2026年初中数学中考复习：几何最值问题

微专题42几何最值问题

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

方法解读

类型一定一动型一定两动型

P是直线/外的定点，”是直线/上的动M是内部的定点，N,P分别是A8,

条件

点八C上的动点

结论线段P”是点P到直线/的最短距离PM+PN的最小值为MN的长

1.（人教八上练习改编）如图，在等边△A3C中，A3=4,点。是边上的动点，则线段

AD的最小值是.

A

RI)(

第1题图

2.（2024东莞模拟）如图，在等边中，48=6,点P是边上的动点，将△43P绕

点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点。是4c边的中点，连接DQ,则DQ的最小值是.

第2题图

3.如图，在△A3C中，ZABC=35°,。是边AC上一点，E,尸分别是射线BA,8C上异

于点B的动点，连接DB,DE,EF,若NCBD=1（）°,80=6,则DE+EF的最小值为.

第1页共19页

4.（2024中山模拟）如图，在RSA8C中，N4=9（）°,M为的中点，H为AB上一点、,

过点C作CG〃AB,交的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACG〃周长的最小

值是.

第4题图

5.（2024梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=x+6的图象与x轴交于点4

与y轴交于点3,点P在线段4?上，PC_Lx轴于点C,则△PCO周长的最小值为.

第5题图

6.如图，在等腰△ABC中，N84C=45°,AB=AC,点尸，Q,R分别为边BC,AB,AC

上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，则NPQR+NPRQ的度数为.

第6题图

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

方法解读

类型两定点+一动点型一定点+两动点型两定点+定长型

异侧同侧尸是NAO8内部的定

A,8是定点，M,N分别是

条件A，B是定点，P是直线/上的点，M,N分别是OA,

/i,上上的动点，且MN_L/i

动点OB上的动点

第2页共19页

PA+P8的最尸A+P8的最

△尸MN周长的最小值AM+MN+BN的最小值为

结论小值为AB的小值为A夕的

为尸P"的长A'B+MN的长

长长

1.（北师九上随堂练习改编）如图，在边长为4的正方形A3C。中，E为边AB上一点,且

AE=1,尸为对角线8。上一动点，连接EF,CF,则牙'+C户的最小值为.

第1题图

2.如图，在等腰△ABC中，AB=BC,AC=3,BC的垂直平分线DE分别交AB,BC边于点

D,E,产为AC边的中点，P为线段OE上一动点，若AABC的面积是9,则PC+Pb的最小

值为.

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=*d+乐+c与x轴交于点A,B（4,0）,与

y轴交于点。（0,—3）.点。是抛物线对称轴上一点，连接A。、CP,当AP+CP的值最小时,

点P的坐标为.

)1

4.如图，在矩形ABCO中，AB=3,AO=2,E,b分别是AB,C。上的动点，EF//BC,则

AF+EF+CE的最小值为.

第3页共19页

第4题图

5.（2024香洲区二模）如图，点4（1,M和3（〃，2）在反比例函数y=：的图象上，点C,

。分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，连接A8,BC,CD,DA,则四边形A8CQ周长

的最小值为.

类型三与圆有关的最值问题（6年5考）

考向1点圆、线圆最值问题

方法一点圆最值问题

方法解读

条件：如图，平面内一定点。和OO,E是。。上的动点，连接OE.

结论：当圆心。在线段OE上时，DE取得最大值（图①），当圆心。在QE的延长线上时，

OE取得最小值（图②）.

1.如图，在矩形A8C。中，A3=3,8C=4,。。的半径为1,若圆心。在矩形A8CO的边

卜运动.则点。到。O卜的点的距离的最大值为.

第1题图

第4页共19页

2.（2024珠海模拟）如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点P是。M上的

任意一点，PA±PBf且PA,尸8与x轴分别交于A,3两点.若点A,点5关于原点O对称,

3.（2024东莞一模）如图，抛物线），=¥-4与x轴交于A，B两点,尸是以点。（0,3）为

圆心，2为半径的圆上的动点，连接尸A,点Q是线段PA的中点，连接O。，则线段OQ的最

大值是.

第3题图

方法二线圆最值问题

方法解读

图①图②

条件：如图，O。与直线/相离，设。。的半径为心圆心。到直线/的距离为d,0是O。上

的动点.

结论：点。到直线/的最小距离为d—，•（图①），最大距离为d+r（图②）.

4.如图，在矩形A6c。中，A6=4,BC=3,以点/为圆心，1为半径作圆，〃是。/上一

动点，。是对角线AC上一动点，则PQ的最小值为

第5页共19页

5.如图，在矩形A3CO中，AB=3,BC=4,0为矩形A3C。的中心，以点。为圆心，1为

半经作。O,P为。。上的一个动点，连接APOP,04,则aAOP面积的最大值为.

6.如图，在RSABC中，4B=4,BC=2,NABC=90°,半径为1的O。在斜边AC上滚

动，点。是OO上一点，则四边形A8CQ的最大面积为.

考向2利用辅助圆求最值（6年4考）

方法一定点定长作圆（2021.10）

方法解读

原理：圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.

情形：在平面内，点A为定点，点区为动点，且A3长度固定.

动点轨迹：动点3的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分.

1.（2020广东17题4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于

梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平

面内的线或点，模型如图，NABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上，MN长度始终保

持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到84,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，

猫与老鼠的距离DE的最小值为.

第1题图

第6页共19页

2.（2024烟台）如图，在口A3CO中，ZC=120°,AB=S,BC=1（）.七为边CQ的中点，F

为边AD上的一动点，将^DEF沿EF翻折得△DEF,连接AD\BD'.则448。面积的最小

值为.

3.如图，在菱形A8CO中，A8=6,ZABC=60°,E为BC上一动点,连接。E,作点C

关于直线OE的对称点F,连接8F,则8/的最小值为.

第3题图

方法二定弦定角作圆（6年2考：2021.10,17）

方法解读

情形：如图，在△ABC中，ZC（a）为定角,所对的弦AB长度固定.

动点轨迹：（1）当0VaV90°时，点。的轨迹如图①所示，即初；（2）当a=90°时，

点C的轨迹如图②所示，即。0（不含A,B两点）；［3）当900<a<180°时，点。的轨

迹如图③所示，即翁.

第7页共19页

第4题图

4.（2024梅州市一模）在直角△ABC中，ZACB=90°,AC=4,5c=6,点P是△ABC内

一点，满足NCBP=NACP则PA的最小值为.

5.（2021广东17题4分）在△ABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个

动点，NAO8=45°,贝IJ线段CQ长度的最小值为.

6.（2021广东10题改编）设。为坐标原点，点为抛物线），=f上的两个动点，且OAJ•。比

连接点4,B,过点。作。于点C,则点。到），轴距离的最大值为.

方法三四点共圆（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解读

情况一（同侧型）：如图①②，线段A8长度为情况二（异侧型）：如图③，由点A,

条件定值，点C,。为AB同侧两动点，且NAC8=B,C,。构成的四边形中，ZADC

ZADB+NA3C=180°

D..C

类型

图①图②图③

结论A,B,C,。四点共圆

7.（人教八上练习改编）如图，在△ABC和△4。中，ZABC=ZXDC=45°,AC=6,则

AD的最大值为.

第7题图

8.如图，在RQABC中，乙4cB=90°,AC=BC=4,。是斜边A3上一动点，连接。，

将线段CD绕点。逆时针旋转90°得到CE,连接4E,DE,。是。石的中点，连接OC,。4,

则AO的最小值为.

4I)R

第8题图

第8页共19页

9.如图，在菱形ABC。中，NA3c=60°,AB=6,点E,尸分别是边3C,A8上的点，且

AF=BE,连接CT与AE交于点G,连接OG,则0G的最大值为.

AD

疔

REC

第9题图

儿何画板动态演示

S

四点共圆求最值

类型四利用二次函数性质解决最值问题

[6年2考：2022.23(2),2021.9]

方法解读

要求y=aF+公+c(〃=0)的最值，可将解析式化为顶点式，确定其对称轴是否在自变量x

的取值范围内，再画出图象，利用数形结合思想及所给端点与对称轴的距离，依据二次函数增

减性求最值.

1.(2021广东9题3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,

此公式与古希腊儿何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为〃，儿c,记〃

=f±£,则其面积S=Jp(p-a)(p-b)(p-c).这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若〃

=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如图，二次函数》=一步一，+2的图象与x轴交于4,3两点，与y轴交于点C,且。

(加，〃)是第二象限内抛物线上一点，则四边形。的面积的最大值为.

第2题图

3.如图，RtZkABC中，ZC=90°,AC=8C=4,点。是4c的中点，点E是A8上一动点,

点厂是BC上一动点，且点E不与端点重合，ZDEF=45°,则8/的最大值为.

AFR

第9页共19页

第3题图

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

1.2V3【解析】如解图，过点A作AUJ_8c于点根据垂线段最短可知，当点。与点

。'重合时，AO的值最小.•・・△ABC为等边三角形，・・・3C=AB=4,・・・3ZT=C»=??C=2,・・.A£T

=JAB2—BD，2=26,・,・线段A。的最小值是2V1

H1)'I)C

第1题解图

2.苧【解析】•「△ABC是等边三角形，・・.N8=NAC8=60°,AB=AC=6,如解图，过

点。作。QLLCQ于点0,由旋转可得NACQ=NB=6()°,・,•点Q为射线CQ上的动点，又

•・・/ACB=60°,.,.ZBC2=120°,..•点。是AC边的中点，：.CD=^AC=3,当。Q_LCQ

时,。。的长最小，此时，点。与。重合，NCQQ，=30°,・,・CQrCO=|,・・・DQ，=JOC2—CQ，

=竽，・・・OQ的最小值是竽.

第2题解图

3.38【解析】如解图，作点。关于B4的对称点连接。》,B。,过点。作BC的垂

线交BA于点E,交BC于点、F,由对称的性质得。£=。匹，/.DE+EF=D'E~\-EF=D'F,此

时Z)E+E/的值最小，最小值为线段。户的长.・・・NABC=35°,NCBD=10°,BD=6,

；・/DBA=NDBA=/ABC—NCBD=25°,BD'=BD=6,，NCBQ'=35+25°=60°,

・・・DN=msin6()。=6X曰=38，，。七十七厂的最小值为

第10页共19页

ir

4.22【解析】・.・CG〃AB,:・/B=/MCG,TM是BC的中点，:・BM=CM,在和

(姐=0MCG

BM=CM,/.△BMH^ACMG(ASA),：.HM=GM,BH=CG,V^B=6,

回=0CMG

AC=8,・••四边形ACG”的底长=AC+CG+GH+A”=AB+AC+G"=14+G〃，如解图，当

GH最小时，即口寸，四边形ACG//的周长有最小值，;NA=90°,G"J_AB,，G，〃4C,

・•・四边形ACG”为矩形，・・.G”=AC=8,・•・四边形ACG"周长的最小值为14+8=22.

第4题解图

5.3痘+6【解析】由直线y=x+6的解析式得，当x=0时，y=x+6=6,当y=0时，x+6

=0，解得x=-6,•.•一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,，4(—6,

0),8(0,6),则OA=OB=6,•二△AB。是等腰直角三角形，由题意，可设点尸的坐标为3,

。+6)(—6＜。＜0),VPClx^,：.OC=-cb0。=。+6,・•・△PCO的周长为OC+PC+。尸

=一〃+。+6+。尸=6+OP,则求△PCO周长的最小值只要求出。。的最小值即可，如解图，

过点。作OOJ_A8于点D,则OP的最小值为OD的长，即此时点P与点D重合，：0Q_LA8,

：.AD=BDf：.OD=^AB=^X/62+62=3近，二△PC。周长的最小值为6+00=3a+6.

第5题解图

6.90°【解析】如解图，作点尸关于AB的对称点尸，关于AC的对称点尸"，连接尸7”,

分别交48,AC于点Q,R,连接AP,4P".则P'Q=PQ,P"R=PR,AP=AP'=4P”,ZP'AQ

=/PAQ,/P”AR=/PAR,:,C△PQR=PQ+QR+PR=P'Q+QR+P〃R=P'P",/P'AP”=

第11页共19页

ZP'AQ-\-ZPAQ+ZP,fAR+ZPA7?=2ZBAC=2X45°=90°,二△4尸F”为等腰直角三角形,

AP=AP'=AP",:.P，P〃=gP,当AP_L8C时，AP最短，即△PQR周长最小，此时NAP'。

=ZAPQ=45°,NAP"R=NAPR=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPR()=90°.

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

1.5【解析】如解图，连接CE交8。于点/，・・・E/+C7?2CE,J当点”与点F重合，即

C,F,E三点共线时,ER+CF有最小值,最小值为CE的长.;四边形ABCD为正方形，，ZABC

=90°,AB=BC=4tVAE=1,：.BE=3,在Rs8CE中，由勾股定理，得CE=,E2+BC2

=5,・・・EF+C/的最小值为5.

第1题解图

2.6【解析】如解图，连接3P.TOE是线段3c的垂直平分线，，点8与C关于OE对称,

BP=CP,:・PC+PF=BP+PF，BF,当B,P,b三点共线时，PC+P/最小.・.・/为AC边的

中点，AB=BC,：.BF1AC,：.S^ABC=^ACBF=9.VAC=3,:.BF=6,・"。+尸产的最小值

为6.

第2题解图

3.(|,一费)【解析】如解图，连接8。交抛物线对称轴于点P,此时AP+CP的值最小，;

z9

12+4/?+「=0(b=一一

(c二3一，解得_；，・•・抛物线表达式为y=o¥

一，一3,・••抛物线对称轴为直线x=|,设直线8C的表达式为尸〃a+〃(机W0),将3(4,0),

第12页共19页

n=—3(m=­

C(0,-3)代入y=〃tr+〃中，得，，解得｝4，，直线BC的表达式为y=Q-x—3,

(4m+n=0(n=-34

当刀三时，尸一孩.・,•点户的坐标为(|,谭).

4.7【解析】由题意知E/=3C=AO=2,如解图，过点尸作/G〃CE,交3c延长线于点G,

连接AG,，：EF〃BC,，四边形EFGC为平行四边形，・・・CE=GRCG=EF=2,贝ljAb+CE

=AF+R724G,・••当A,F,G三点共线时，AE+CE取得最小值，最小值为AG的长，♦:BG

—BC+CG-4,・••在RsABG中，入6-■82+叱-5,：.AG+EF~1,.・・AF+EE+CE的

最小值为7.

第4题解图

5.4V5【解析】丁点A(l,⑺和8(〃，2)在反比例函数产:的图象上，，相=4,〃=2,・・・A(1,

4),3(2,2),：.AB=y[5f如解图，分别作点A关于)，轴的对称点4,作点B关于x轴的对称

点方，连接交y轴于点D交工轴于点C,此时四边形八8CQ的周长最小，最小值为

+A5的值.根据对称的性质，得4(-1,4),BQ,-2),・・・A戌=3遍，・••四边形A5CD周长

的最小值为3V54-V5=4V5.

类型三与圆有关的最值问题

第13页共19页

考向1点圆、线圆最值问题

1.6【解析】如解图，在。。上任取一点£,连接OEMCE\则CEWCO+OE1当C、O、

足三点共线时，CE取得最大值，即当点石与？重合时，CE取最大值，要求CE的最大值，即

求CO的最大值.连接AC,•・•C0W4C,・•・当点0与点八重合时,C0取得最大值时.在RtAABC

中，・.・4B=3,BC=4,：.AC=5,JOC故大=5,.'CE最x=OC及大+OE=6..••点。到O。上的

点的距离的最大值为6.

第1题解图

2.(-6,0)【解析】如解图，连接PO,・・・PA_LPB,・・.N4P8=9(T,•・•点A、点B关于原

点。对称，・・・40=8。=尸O,・・・A8=2PO,若要使AB取得最小值，则尸。需取得最小值，连

接OM交OM于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作轴于点。，

•・•历(6,8),贝IJOQ=6,M0=8,.・.OM=10,又・.・MP'=〃=4,・・.0P'=M0-M尸=10—4=6,

：.0A=0P,=6,・••点A坐标为(一6,0).

第2题解图

3.：【解析】如解图，连接8P,当y=()时，9一4=(),解得的=4,X2=-4,则A(—4,

0),8(4,0),・・・。8=4,・.,。是线段PA的中点，・・・。。为aAB尸的中位线，・・・O0=4P,当

2

最大时，OQ最大，当8P过圆心C时，PB最大,如解图，当点尸运动到P位置时，BP

最大，此时，。。取得最大值，最大值为/•・・C(0,3),：.OC=3,：.BC=JoB2+OC2=5,

・・・BP，=5+2=7,・••线段OQ的最大值是最

第3题解图

第14页共19页

4.1【解析】如解图，过点3作BQ_LAC于点Q,交0B于点P,此时PQ的值最小..・•在

矩形A3C。中，A3=4,BC=3,的半径为1,・・.AC=AB2+BC2=42+32=5,BP=1,

・・・sinNAC8=*=^W，解得8Q=?・・・PQ=8Q—8P=^—1W.・・・PQ的最小值为:

ACoC55555

第4题解图

5.；【解析】如解图，连接。C,当点P到AC的距离最大时，^A。尸的面积最大，过点。

4

作AC的垂线，与。。在矩形ABC。外交于点P,交AC于点M,此时△AOP的面积最大.「

在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,：.AC=J/1F2+5C2=5,AO=4,：.0A=1,-：^\DDC=

-ACDM,：.DM=—：.PM=PD+DM=1,J△AO尸面积的最大值为20ApM=

25f552

1v517_17

2254

«c

第5题解图

6.4+2V5【解析】・・・4B=4,BC=2,ZABC=90°,：.AC=JAB2+BC2=2V5.'：SVMABCD

=S△八BC+SAACO,SA/18C=gABBC=4,・••当SAACO取得最大值时，S四边形ABC/)有最大值.如解图，

过点。作OE_LAC于点E,过点。作OF_LAC于点F,连接0。，・・・。/乏0。+0凡.・・当。,

O,厂三点共线，即当点七与点尸重合时，OE取得最大值，最大值即为00+0”的值...,。0

在AC上滚动，・・・OF=1,・・・QE用大=。。+。尸=2,・・・5厂少果大=，仁。石果大=，X2bX2=2遥，

S四边形AHCD域大=SAARC~\~5AACD最大=4+25/5.

I)

©

第6题解图

考向2利用辅助圆求最值

第15页共19页

1.2V5-2【解析】如解图，连接BE,BD.由题意得J22+42=2V5,VZMBA/=90°,

MN=4,E为MN的中点，・・.8E=，/N=2,・,•点E的运动轨迹是以点8为圆心，2为半径的

弧，，当点E落在线段上时，。上的值最小，・・・3E的最小值为2遥一2.

第1题解图

2.2075—16【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，过点E作EGJ_A3交区4

的延长线于点G,交OE于点。，此时△48。，的面积最小，•・,在nABCQ中，ZC=120°,

・・・/A8C=60°,VBC=10,易得AB与CO间的距离为5K，:・EG=5痘,;七为边C。的

中点，：.DE=D'E=^CD=4f・・・GO'=5百一4,••・义人即的最小值为1乂8乂(58—4)=20百一

16.

3.6V3-6【解析】如解图，连接。F,根据对称性质可知力F=CQ,•四边形片BCO为菱

形，・・.A4=AO=8=Q"=6,・,•点〃的运动轨迹为以点。为圆心，8长为半径的念，连接

交诧于点G,当B,F,。三点共线，即点尸与点G重合时，的值最小，最小值为8G

的长，过点A作。于点M,•・•在菱形A3C。中，ZABC=60°,AZABD=30°,在

RtAABMBM=ABcos30°=3®：.BD=6®,:DG=AD=6,：.BG=BD-DG=6如一

6,即B尸的最小值为675-6.

第3题解图

4.2【解析】如解图，取BC的中点。，以8c为直径作。O,与AB交于点E,连接OP,

AO,・.・NAC8=90°，，/ACP+N8cp=90°,9：ZCBP=ZACP,：.ZCBP+ZBCP=90Q,

：.ZCPB=90°,・••点。在以8c为直径的圆弧CE上运动，AP^AO-OP,:•当点P,A,O

第16页共19页

三点共线时，PA有最小值，•・•点。是8C的中点，BC=6,ZBPC=90°,：.PO=CO=^C

=3,在RtZkACO中，VAC=4,：.AO=JoC2+AC2=^32+42=5,1.PA的最小值=5—3

=2.

第4题解图

5.V5-V2【解析】如解图，根据定弦定角，确定的外接圆O。，点。在。。的优弧

曲上运动，连接4。，BO,DO,CD,03过点。作0口L8C于点F,VZADB=45°,

AZAOB=90°，•:OA=OB,AB=2,二△OAB是等腰直角三角形，・・・。人=。3=%8=/,

乙48。=45°,：.ZOBF=^ABC-ZABO=45Q,・・.△0B尸是等腰直角三角形，,。尸=8尸

=*B=1,VBC=3,:.FC=BC—BF=2,：.OC=JOF2+FC2=V5,VOD+CD^OC,：.

当点。运动到OC与。。的交点七时.，CO的值最小，最小值为OC—OE,即花一&.

第5题解图

6.1【解析】设A（a,。2）,B（b,Z?2）,则直线OA的解析式为y=or,0A±OB,koA-kon

=—1,，如⑶=一T，・••直线。B的解析式为y=—3,将点B（。，/）代入y=一%中，得匕2=

1111（a2=7na-hn

一二由，：・b=-—,—）,设直线AB的解析式为y=mr+〃（〃7W0）,，,

aa1

aQ--=ni-（--）+n

解得（m=Q—£.••直线AB的解析式为y=（a—3x+l,如解图，设AB与y轴交于点。，当x

=0时，），=1,・・・。（0,1）,即0。=1,・・・0。_1_4g.••点C在以0。为直径的圆上，当点C

在半圆。。的中点处时，点。到），轴的距离最大，此时0C=CD,过点C作CE_L。。于点E,

・・・。。是直径，・・・/OCQ=90°,：.CE=DE=^OD=\,

第17页共19页

第6题解图

7.6V2【解析】9：ZABC=ZADC=45°,AA,B,C,Q四点共圆，AC为O。的弦，如

解图，当A。为O。的直径时，AO取得最大值，此时乙48=90°,・・・4C=6