QZPC4=90°,

/.PC2+AC2=PA2>

22222222

PC=l+(/-3),AC=3+3=18>PA=2+r,

.-.l+(r-3)2+18=4+r2,

1+产―61+9+18=4+〃，

-6r+28=4,

-6r=-24,

r=4,

/.A-1,4),此结论正确.

综上，①③④正确.

第口卷(非选择题共90分)

二、填空题(每小题3分，共计15分)

11.9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出

一张，正面的数是奇数的概率为.

【答案】j

【解析】

【分析】根据概率计算公式进行求解即可.

【详解】解：•门到9的自然数中奇数有1,3,5,7,9一共5个，总共有9个不同的自然数.

・•・从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为

9

12.如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网1.6m远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好珞球打过高为

0.9m的球网，而且落在离球网3.2m远的位置上，则球拍击球的高度”为m.

......阿"一

<3.2m-----►<—1.6/w—►

【答案】1.35

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可

得：13CA.AE,DE工AE，从而可得/AC3==，然后证明△AC8sZiAE。，从而利用相

似三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解：如图，

由题意得：BC1.AE,DE上AE,

:.ZACB=ZAED=90°,

•：ZBAC=ZDAE,

.△ACBSAAED,

.ACBC

'~AE~~DE，

.3.2=0.9

-3.2+1.6―~DE'

解得：OF=1.35

•・•球拍击球的高度〃为1.35m,

故答案为：1.35.

13.如图，正六边形ABCDEF内接于。0,若。O的半径为3,则阴影部分的面积为_（结果保留兀）.

D

【答案】37c

【解析】

【分析】首先连接OC,OE,分别交BD,DF于点M,N,易证得SAOBM二SgCM,同理：SAOFM=SADEN,则

可得S阴影二StilMJOCE.

D

解：连接oc,OE,分别交BD,DF于点M,N,

•••正六边形ABCDEF内接于

・・・NBOC=60。，ZBCD=ZCOE=120°,

VOB=OC,

•••△OBC是等边三角形，

.\ZOBC=ZOCB=60o,

.\ZOCD=ZOCB,

,:BC=CD,

/.ZCBD=ZCDM=30°,BM=DM,

/.ZOBM=30°,SADCM=SABCM»

/.ZOBM=ZCBD,

AOM=CM,

.,»SAOBM=SABCM»

•'•SAOHM=SADCM，

同理：SAOFN=SADEN»

・4__120x)x32

・•3»iB；=bc6形OCE=----------------=37T.

360

故答案为3兀.

此题考查了正多边形与圆的知识以及扇形的面积公式.注意证得S昭后SM谣OCE是关键.

14.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件上•元(20KXW30,且“为整数)出

售，可卖出(30-此件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元.

【答案】25

【解析】

【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润x销售量，每件利润:每件售价-每件进价.再根

据所列二次函数求最大值.

【洋解】解：设利润为w元，

则y(x-20)(30-A)=-(A-25)2+25»

V20<¥<30,

・•・当x=25时，二次函数有最大值25,

故答案是：25.

本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题，借助

二次函数解决实际问题.

15.如图，矩形ABC力中，AB=6,A力=10,点E在边上，且AE:E£>=1:4,动点P从点A出

发,沿A3运动到点B停止，过点E作所_LPE交射线3c于点“，连接Pb,点。是线段P尸的中点,

连接EQ,则

（1）当AP=2时，BQ=

（2）连接。。，则在点P运动的整个过程中，线段DQ长的最小值为

【答案】①.2石②.叟3

5

【解析】

【分析】（1）过广作/K_LAO于K,连接8。，证明四边形是矩形，可得

AK=BF,FK=AB=6.证明/长£产=45。=NKFE,可得EK=FK=6,最后根据直角三角形斜

边中线的性质求解即可.

（2）连接8EBQ,取8石的中点K,连接QK并延长与的延长线交于点《/,连接"，证明。在

班的垂直平分线上，即得出当Z）QJ_QK时，。。最小，结合勾股定理求出A/=8,证明

NBEA=NJDQ,即得出cosNBEA=cosNQOA=丝，再求出8七=2面，即可列出坐=叵，

JD1810

求解即可.

【详解】解：（1）过尸作尸K_LA£>于K,连接以2，

•・•矩形A8C。中，A3=6,A£>=10,

・・・CD=A8=6,8C=AQ=10,ZA=ZABC=ZBCD=ZD=90°

，四边形97K是矩形，

:.AK=BF,FK=AB=6.

VAE:ED=1:4,

***AE=2,DE=8.

•・•AP=2，

**.AE=APyBP=6-2=4,

:.ZAPE=ZAEP=45。.

■:EF上PE,

:./KEF=45。=NKFE,

・•・EK=FK=6,

:.AK=BF=8,

：•PF=y/BP2IBF2=V42I82=475-

•・•点。是线段Pb的中点，

・•・BQ=；PF=2后.

故答案为：2逃；

（2）如图，连接BE,BQ,取座的中点K,连接QK并延长与D4的延长线交于点J，连接

・•・EQ=-PF=BQ

2t

在座的垂直平分线上，

・•・当QK为线段BE的垂直平分线且DQ_LQK时，DQ最小,

：.JE=JB=AJ+2,EBHDQ.

•・•JB~=AB2+AJ2，

・・・(A7+2:=62+A/2,

・•・A/=8,

AJD=A/+AD=8+10=18.

•:EBUDQ,

・•・NBEA=/JDQ,

：,cosZ.BEA=cosZ.QDA=.

VAE=2,A8=6,NBA。=90。,

••・BE=M+G=2面，

.・.2"以=丝=4==亚,

BE2V1010

.QDM

1810

.・@W

・•・OQ的最小值为冬叵.

5

故答案为；2叵

5

本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐

角三角函数，线段垂直平分线的判定和性质等知识，较难.正确作出辅助线是解题关键.

三,解答题（共计75分）

16.（1）计算：2tan30-sin60+\/^cos45'-tan60'

（2）如图，在V46C中，点在边上，点£在4c边上，且AT>=4与，ZDEC-ZB,若

AE=2,EC=6,求A8的长.

【答案】⑴2-6；⑵4

【解析】

【分析】(1)将三角函数值代入计算即可；

(2)由=得到NADB=N3,进而得到NDEC=,因此NAEO=NADC，从而证明

△AEZK^ADC,根据相似三角形的性质求出40,即可解答.

【详解】解：(1)2tan300-sin60°+72cos450-tan60°

=2x旦立+丘克一道

322

=1+1—\/3

=2—>/3;

(2)VAD=AB.

；.ZADB=/B.

・.・ZDEC=NB,

:"DEC=ZADB,

・•・180°-ZDEC=180°-ZADB,

即ZAED=ZADC.

・・・NEAD=/DAC,

:.△AED^AADC.

AE_AD

••布一就.

・.・AE=2，EC=6,

:.AC=S.

2AD

•••____一___.

AD8

AD~=16.

：.AD=4.

\-AD=AB,

A8=4.

17.(1)如图，在RlAABC中，ZBAC=90°,将VA/C绕点A顺时针旋转90。后得到z\A夕C,点

8的对应点是点夕，点C的对应点是点C，连接CC.若AC=3,NCC§'=20。，求CC的长及N4

的度数.

c

（2）已知函数》二/一21+（_,的图象与x轴交于A3两点，与轴交于点。（0,—3）,根据图象回答下列

问题：

①点A坐标为，点B坐标为；

②当r取何值时，y>-3?:

③若二次函数），=/—2x+c•的图象与直线y=A有两个交点，则人的取值范围是____.

【答案】（1）CC=36，ZB=65°；（2）©（-1,0）,（3,0）；②x<0或x>2；③k>-4

【解析】

【分析】（1）旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等；

（2）结合二次函数的图象求解不等式的解集：将问题转化为关于上的方程有两个不相等的实数根，利用

元二次方程根的判别式求解.

【详解】解：（1）由旋转的性质得：AC=AC=3,N3ZC'=N3AC=90。，?B,

•*,CC—AC1+C'A2=3>/2»/-^CC—Z-ACC—45°,

•・•ZCC^=20°,

・•・ZABfC=ZACC+ZCCB'=65°,

・•・/B=65°.

（2）①将点C（0,-3）代入函数y=f—2x+c得：c=-3,

y=x2-2r-3,

将y=o代入函数）=/-2i-3得：X2-2X-3=0.

解得x=-l或x=3,

・・・A（-1,0）,8（3,0）.

②将）二一3代入函数），=/—2x—3得：犬―2工—3=—3,

解得x=0或x=2,

画图如下：

结合函数图象可知，当x<0或x>2时，y>-3.

三、fy=x2-2x-3

③联立〈得：x2-2x-3-k=0

y=k

•・•二次函数）=f-Z・3的图象与直线y=k有两个交点，

・•・关于x的一元二次方程V-2x-3-％=0有两个不相等的实数根,

・•・这个方程根的判别式△=（-2）2-4（-3-^）>0,

解得Z>-4.

18.2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为A8,C,O.体育老

师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的K片上，将这四张卜片背面朝上，洗匀放好.

（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到4（滑板）

的概率是

（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及.他先从这四张卡片中随机抽取一张不

放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取•张.请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的

两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率.

【答案】(1)

4

⑵-

6

【解析】

概率公式：概率=符合”肾总数

【分析】(1)

总情况数

（2）画树状图求概率.

【小问1详解】

解：恰好抽到8（滑板）的概率是《；

4

【小问2详解】

解：画树状图如下：

开始

ABCD

^T\

共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是4（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2,

21

・•・体育老师抽到的两张卡片恰好是4（冰壶）和C（匹克球）的概率为：P=—=~,

126

19.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点。恰好看到一颗星星,

此时淇淇距窗户的水平距离8Q=4m，仰角为夕；淇淇向前走了3m后到达点D,透过点尸恰好看到月亮，

仰角为《，如图是示意图.已知，淇淇的限睛与水平地面8。的距离A3=CD=1.6m,点尸到8。的距离

PQ=2.6m,AC的延长线交尸。于点E.（注：图中所有点均在同一平面）

DQ

（1）求夕的大小及tana的值；

（2）求CP的长及sinNAPC的值.

【答案】（1）45°,

4

—噂

【解析】

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键;

（1）根据题意先求解Cf=PE=lm,再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

（2）利用勾股定理先求解CP=J5m,如图，过C作C”_LA尸于H,结合

\

tana=tanZ.PAE=——二一，设C/7=xm,则A〃=4xm,再建立方程求解％,即可得到答案.

AH4

【小问1详解】

解：由题意可得：PQ-LAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=8Q=4（m）,4c=8力=3（m）,

・・・CE=4-3=1（m）,PE=2.6-1.6=l（m）,ZC£P=90°,

：.CE=PE,

PEI

：.§=Z.CPE=45°,tana=tanZ.PAE=----=—；

AE4

【小问2详解】

解：•：CE=PE=lm,/CEP=90°,

：,CP=Vl2+12=0m，

如图，过。作C”_LAP于，,

BDQ

CH]

*.*tana=tanZPAE=----=一，设CH=xm,则AH=4xm,

All4

.\X2+（4X）2=AC2=9,

解律.噜

3Vl7

~TT=34.

''sinZAPC=—

CP"72

20.如图，在△A8C中，AB=AC,以A8为直径的。。分别与8C,AC交于点。，E,过点。作

DFA.AC,垂足为点E

o

B---6C

(1)求证：直线。”是。。的切线；

(2)求证：^C2=4CFMC.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)连接O。、AD,由AS为圆的直径得到N4Z)B=90。，由等腰△4BC的“三线合一”得到力为

BC的中点，进而得到。。为△ABC的中位线，由此得到即可得到/。川三/。H>90。进而证

明；

(2)连接A。，证明△COPs/xcA。，进而得到CO=ar.。，再由8C=2c。代入即可证明.

【小问1详解】

证明：连接0。、AD,如下图所示：

•••48为圆0直径,

/.Z4D^=90°,

\'AB=AC,由等腰三角形的“三线合一”可知,

・・・。为BC的中点,

又。为的中点,

・・・。。为△43C的中位线,

OD〃AC,

・•・4ODF=4DFC,

由已知。r_LAC,

N0DF=NDFC=9()°,

・・・。尸为。。的切线.

小问2详解】

证明：连接4D，如卜图所示:

由(1)中可知：ZADC=ZADB=90c=ZDFC,

又NC=NC,

/.△CDF^ACAD,

CDCF

:.一=一，

CACD

整理得到：CD2=CFCA,

又CD=>BC,代入上式，-B^CF^AC,

24

••・5G=4CF・AC.

本题考杳了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握等腰三

角形的性质、圆的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，一次函数)，=2x+m的图象与x轴，y轴交于

4—3,0),8两点，与反比例函数y=K(kwO)的图象交于点

X

(1)求，〃和人的值;

(2)已知四边形O引龙是正方形，点P在反比例函数y=g(AwO)第三象限的图象上.当么OBP的面

积等r正方形OBOE面积的一半时，求点尸的坐标.

【答案】(1)w=6,k=8

【解析】

【分析】本题考查一次函数和反匕例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式.

(1)把A的坐标代入y=2x+〃z,即可求出相=6,把C(L〃)代入y=2/+6,求出〃=8,把C(l,8)代入

y=-,求出左二8；

x

O11

⑵设〃的坐标是(媳)，由△OBP的面积等于正方形O3OE面积的一半，得到一。8•(一份=一。公，求

b22

解〃，即可求解坐标.

【小问I详解】

解：•・,一次函数y=2x+〃z的图象过A(—3,0),

/.2x(-3)+〃?=0,

〃2=6,

•・・C(l,〃)在函数y=2工+6的图象上，

."./i=2xl+6=8,

•・・C(L8)在函数)，=&图象上，

x

A=8：

【小问2详解】

Q

解：设P的坐标是也力，

b

•・•△O8P的面积等于正方形08DE面积的一半

:.b=-OB=-6,

84

•・一,

b3

4

.•.p的坐标是(一6,-]).

22.综合与实践

一块直角三角形木板，它的一条直角边3c长2m，AABC的面积为1.5m2.

形桌面的边长；另一个图形直掾写出正方形桌面边长的结果即可;

（2）丙、丁两人分别按图3,图4的设计加工一个长方形桌面.请从图3,图4中任选一个图形求出长方

形桌面的面积Mm?）与QE的长x（m）之间的函数表达式，并求出面积）（m?）的最大值（说明：若两个

图形都作答，仅对排列在前的答案评分）.

Aan

【答案】（1）图1正方形的边长为一m：（图2的正方形边长为一m）：

737

3，33

（2）在图3中，y=—（X—1）H—,当x=lm时，长方形的面积有最大值为一nr；在图4中,

444

y=-—+-，当x=：m时，长方形的面积有最大值为gm?：

25（4）444

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关

性质内容是解题的关键.

（1）先运用勾股定理算出AB=J5c-+AC-=2.5（m）,再运用正方形的性质分别证明

R^ADE^Rt^ACB,RuDEC^Rt^ABC,Rt^ADG^Rt^ABC,然后代入数值，正行计算，即

可作答.

3、,3

（2）与（1）同理证明RIA4/）ESRS4C8,则长方形的面积y=OExOC=—」（x—l）-+工，结合二

44

3

次函数的图象性质得当x=lm时.长方形的面积有最大值为二in?.,然后证明RLOECsRt~43C,

4

12（5丫3

Rt△八DGsRt&iBC,再把数值代入长方形的面积y=OExDG,化简得）,=—匕x--+-,结

-2514）4

合二次函数的图象性质进行作答即可.

【小问1详解】

解：图1：V/?C=2m,AABC的面积为1.5m2.

1.5

*AC%4(m)

2

AAB=yjBC2+AC2=2.5(m).

设正方形的边长为

•・•四边形CD所是正方形

ADE//CF,ZADE=ZC=90°,DE=CD=x,AD=1.5—x,

•••ZA=Z4

x1.5-x

即一二------，

21.5

解得了='(m).

曲正方形的边长为加

图2：・・•四边形GDE尸是正方形

・•・DEHGF.

・•・/CED=ZB,ZEDC=ZA

・•.DECsAB。，

DCAC3

得Z!l——=——=-

DEAB5

DC3

即---=—»

DE5

3

DC=­x.

5

33

AD=AC-DC=------x,