2026中考数学第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+专项演练）第18课时：相似三角形及其应用

2026年中考第一轮复习

（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

第18课时相似三角形及其应用

一、核心知识

<-）相似三角形的基本概念

相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形,其

对应角相等，对应边成比例。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三

角形，用符号s表示，书写时对应顶点需依次排列（如△ABCs4DEF,A与D、

B与E、C与F为对应顶点）。

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比,若△ABCS/\DEF的相

似比为k,则△DEFS/\ABC的相似比为kT；相似比为1时，两个三角形

全等（全等是相似的特殊情况）。

（-）相似三角形的核心性质

角的性质：对•应角相等；

边的性质：对应边成比例；

线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；

周长与面积性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平

延伸性质：相似三用形的一切对应线段的比均等于相似比，对应图形

的面积比为相似比的平方0

（三）相似三角形的判定定理（中考必考）

基本判定（通用三角形）

平行线判定：平行于二角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相

交_，所构成的三角形与原三角形相似（A型、X型相似，最基础判定）：

两角判定（AA）：两角分别相等的两个三角形相似（中考最常用，优先

找公共角、对顶角、同位角）；

两边夹角判定（SAS）：两边一对应成比例且夹角相等的两个三角形

相似（注意：角必须是两边的夹角，非夹角不成立）；

三边判定（SSS）：三边一对应成比例的两个三角形相似。

特殊判定（直角三角形，除通用判定外新增）

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原三角形都相似（双垂

直模型）；

一个锐角的两个直角三角形相似；

斜边和一条直角边一对应成比例的两个直角三角形相似。注意：SSA、AAA

不能判定一般三角形相似。

（四）相似三角形的常见基本模型（中考高频）

A型（正A/斜A）：公共角在顶点，一边平行于底边（DE〃BC-AADE

^△ABC/AADE^AACB）；

X型（八字型）：对顶角为公共角，两边互相平行（AB〃CDf△AOBs^DOC）；

K型（一线三等角）：同一直线上有三个相等角，常为直角（NA=NDCE=

ZB=90°-AACD-ABEC）；

双垂直模型：RtAABC中，CD±AB-*AABC^△ACD^ACBD；

（五）位似图形（与相似结合考查）

定义：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于一点，对应

边互相平行（或共线）,这个点叫做位似中心，位似图形是一相

似图形的特殊形式;

性质：位似比等于相似比，对应点到位似中心的距离比等于位似

作图：分内位似（位似中心在图形内部）和外位似（位似中心在图形外部），

按位似比截取对应边即可。

（六）相似三角形的实际应用核心思路

将实际问题转化为数学相似模型，通过找相等角构建相似三角形，利用

“对应边成比例”列方程求解,常见场景：测量物体高度、河宽、航海测距、

影子问题、平面镜反射问题。

二、核心能力

（-）相似三角形的判定

题型1:相似三角形的判定

解题思路

先找角，再看边

有平行线f直接用平行线判定定理（A型/X型）；

有公共角/对顶角/已知等角一优先找另一组等角，用AA判定；

有两边成比例一验证夹角是否相等，用SAS判定：

无角相等一计算三边比例，用SSS判定；

直角三角形一优先用锐角相等或双垂直模型，再考虑HL型相似。

（-）相似三角形的性质应用

题型2：利用相似三角形的性质计算

解题思路

线段/边长计算：找准对应边，列比例式，设未知数求解（关键：标注对

应顶点，避免对应边找错）；

周长/面积计算:周长比直接等于相似比；面积比先转化为相似比的平方，

已知面积比则开方求相似比:

高/中线/角平分线计算：直接利用“对应线段比二相似比”列比例

式求解。

（三）相似三角形的综合证明

题型3：相似三角形的综合证明

解题思路

证明线段成比例：将比例式转化为三角形相似，证出相似后直接得对应边成

比例；

证明线段相等：先证三角形相似，得对应边成比例，再结合已知相等线段，

推导出所求线段相等；

证明垂直/平行；通过相似得对应角相等，再结合角的关系（如同位角相

等、内错角相等、互余）证明垂直/平行。

（四）相似三角形的实际应用题型

题型4：相似三角形的综合证明

常见模型及解题步骤：

标杆测量物体高度：构建A型相似，标杆高/物体高=观测者到标杆距

离/观测者到物体距离；

影子测量物体高度：同一时刻，物体高度/影长二参照物高度/参照物

影长（相似三角形的末应边成比例）；

平面镜反射测量高度：利用“反射角二入射角”构建相等角，形成相似

三角形；

测量河宽：构建X型/A型相似，将河宽转化为相似三角形的对应边，列

比例求解。通用步骤：①审题，画出几何图形；②找相等角，构建相似三角形;

③设未知数，列比例式；④解方程，检验并作答。

三、易错警示

对应点错误

错误：未按对应顶点找对应边，如将△ABCS^DEF的对应边写成DI7AB=

DE/BC；

提醒：根据相等角的对边确定对应边，或严格按照书写顺序找对应边。

误用相似判定

错误：两边成比例，但夹角不是对应角，直接证相似；

提醒：SAS判定的“角”必须是两边的夹角，非夹角则为SSA,不能判定

相似。

面积比与相似比混淆

错误:面积比与相,以比混淆：认为相似三角形的面积比等于相似比；

提醒：牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积比

开方得相似比。

忽略多解情况

错误:等腰三角形、直角三角形相似时，未考虑边的不同对应关系；

提醒：遇等腰/直角三角形相似，分类讨论不同的对应方式，避免漏解。

位似与相似混淆

错误:认为所有相似图形都是位似图形；

提醒：位似图形必须满足对应顶点连线交于一点，相似图形不一定是位似图

形。

U!、真题演练

(-)选择题演练(2023-2025年中考真题/模拟题)

1.(24-25•广东模拟)如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形

(阴影部分)与△ABCttH以的是()

A

BC

【答案】A

【解析】根据勾股定理，易得出△ABC的三边的边长，故只需分别求出各选

项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可.

【解答】解：由题意知，在△ABC中，AC=Vl2+I2=V2,BC=2,AB=

Vl2+32=V10,A.三边各为：1,V2,V/+22=遥与△ABC中的三边能对

应成比例，故两三角形相似，符合题意；

B.三边各为：V2,3,712+22=心与△ABC中的三边不能对应成比例,

故两三角形不相似；

C.三边各为：1,2V2,712+22=/与△ABC中的三边对应成比例,故两三角

形相似；

D.三边各为：2,3+22=而,,32+22=仍百与4ABC中的三边不能对应

成比例，故两三角形不相似.

故此题答案为A.

2.(24-25•内蒙古中考)如图，在平面直角坐标系中，aOAB的顶点坐标

分别是。(0,0),A(2,l),B(l,2),以原点。为位似中心，在第三象限画aOA'B与

△OAB位似，若AOAB与aOAB的相似比为2:1,则点A的对应点A,的坐标为

()

A.(—2,—1)B.(-4,—2)C.(-1,—2)D.(-2,—4)

【答案】B

【解析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的

位置是解题的关键.利用相似比为2:1,A(2,l),直接利用相似比可得出坐标.

【解答】解：•・•△OA'B'与40AB位似，相似比为2:1,

.・.OB:OB=1:2=OA:OA‘，

・・・A(2,1),位似中心为原点0,

A(-4,-2),

故选：B.

3.(24-25•贵州模拟)如图，B、A、E三点共线，C、A、D三点共线，在

下列四个条件中：①NADE=ZABC；②NAED=NACB③AD.AC=AB.AE；

④器="，不能满足&ABC八ADE的条件是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

【解析】此题暂无解析

【解答】D

4.（23-24*广西中考）如图，在五边形ABCDE中，AE//BC,延长BA,BC,

分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE八DCN,

则这个条件是（）

A.ZB+Z4=180°B.CD//ABC.Z1=Z4D.Z2=Z3

【答案】D

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当/B+

Z4=180。时，可证明CD||BM,由平行线的性质得到NCDN=ZAME,ZAEM=

ZCND,则可证明△MAEDCN,据此可判断A、B；由平行线的性质可得/I十

ZB=180°,则NB+N4=180。，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证

明^MAE八DCN.

【解答】解：A、ZB+Z4=180°,

•••CD||BM,

ZCDN=ZAME,

vAE//BC,

ZAEM=ZCND,

MAEDCN,故A不符合题意;

B、・.・CD〃AB,

ZCDN=ZAME,

vAE//BC,

ZAEM=ZCND,

MAE〜△DCN,故B不符合题意；

vAE//BC,

Z1+ZB=180°,

•••Z1=Z4,

:.NB+N4=180°,

:.CD||BM,

:.ZCDN=ZAME,

vAE//BC,

.•・ZAEM=ZCND,

MAEDCN,故C不符合题意；

D、根据N2=N3结合已知条件不能证明△MAEs/kDCN,故D符合题意；

故选：D.

5.(24-25•浙江中考)如图，五边形ABCDE,A'BCDE’是以坐标原点

。为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,

则D'E的长为()

79

-4-5

2B.2D.

【解析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

根据位似图形的性质得到旦=旦=£5=；证明△DOES^D'OE',即可

OAUEOD3

求解.

【解答】解：•.•五边形ABCDE,A'BCDE'是以坐标原点0为位似中心的

位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)

J.--O-A--=O--E----=-O--D---=2

OAOE'OD3

vZDOE=ZDOE,

DOEDOE,

DEOE2

DEOE'3

VDE=3,

r/9

/.DE=

2

故选：c.

6.(24-25•全国模拟)在RtZkABC中，NC=90°,AB=13,BC=5,结合

尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为()

A.2mB.2痴C.6D,-

【答案】A

【解析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定

理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键;

先根据勾股定理求出AC,设BG,AC交于点M,作MNJ.AB于点N,如图，利用角

平分线的性质可得CM=MN,利用等积法求出CM,进而可得BM,证明AABQS

△MBC,再根据相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：,••在内△ABC中，ZC=90\AB=13,BC=5,

.•・AC=V132—52=12,

由题意可得：BG平分/ABC,即/CBG=NABG,

设BG,AC交于点M,作MNJ.AB于点N,如图，

则CM=MN,

设CM=MN=x,

■:S^ABC=S^MBC+S“BM，

A-BC-AC=-BC-CM4--AB«MN,

222

即5x12=5x+13x,

解得：x=F，B|JCM=

33

则BM=J52+借）2=2713,

由作图痕迹可知：AQ1BH,

・•・ZAQB=ZC=90°,

••・ZCBG=ZABG,

ABQMBC,

，.也二”即驾=■，

CMBMT即

解得：AQ=2V13：

故选：A.

2

G

B

N

7.（24-25•浙江煤拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界

上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午

有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm,像距

为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm,则蜡烛火焰的高度是（）

A.-B.6C.-D.8

23

【答案】C

【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高

度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm,

则：

x10

8-15，

解得：X=J

即蜡烛火焰的高度为^cm,

故选：C.

8.（23-24•云南中考）如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，

且DE〃BC-若枭/则戢=（）

A

闫・久.那

【答案】A

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和

性质是解题的关键；

由DE〃BC证△ADE〜△ABC,利用相似三角形对应边成比例，结合磐=：,得出

ADL

结论.

【解答】解：・・・DE//BC,

•••ZADE=ZB,ZAED=ZC,

•••△ADEABC,

DE_AD

•e•—,

BCAB

••AD_1

•AB-2

,DE_1

BC2

故选：A.

9.（24-25•山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG,

点E,F在坐标轴上.若NA=9（T,tanB=，A（-4,3）,则点G坐标为（）

F

A.(11,-4)B.(10,-3)C.(12,-3)D.(9,-4)

【答案】B

【解析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变

换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键.过

点;A作AHJLy轴，作BK1AH交HA的延长线于点K,证明ZkAHOsZiBKA,得到

黑=黑=器根据点A的坐标，结合tanNABO的值，求出BK=8,AK=6,平

BKAKAB

移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可.

【解答】解：过点A作AHJ.y轴，作BK1AH交HA的延长线于点K,则:

ZAHO=ZBKA=90'=NBAO,

ZBAK=ZAOH=90°-ZHAO,

/.△AHO八BKA,

AHOHOA

——=——=——,

BKAKAB

VZA=90°,tanZABO=1,A(-4,3),

.OH=3,AH=4,^=；,

Ai5L

431

BKAK2

.・.BK=8,AK=6,

•.•平移，

OF=BK=8,OE=AK=6,

・•・E(6,0),

，将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E,

・•・将点0(0,0)先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G,

G(10,-3);

故选B.

10.（23-24山东模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个

地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的

力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示

意图，当用力压杠杆时•，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm,

阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是（）

A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm

【答案】B

【解析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根

据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度.解题的关键是正确判定相似三角

形并运用相似三角形的性质列出比例式.

【解答】解：•••AC1AB,BD1AB,

/.AC||BD,

△AOCs匕BOD,

sAC_AO

•'BD-OB'

•••动力臂0A=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm

AC_150

=9

20---50

.•・AC=60,

•••AC的长为60cm.

故选:B.

11.（23-24•广东中考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简

易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，0点落在“3”刻度

线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm,则CD的长是()

A.30cmB.——cmC.20cmD.—cm

34

【答案】B

【解析】证明△CODBOA,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高

的比等于相似比”列式计算即可求解.

【解答】解：根据题意得CD〃AB,BOA,

.CD_2

••AB-5’

AB=50cm,

CD=-x50=—(cm),

33

故此题答案为B.

12.(24-25•内蒙古中考)如图，在平面直角坐标系中，aOAB的顶点坐标

分别是0(0,0),A(2,l),B(l,2),以原点0为位似中心，在第三象限画^OA'B‘与

△OAB位似，若AOAB与4OAB的相似比为2:1,则点A的对应点A,的坐标为

()

A.(-2,-1)B.(-4,-2)C.(-1,-2)D.(-2,-4)

【答案】B

【解析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的

位置是解题的关键.利用相似比为2:1,A(2,l),直接利用相似比可得出坐标.

【解答】解：,・•△OA'B'与AOAB位似,相似比为2:1,

:.OB:OB=1:2=OA:OA，,

•・・A(2,1),位似中心为原点0,

A(-4,-2),

故选：B.

13.(24-25•浙江中考)如图，五边形ABCDE,A'BCDE’是以坐标原

点0为位似中心的位似图形，己知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为

3,贝IJD'E'的长为()

79

A-2B.4C,-D.5

【答案】C

【解析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

根据位似图形的性质得到旦=a=£匕=：证明D'OE’,却可

OAOEOD3

求解.

【解答】解：•••五边形ABCDE,A'BCDE是以坐标原点0为位似中心的

位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)

.OA_OE_OD_2

**OA-OE-OD-3’

•••ZDOE=ZDOE,

•••△DOE〜△D0E,

•・DEOE2•

DE'OE3

vDE=3,

ttQ

DE=

2

故选：c.

14.（24-25•全国模拟）如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点,

连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan/GCF的值是（）

A.包B,C@D,

103103

【答案】B

【解析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值,

熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据矩形的性质，证明aAGD〜aFGE,得

到黑=：,然后过点G作GH_LBC,得到AGHEs/iDCE,根据相似三角形对应边

ED4

成比例分别求出HE,GH的长，进而求出CH的长，再利用正切的定义求解即可.

【解答】解：•.•矩形ABCD,E,F是BC边上的三等分点，AB=8,BC=12,

AD=BC=12,CD=BC=8,AD||BC,BE=EF=FC=4,EC=8,

AGDFGE,

...—EG=—EF=—4=1

DGAD123

EG1

ED4

过点G作GH1BC,则GH||CD,

••.EH=；EC=qx8=2,GH=；CD=；X8=2,

ACH=CE-EH=8-2=6,

GH21

**•tanz-GCF=—=-=—；

CH63

故选：B.

15.（23-24•江苏中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、

C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF,连接AC、AE、AF,过点E作EG_LAF

于点G,分别交AB、AC、DC于点M、H、N.则下列结论：①MN=AF；②NEAH=

ZEHA；③EN・BF=EC・HN；④若BF:FC=3:4,则tan/FAC=?；⑤图中共有

5

5个等腰三角形.其中正确的结论是（）

A.①②③⑤B.①②④⑤C.①②③④D.①©④⑤

【答案】C

【解析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的

判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形

全等或相似.

容易证明△AEB会/iAFB(SAS),从而可得NKBC=ZNEC=ZBAF=ZBAE=

a,进而可得/EAH=ZAHE,从而可得②正确，过点B作BK||EN,交CD于点K,

构造△ABF=ZBCK(AAS),结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF,

可得①正确，再利用角关系证明△NECBAF,△AECfHNC,可得EN-BF=

CN•AF=CN•AE=EC•HN,从而得出结论③正确，过点F作FP1AC,设BF=3x,

由BF:FC=3:4可得FC=4x,解三角形求出PF=2&x,AP=5&x,从而求出

tanNFAC=R=3故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等

AP5

腰三角形有△ABC、△ADC.△AEF.△AEH,共四个，故结论⑤错误.

【解答】解：如图1,过点B作BKIIEN,交CD于点K,

图1

•••在正方形ABCD中，

:.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=90°,ZBAC=ZACB=ZACD=45°,

AB||CD,

.•.△ABC、△ADC是等腰三角形，

又•••BE=BF,AB=AB,

/.△AEB=△AFB(SAS),

AE=AF,ZAEF=ZAFE,ZBAE=ZBAF,

••.△AEF是等腰三角形，

•••EG1AF,

:.ZNEC+ZAFE=90°,

又•••ZBAF+ZAFE=90°,

:.ZNEC=ZBAF,

•••BK||EN,

ZKBC=ZNEC,ZBKC=ZENC,

•••ZKBC=ZNEC=ZBAF=ZBAE,

设NKBC=ZNEC=ZBAF=ZBAE=a,

•・•ZEAH=ZBAE+ZBAC=a+45°,ZAHE=ZHEC+ZACB=a+45°,

ZEAH=ZAHE,故结论②正确；

••・EA=EH,即4AEH是等腰三角形，

ABFfDABCK中，

(AB=BC

JZKBC=ZBAF,

(ZABF=ZBCK

.••△ABF=ZBCK(AAS),

.•・BK=AF,ZCKB=ZAFE=ZAEF=90°-a

•・•BK||EN,AB||CD,

四边形BMNK是平行四边形，

.・.MN=BK,

AMN=AF,故结论①正确，

vZNEC=ZBAF,ZBCD=ZABC=90°,

•••△NECs'BAF,

ENCN

AFBF

•••EN•BF=CN•AF,

•:ZEAH=ZAHE=ZCHN=45°+a,ZACE=ZACN=45°,

AEC八HNC,

:.-A-E=一EC

HNNC

CN-AE=EC-HN,

vAE=AF,

CN-AF=EC-HN,

EN-BF=EC-HN,故结论③正确,

图2

设BF=3x,由BF:FC=3:4可得FC=4x,AB=BC=7x,

222

:.AF=AB+BF=(7x)2+(3x)2=58x2,

•••PF=FC-sinZACB=4x•—=2&x,

2

...AP=VAF2-PF2=V58x2-8x2=5&x,

tanZFAC=^=斐^=故结论④正确，

AP5V2x5

•••ZCNE=90°-a,ZCHN=ZAHE=a+45°,a<45°

NCNE不一定等于NCHN,a<45°,

aCNH不一定是等腰三角形，

故等腰三角形有△ABC、△ADC>△AEFs△AEH,共四个，故结论⑤错误,

综上所述：正确结论有①②③④.

故选C.

（-）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（25•四川模拟）（3分）如图，若蓝=1^=m,请再添加一个条件,

使得4ABC〜ZkCBD,你添加的条件是NABC=NCBD（答案不唯

【答案】ZABC=ZCBD（答案不唯一）

【解析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进

行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹

角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似.

【解答】解：添加条件NABC=ZCBD,理由如下：•・•翌=2=m,ZABC=

BCBD

ZCBD,

ABCs'CBD,

故此题答案为：ZABC=ZCBD（答案不唯一）.

17.（25•福建模拟）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6,|）,

△ABC的顶点A的坐标为（4,3）.以点P为位似中心作△AiBiJ与△ABC位似，相似

比为2,且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2c2与仆AiBiCi位似，

相似比为2,且与^AiBiCi位于点P同侧……按照以.上规律作图，点A3的坐标为

——（-呜）——*

【答案】(一10,卜

【解析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的

对应线段的比，根据两点距离得出AP=|进而得出A2P=2A]P=10,A3P=

2A2P=20,求得直线AP的解析式，根据A3P=20,即可求解.

【解答】解：依题意，A]P=2AP=2j(6-4)z+(|-3)2=5,

・•・A2P=2Alp=10,A3P=2A2P=20,

设直线AP的解析式为y=kx+b(k。0),代入(6,|),(4,3)

-2=6k+b

.3=4k4-b

解得：卜=一:

Ib=6

3

y=—；x+6

设A3(m,-qm+6)

•••(m-6)2+(-[m+6-1)=202

解得：mt=-10,m2=22(舍去)

•••A3(-10-T)

故答案为：(—10,孑).

18.(24•山东模双)如图，树AB在路灯。的照射下形成投影AC,已知珞灯

高PO=5m,树影AC=3m,树AB与路灯0的水平距离AP=4.5m,则树的高度AB

【答案】2

【解析】由题意知AB〃PO,得出RtAABC〜Rt^POC,根据黑=黑求出AB

■XX■

的值.

【解答】解：由题意知AB〃PO在Rt△ABC和Rt△POC中

(zc=zc

•••(ZCAB=ZCPO

(ZABC-ZPOC

:.Rt△ABCsRt△POC

:.—AB=一AC

POPC

.些_3

,,5-3+4.5

解得AB=2

故此题答案为：2.

19.（24•湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”

为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩

形折叠，折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上，则图中与

△NDM一定相似的三角形是△MCB

【答案】—

【解析】由矩形的性质得■心,从而得到ZDVV•NDWV=90。,

由折叠的性质可得：从而得到由此推断出

【解答】解：丁四边形/灰。是矩形，・.・人二4八/^^，

ZDNM+ZDMN=90°,

由折叠的性质可得：ZBMN=ZA=90°,

•••ZNMD+ZBMN+ZBMC=180°,

.・.ZNMD+ZBMC=90°,

ZDNM=ZBMC,

NDMMCB.

故答案为：^MCB.

20.（25•江苏模拟）如图，在△ABC中，AC=2,AB=3,直线CM||AB,

E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于•点D.在射线AE上取一点P,使得

AP=2ED,作PQIIAB,交射线AC于点Q.设AQ=x,PQ=y.当x=y时，CD=

—2；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为=

3x2

【答案】2,y

8-2x

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角

形对应边成比例.易得CD〃PQ,则aAPC!〜"DC,得出器=给代入数据即

可求出CD=2；APQADC,得出CD=§,设DE=t,则AP=23通

过证明ACDEBAE,得出空=黑，则AE=9^,进而得出AD=AE+DE=

ABAE2y

用以结合△APQsAADC,可得第=条代入各个数据，即可得出y关于X的

函数表达式.

【解答】解：•・,CM||AB,PQ||AB,

CD//PQ,

APQADC,

AQ=PQ,即乙=工,

ACCD2CD

•••x=y，

CD=2；

APQ〜匕ADC,

...”二也，即乙=工,

ACCD2CD

整理得：CD=曳，

X

设DE=t,

•••AP=2ED,

AP=2t,

vCM||AB,

•••△CDEBAE,

2y

CDDEVt

=，HRnJ—

ABAE3AE

整理得:AE=§,

,.AD=AE+DE成+t=—

•••△APQADC,

AQ_APunx_2t

AAC=AD，叱=甲E

2y

整理得：y=言？

故答案为：2；y=言.

21.（25•达州模拟）如图，正方形ABCD的边长为4,点E、F在边BC,CD上

运动，且满足BE=CF,连接AE,BF交于点G,连接CG,则CG的最小值为—2^5-

2；当CG取最小值时，CE的长为6-2V5

D

【答案】2V5-2,6-2倔

【解析】在正方形ABCD中，易证△ABEMZiBCF(AAS),可得NBGE=

NAGB=90。，则G点的轨迹是以AB中点0为圆心，AO为半径的圆弧，因此当0、

G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理可得CG的最小值为0C-

OG=2V5-2,根据AB||CD,则有△BOG〜△FCG可得整=除得到：FG=

CGFG

BG(V5-1),则BF=/§BG,设BE=X,则BE=CF=X,可得BG=啜丝,又

■:々GE=NBCF=9。。，NGBE=ZCBF,得八BGEsBCF,得到千=高

解之得：x2=2^-2,Xi=2而+2>4(不合题意，舍去)，从而得到CE的

长为6-2遍.

【解答】解:如图示:

•.•在正方形ABCD中，ZABE=ZBCF=90°

SAABE#ABCF中，

BA=CB

ZABE=ZBCF=90°,

BE=CF

.-.AARE"RCF(AAS),

ZAEB=ZBFC

•••ZFBC4-ZBFC=90°

:.ZFBC+ZAEB=90°

即有：ZBGE=ZAGB=90°

G点的轨迹是以AB中点。为圆心，AO为半径的圆弧,

因此当0、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，

•••BC=4,

:.OB=0G=2

•••0C=VOB2+BC2=V22+42=2花，

•••CG的最小值为OC-0G=2V5-2,

•••AB||CD

•••△BOGFCG

•OGBG.1I2——1

CGFG2V5-2V5-1

:.FG=BG（V5-1）

BF=FG+BG=BG（V5-1）+BG=遥BG.

设BE=x,则BE=CF=x,

BF=VCF2+BC2=Vx2+42,

又•••NBGE=NBCF=90。，ZGBE=ZCBF,

•••△BGE54BCF

BGBC

BEBF

即：」

VX2+42

解之得：X2=2V5-2,X1=2V5+2>4（不合题意，舍去），

CE=BC-BE=4-（2>/5-2）=6-2后

故答案是：2V5-2,6-2V5.

22.（23•浙江中考）如图，在内△ABC中，ZABC=90°,BC=6.将射

线CA绕点C顺时针旋转90。到CAi，在射线CAi上取一点D,连结AD,使得△ACD面

积为24,连结BD,贝i」BD的最大值是2V13+4.

【答案】2a5+4

【解析】先整理得ACxCD=48,过点C向上作线段CE1BC,使得CE=8,

则号=要结合NBCE=NACD=90。,整理得NACB=NECD,证明△CED7

CACB

CAB,即NEDC=ZABC=90°,运用即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，

连接OB,并延长与。0交于一点，即为Di，运用勾股定理得BO=VBC2+0C2=

2^13,即可作答.

【解答】解：•.・射线CA绕点C顺时针旋转90。到CA〉在射线CA】上取一点D,

连结AD,

・•・ZACD=90°,

ACD面积为24,

1

.・.ACxCDx-=24

2

•••ACxCD=48>

过点C向上作线段CEJLBC,使得CE=8,

•••BC=6

BCxCE=6x8=48

即ACxCD=BCxCE

.CE_CD

**CA-CB)

连接DE,

vCE1BC,

:.ZBCE=ZACD=90°,

•••ZBCE-ZACE=ZACD-ZACE,

.・.ZACB=ZECD,

CECD

■:...，

CACB

CED〜匕CAB»

.・.ZEDC=ZABC=90。，

故点D在以CE为直径的圆上，

vCE=8,

记圆心为直径CE的中点0,

即。0的半径OD=4

连接OB,并延长与O0交于一点，即为D〉

此时BDI为BD的最大值，

故BO=VBC24-OC2=,36+16=2713

二BDi=BO+OD1=2V13+4

故答案为：2VT3+4.

23.（25•山东模拟）如图,已知△ABC中，ZACB=90°,AC=7,BC=9,

点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM,若CM=3,则AM+：BM的最小值

为_____5V2

【答案】5A/2

【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段

关系得HIMG=；BM.

在BC上取点G,使CG=1,构造出△MCGBCM,得=再根据两点

3

之间线段最短得出即当M在AG上时，AM+：BM取最小值.

【解答】解：在BC上取点G,使CG=1,

又；BC=9,CM=3,

.CG_CM_1

*"CM~BC_3>

又•・•ZMCG=ZMCB,

•••△MCGBCM,

MGCG1

BMCM3

MG=」BM,

3

AM+工BM=AM+MG>AG,

3

•・•AG=VAC2+CG2=V72+12=5VL

...AM+工BM>5V2,

3

即当M在AG上时，AM+^BM取最小值，为5企.

故答案为5企.

24.(25•四川模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线丫=一：*+3交*轴

于点A,交y轴于点B.四边形OAiBiCi，AiA?B2cA2A3B3c3,A3A4B4c4,…都

是正方形,顶点A1，A2,A3,A4,…都在x轴上,顶点Bi，B2,B3,B4，…都在

直线y=-：x+3上，连接BA1，B1A2,B2A3,B3A4,…分别交C1B1，C2B2,C3B3,

C4B4,…于点D「D2»D3,D4,….BB[D],△B1B2D2,△B2B3D3,△B3B4D4»…

/八4049

的面积分别为Si，S2,S3,S4,…，则S2025=_____(I)________.

/八4049

【答案】(|)

【解析】根据一次函数的解析式可得点B的坐标是(0,3),设点电的坐标是

(x^-i^+3),根据正方形的四条边都相等可得X]=-^勺+3,从而求出正方

形OA1BR1的边长为2,根据正方形的对边相互平行，可知ABCiDi〜ZiBOAi，

根据相似三角形的性质求出JD1=；,从而可得利用三角形的面积公

JO

式可以求出=)同理可以求出S^IB2DZ=3,根据两边对应成比例且夹

角相等的两个三角形相似，可证ABBiDiSAB1B2D2,且相似比为|,根据规律

/八1+2x2024/八4049

可得S2025=(|)=(|)•

【解答】

解：当x=0时，y=—|x+3=3,

・・・点B的坐标是(0,3),

•••点Bi在直线y=-1x4-3上，

设点Bi的坐标是+3),

则点A1的坐标是(X],O),点Ci的坐标是(0,-之勺+3),

•••四边形OA]B]Ci是正方形，

:.0Al=AiBi,OA2//C1B1,

•••Xi=-：Xi+3,

解得：xt=2,

的坐标是(2,2),

••・正方形OAiBig的边长为2,

：•OCi=OAi=A]Bi=B£=2,

•••BCi=BC-OCi=3-2=1,

■:（DA】〃CiB「

•••△BgDiBOA1，

•.B•Ci—_CiDi,

BOOAi

.1_C[Di

••3—2

解得：CiDi=|,

BiDi=Big-CiDi=2-|=£

1142

•••SABBM=aBIDI•BQ=yx]x1=]；

设点B2的坐标为（X2,—：X2+3）,

则点A2的坐标是（X2,O）,点C2的坐标是（2,-+3），

：•A]A2=X2—X]—x2—2,

四边形A1A2B2c2是正方形，

A]A]—B2A2，A[A?//C2B2，

二X2—2=—X2+3,

“2/

解得：X2=y,

AA10c4

A[M=x2—XJ=——2=-,

.•.B2的坐标是(T，3，

4

：•A]A2=A2B2=B2c2=A]C2=-，

3

4?

•••BQ=2--=-,

IN33

vA1A2〃C2B2,

**•△B1C2D2s'BA|A2»

.Bq_C2D2

B]A】AjA2

.3__C2%

3

解得：c2D2=；,

44Q

・•.B2D2=B2C2-C2D2=

XBD

•••SAB1B2D2=I22.B1C2=[xgx|=*

•♦•B]的坐标是(2,2),B2的坐标是(弓3),

■'BiBz=J(T-2)2+G-2)2=竽，

•••Bi的坐标是(2,2),点B的坐标是(0,3),

BB2

1-

4

BD3Bn3

11V5

Bl孳

-----

BDBB2

2212

3-

--

8

-2

.BIDI_B9B]

"B2D2一司瓦'

乂•••四边形OAiB£i和A]AzB2c2均为正方形,

••・B1CJ/X轴,B2c2〃x轴，

•••Big〃B2c2,

NBBiCi=NB1B2c2,

：.△BB1D1B1B2D2,且相似比为£

.S/>B]B2D2

»*

SABB]D]

=|时，SABIBZD2232

•••当S/iBBiD]ix(i)=^@=(ir

同理可证4BiBaD2s4B2B3D3，且相似比为:,

则S32B3D3=(I)X

__Z2xl+2X2O24_Z2X4049

5b

••2025-AB2024B2025D2025-GJ-（J,

/八4049

故答案为：Q）.

25.（24•河南中考）如图，在矩形ABCD中，AD=2vLCD=6,E是AB的

中点，F是线段BC上的一点，连接EF,把4BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连

接DG,BG的延长线交线段CD于点H.给出下列判断：①NBAC=30°；EBF〜

△BCH；③当NEGD=90。时，DG的长度是2百④线段DG长度的最小值是&T