2021-2025年中考数学试题分类汇编（山西专用）相似三角形（学生版）

专题09相似三角形（原卷版）

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考点1全等三角形的判定

1.（2025•山西•中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条AG8。的中点连在一起，记中点为0,即

AO=CO,BO=DO.测得G。两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A,B两点

之间的距离.图中V408与△COD全等的依据是（）

C.ASAD.HL

考点2全等三角形的性质与判定

1.（2022.山西.中考真题）如图，在正方形A8CO中，点E是边8C上的一点，点尸在边CO的延长线上,

且BE=。尸，连接EF交边AD于点G.过点A作ANA.EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,

则线段AN的长为

2.（2022.山西•中考真题）如图，在矩形A4c。中，AC是对角线.

（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O,交边A。于点E,交边8c于点〃（要求:

尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），

（2）猜想与证明：试猜想线段与C厂的数量关系，并加以证明.

考点3相似三角形的实际应用

1.（2022•山西・中考真题）神奇的臼然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹

的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

2.（2020.山西・中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明.泰

勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，

就是我们所学的（）

A,图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似

考点4相似三角形性质与判定综合

i.：2025•山西•中考真题）如图，在四边形中，AD//BC,2R90?,A8=8,BC=4,点、E在边AB

上，AE=3,连接CE,且NOCE=N3CE.点尸在3c的延长线上，连接。尸若。尸=DC,则线段的

长为.

2.（2023.山西•中考真题）如图，在四边形A4C。中，ZBCD=90°,对角线AC,8。相交于点。.若

AB=AC=5,BC=6./ADB=2NCBD,则AD的长为.

A

D

BC

3.（2020•山西♦中考真题）如图，在mA48c中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足为O,

E为3C的中点，AE与CO交于点尸，则。尸的长为.

4.（2025•山西•中考真题）综合与探究

问题情境：如图，在V48C纸片中，A8>8C,点。在边AB上，AD>BD.沿过点。的直线折叠该纸片,

使DB的对应线段。9与BC平行，且折痕与边8C交于点E,得到AOB'E,然后展平.

猜想证明：（1）判断四边3O8E的形状，并说明理由

拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A落在射线。9上，且折痕与边AC

交于点F,然后展平.连接AE交边AC于点G,连接AB.

①若AD=2BD,判断OE与4EH勺位置关系，并说明理由；

②若NC=90。，A8=15,BC=9,当△A'FG是以A'尸为腰的等腰三角形时，请直接写出4尸的长

5.(2023•山西・中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角

线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为VABC和△。产E,其中4。8=/。所=90。,4=/。.将

VH8C和△。正按图2所示方式摆放，其中点8与点尸重合(标记为点3).当NABE=NA时，延长。石交

AC于点G.试判断四边形8CGE的形状，并说明理由.

(I)数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在VABC内部，并让同学们提出新

的问题.

①“善思小组”提出问题：如图3,当NA6E=N84。时，过点A作AM1BE交BE的延长线于点M,8M与AC

交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；

图3

②“智慈小组''提出问题：如图4,当NC8£=N8AC时，过点A作A“_LDE于点，，若AC=9,AC=12,求

AH的长.请你思考此问题，直接写出结果.

图4

6.（2022•山西・中考真题）综合与实践

问题情境：在中，/B4C=90。，AB=6,AC=8.直角三角板EO尸中NEOF=90。，将三角板的直角

顶点。放在RAABC斜边KC的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边QE,。尸分别与边A&

AC交于点M,N,猜想证明:

（I）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由;

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当NB=NMDB时,求线段CN的长：

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当4M=AN时，直接写出线段AN的长.

7.（2021•山西•中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.

图算法'，

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编：I:成有刻度

的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在i起的一种图形，可以用来解函数：：式中的未

知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关

系：F=2C+32得出，当C=10时，尸=50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻U度，就可

以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

也可以设计•种图算法直接得出结果：我们先来画出•个120。的角，再画一条角平分线，在角的两边及角

平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7,5和5的两点连

成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制

图人员，往往更能体会到它的优越性.

任务：

(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

(2)请用以下两种力法验证第一个例子中图算法的正确性：

①用公式］=3+?计算：当a=7.5,&=5时，R的值为多少；

②如图，在VAO8中，ZAOB=120°,OC是VAO8的角平分线，。4=7.5,08=5,用你所学的几何知识

求线段OC的长.

考点5相似三角形与函数综合

I.(2023•山西・中考真题)如图，二次函数了:-产+人的图象与x轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与

该函数图象交于点8(1,3),与V轴交于点C.

(1)求直线A8的函数表式及点C的坐标;

⑵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线正_Lx轴于点E,与直线交于点D,

设点尸的横坐标为

①当时，求机的值：

2

②当点。在直线A8上方时，连接OP,过点B作BQ_Lx轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接。歹.设四边

形FQE。的面积为S,求S关于，〃的函数表达式，并求出S的最大值.

2.（2022•山西・中考真题）综合与探究

I3

如图，二次函数），=-:/+91+4的图象与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C,

42

点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为〃?.过点A作直线轴于点。，作

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线8C的函数表达式；

（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接AC,过点尸作直线/〃AC,交y轴于点F,连接。F.试探究：在点P运动的过程中，是否存在

点P,使得CE=FD,若存在，请直接写出机的值；若不存在，请说明理由.

3.（2020.山西•中考真题）综合与探究

如图，抛物线3与x轴交于A,8两点（点A在点3的左侧），与y轴交于点C.直线/与抛物

4

线交于A,。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为（4-3）.

（1）请直接写出A,A两点的坐标及直线/的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为〃।（〃?20）,过点P作轴，垂足为M.与直线/交

于点N,当点N是线段尸”的三等分点时，求点〃的坐标；

（3）若点。是V轴上的点，且ZAQQ=45。，求点。的坐标.

考点6全等三角形与相似三角形综合

1.（2021•山西・中考真题）如图，在VA3c中，点。是A8边上的一点，且AO=3BO,连接CD并取CO的

中点E,连接BE,若NACD=NB£D=45。，且。。=6夜，则A4的长为

问题情境：如图1，四边形A8CO是菱形，过点A作A£_L3C于点E,过点C作b_LA。于点尸.

猜想证明：

（1）判断四边形4ECE的形状，并说明理由；

深入探究：

（2）将图1中的△A3£绕点A逆时针旋转，得到△A〃G,点E,。的对应点分别为点G,//.

①如图2,当线段4〃经过点C时，G”所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段C”与加。

的数量关系，并说明理由；

②当直线G”与直线CD垂直时，直线G”分别与直线A。，CD交于点M,N,直线4〃与线段C。交于点

Q.若A8=5,BE=4,直接写出四边形AMNQ的面积.

、0000J

一、单选题

1.（2025.山西大同.三模）如图，四边形A4CO是正方形，对角线AC,80交于点0,点石在正方形的内

部，且BE=CE.连接EO并延长交8c边于点F,线段跖，CE分别与A。，。。交于点M,N,则下列结

论不•一•定•成立的是（）

BFC,

A.EFIBCB./EBD=/ECAC.BM=CND.BF=-BE

2

2.（2025•山西朔州•三模）如图，在oAACO中，M平分/AAC,AH上BE于点H,交4C于点G,交,DC

的延长线于点/，若A8=3,AD=5,则C尸的长度为（）

三A________七）

F

A.2B.3C.4D.5

3.（2025•山西朔州•三模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖.如图।,矩形瓷豉AC坊与矩形瓷砖ADC”之间

用三角形瓷砖A8C与三角形瓷砖A8O拼接，点8,C,E与点B,D,G分别在同一直线上.小雅发现VA8C

与△A8。全等，她的依据是（）

1---口：二G

A.SASB.ASAC.HLD.SSS

4.：2025•山西晋中•三模）如图，在正方形/WCO中，点E在边上,连接CE，过点。作DF_LCE于点尸，

过点8作BGJLCE于点G,若8G=3,。尸=8,则尸G的长为（）

。C

□

AEB

A.4B.5C.7D.11

5.12025•山西运城・二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形4BC。的两条对称轴，边BC,CD

分别与x轴、y轴交于点E和凡以F为旋转中心，将矩形AKCO绕点石顺时针旋转，使A4的对应边且AE

经过点立若点C的坐标（26,2）,则点A的坐标是（）

A.(-3,26)B.(-3,6)C.卜6,3)D.(-75,5)

6.（2（）25・山西・一模）如图，已知V"C,点。是人C边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是VABC

的（）

7.（2025•山西•模拟预测）已知菱形ABCO中，8。为对角线，点匕F,G,，分别是边A/LBC,CD,DA

上的点.若四边形EPG”是正方形，则下列结论一定成立的是（）

A.AE=BEB.EF1BDC.BE=DGD.ABFE=ZBEF

8.（2024•山西太原•模拟预测）如图，正五边形AACD石内接于。。，CP与。。相切于点C,则N8CP的度

C

A.120°B.108°C.144°D.162°

2

9.（2024・山西•模拟预测）如图，oABC。的顶点A在文轴的正半轴上，顶点。在反比例函数y=—-的图象

x

上，顶点8和C在反比例函数），=人（左＞0）的图象上，且对角线BO〃x轴，若。A8CO的面积等于10,则攵

的值为（）

C.8D.12

10.（2024.山西吕梁.一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,2）处有一激光发射器，激光照射到点8（1，°）

处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C处的接收器上，若入射角。=45。，AB=BC,则点。

处的接收器到轴的距离为（）

11.（2024.山西临汾•一模）如图1,一副三角尺的VA8C是等腰直角三角形，45-AC=10cm,Z^4C=90°,

。是斜边8。的中点，含30。角的直角三角尺的直角顶点放在点。处，记作△。曰"ZE=30°,直角边。尸与

边。C在同一条射线上.如图2,把40所绕点O逆时针旋转，0〃与边AC交于点N,与边A8交于点

M,得到下列结论.①OM=ON；②/BMO=/ONA：③四边形人MQV的面积为定值且为25cm?；④

8W+CN=l（）cm.其中，正确的结论有（）

D.1个

12.（2025・山西吕梁•二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与

成因.图I是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2,44是蜡烛火焰，C。是其通过小孔。所成的像，

AC与8。交于点。，AB//CD.若点。到/W的距离为5cm,点。到C。的距离为10cm,蜡烛火焰AB的

高度是4cm,则蜡烛火焰倒立的像C。的高度是（）

图1图2

A.4.8cmB.6cmC.7.2cmD.8cm

13.（2025・山西吕梁•二模）如图，在正六边形A8CDE”的边8c处放置一块平面镜，一束光线从点尸发出，

照射到镜面4c上的点G处，经反射后恰好经过边上的点〃.若正六边形的边长为8,AG=3CG,则

的长为（）

M.（2025.山西太原.一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺

（即图中的A8C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测吊物体的高度如图，点A,B,。在同一水

平线上，-44C和乙4QP均为直角，AP与8c相交于点。.测得A4=40cm,/?D=20cm,8Q=ll.6m,

则树高PQ为（）

C.6.8mD.25.8m

15.（2025•山西朔州•模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点。在线段AB

npAp

上（AQ>8P）,若满足M=三，则称点P是线段的黄金分割点.黄金分割的应用很广泛，例如：在舞

台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好.若舞台长25米，设主持人从A点登台后至少走

X米可到舞台的黄金分割点.上，则可列出方程为（）

APB

III

A.（25-X）2=25XB.2/=25

C.x（25-x）=25x2D.x2=25（25-xl

16.（2025•山西晋中•一模）如图，正五边形MC力E的对角线力C,函相交于点尸，若A8=4,则町的长为

（）

A.75-1B.26-2C.26+2D.6-275

17.（2025•山西朔州•一模）如图，四边形ABCO是平行四边形，点尸是对角线AC上一点，过点。作的

平行线分别交AB,C。于点”和点M连接。只BP.若C瑞N七1,若△&V汨的面积为2,则△物。的面积为

()

二、填空题

18.（2025•山西阳泉•二模）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=5m,CB=CD=\2cm,为直角,

要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为cm.

19.（2025・山西吕梁•三模）如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为

“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,其中四边形A3CO和四边形都是正方形，^ABF,ABCG,

△CDH,△）£：是四个全等的直角三角形.若EF=1,DE=4,则AB的长为

20.（2025-111西朔州•三模）如图，^.aABCD中，=60,AE_L8于点E,点尸在8c边上，且A/=所,

4FE=90，若">=4,则CE的长为.

21.（2025•山西晋中•三模）如图，在RtaABC中，NAC8=90°,AB=10,8C=8,AO平分/BAC,交BC于

点D,点E为边AB上一点,连接CE,交AO于点/，当4月=24石时，。尸的长为.

22.（2025•山西太原•一模）如图，VABC是边长为5的等边三角形，点。是VA8C外的一点，ZBAD〉NBAC,

AD=AC.若8=6,连接8Z）,则线段8。的长为.

23.（2025・山西吕梁•二模）如图，在四边形A8CO中，AB=AD,CD=CB,对角线AC/。相交于点。上是

线段A。上一点，ROC=OE=6,连接跖并延长，交A。于点尸.若BO=16,F为AO的中点，则四边形

A5CO的面积为.

D

24.（2025•山西晋中•一模）如图，在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,过点。作CO_LA8于

点、D,E是。。的中点，连接AE并延长，交8c边于点人则由'的长为.

25.（2025•山西晋城•一•模）如图，aABCD中，tanA=49,AO=55亍，点E在AO边上，沿直线跳:折叠^ABE,

34

使A8的对应边ABJLDC,垂足为F,A上交DC与点G,当点G恰好为4E的中点时，长为

26.（2025•山西运城•模拟预测）如图，在扇形。48中，4408=90。，。为A3的中点，过点。作PM_LAO,

PN1BO,垂足分别为M,N,若PM=2,则图中阴影部分的面积为.

27.（2024•山西忻州•二模）如图，在四边形A8DE1中，/8=4）=90。，点C是边8。上一点，且

AC=CE,ACA.CE,取6的三等分点尸V所），连接AF,过点C作CG_LA/交AF于点G,延长交

AE于点、H，若DE=6,ZBAC=30°,则A”的长为—.

28.（2U24•山西•二模）如图，已知VA8C中，AB=AC=b,8C=8,点。在胡的延长线上，连接。C,

点E在4C边上，连接交4c于点?，若4）=2,DC=DE,则CE的长为.

29.（2024•山西大同•二模）如图，在矩形ABC。中，E为AO边的中点，点G在C。边上，连接BE,BG,

分别交对角线AC于点〃，F.若的恰好平分NA6尸，且6石_LAC,AB=4,则CF的长为.

30.（2025・山西长治•二模）如图，在平面直角坐标系屹丫中，点。是坐标原点，点C在A。的延长线上，\AOB

与△COD关于点0位似.若47=340,点8的坐标为（2,6）,则。点的坐标为.

31.（2025・山西吕梁•模拟预测）如图，在RtZ\ABC中，?B90?,是VABC的中位线，P为BE上一点、,

连接AP，将2沿AP折叠得到△A/TP,点8的对应点*落在线段。石上，若AB=3B'D=6,则EP的长

为.

32.（2025•山西太原•二模）如图，在平面直角坐标系中，R以ABC的斜边A8经过原点0,AC平行于X轴，

点D是A8的中点，反比例函数），=4伏工0）的图象经过点A和点若点A的坐标为（3,-2）,则AABC的

X

面积为一.

33.（2025•山西朔州.三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律.如图，为凸透镜，其厚

度忽略不计，。为凸透镜MN的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛

AB,透过凸透镜后成的像为CO.平行于主光轴的光线通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线AO会

聚于点C.若物距O8=6cm,像距QQ=12cm,则凸透镜MN的焦距OE的长为cm.

34.（2025・山西长治•三模）如图，在VABC中，。为A4上一点，BD=2AD,连接CO,石为C0的中点,

连接BE.若48=30°,NBED=60。，CD=4,则48的长为.

35.（2025•山西临汾•二模）如图，在V48c中，Z4CT=90°,/\C=6,BC=8,。是A8的中点，连接CD,

将4ACZ）沿CO折叠，使点A落在点E,连接8E,则BE二

36.（2025・山西吕梁•二模）喷呐是山西八大套的乐器之一、如图，一个大啖呐A3的长约为56cm,若在喷

呐上喇叭端的一个黄金分割点P史进行装饰，且丝二避二1,则该装饰与吹口的距离的为cm（结

AB2

果保留根号）.

37.（2025・山西运城・二模）如图，为某数学综合实践活动小组利川太阳光下的影子测物体高度的示意图.上

午9点测得树的影长为24.5米，下午14点测得该树的影长月8为2米.若两次测量太阳光线形成的夹角

刚好为90。，则这棵树的高度约是米.

38.（2025•湖南衡阳•一模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆度方知圆，感悟数学之美.如

图，正方形A4c。的面积为18,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形EFGH，若AB:EF=3:2,

则四边形EFG”的外接圆的半径为

39.（2025•山西阳泉•模〉如图，在等腰VA6C中，A6=AC=8,N6=30°,将VA6C沿6c方向平移,

得到△£）£「，AC交OE的中点于点G,则点C到点/的距离为

BEC

三、解答题

40.（2025•山西长治•二模）如图，已知，点C、E、B、尸在同一直线上，CE=BF,AC//DF,且AC=£＞尸.猜

想：A8和OE位置关系，并证明你的猜想.

A

41.（2025•山西・模拟预测）如图，在正方形A8CD中，E为对角线C4延长线上一点，连接OE.

（1）实践操作：利用尺规在线段下方作射线8W与AC的延长线交于点尸.（要求：尺

规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）猜想与证明：试猜想线段DE,3厂的位置关系，并加以证明.

42.（2025・山西晋中•二模）阅读与思考

三角形的布洛卡点（瓦。cm功町加/）是法国数学家和数学

教育家克洛尔（AL.OW/e,1780-1855）于⑻6年首次

发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，A

布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡

（加女卬@1845-1922）重新发现，并用他的名字命名.如

图1

图1,若任意VA8C内一点/）,满足

ZBAP=ZACP=NCBP=«,则点P叫做VA4C的布洛

卡点，。叫做布洛卡角.

任务一：

（1）若点。是边长为3的等边VA3C的布洛卡点，则布洛卡角。的度数为,点。到三个顶点的距

离之和为.

任务二：如图2,在RtAABC中，ZBAC=90。，A4=AC,点尸是7ABe内部一点，且ZAPB=NBPC=135°.

A

（3）求sinZACP的值.

43.（2025•山西大同•二模）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼

天”流量，2024年共接待了近450万名游客.为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞.已知

遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：£*=；（均在竖直方向上），伞顶杆AO始终平分一加C,

MN5

AB=AC=60cm,当N8AC=132。时，伞完全打开，M与。在同一高度，此时N8DC=90°.请问伞顶A

到地面N。的高度是多少（结果保留整数，参考数据：sin66°«0.914,cos66°«0.407,tan66°«2.246）

NQ

44.（2025•山西运城•模拟预测）如图，在菱形AHA中，£为A8的中点，连接。£与对角线80相交于点P,

ZADB=ZBCE.

（1）尺规作图：过点/作产G_L8C于点G.（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）

（2）求证：FE=FG.

45.（2025•山西忻州•模拟预测）如图，AO是V4AC的中线，〃为AO上一点，连接所并延长交AC于点E,

过点C作CG〃&'交的延长线于点G,若AE=EF,求证：BF=AC.

A

E

B

DC

G

46.（2025•山西忻州•一模）如图，在中，点七和点尸是6。的两个三等分点，连接AK,CT,.判

断四边形A£b的形状，并说明理由.

47.（2024•山西太原•模拟预测）阅读下列材料并完成任务.

三角形的旁心三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角

形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图1,NBA。的平分线与VA8C另外两个内角

ZABC,/AC8的外角平分线相交于点0,则点。是VA8C的一个旁心.

的一半）关系密切，如图2,过VA4C的旁心。分别作。力_L8C于点。，0E_LA8交

4B的延长线于点。产_LAC交AC的延长线于点F,则AE=；（A8+8C+AC）.

下面是部分证明过程：

•；80平分NCBE,0E1BE,0D1BC,

：,OD=OE.（依据）

同理可得OD=Ok，OE=OF.

任务:

（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？

（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分：

（3）如图3,在VA8C中，/K4C=90。，点/是VA8C的一个旁心且在BC边的下方.

①利用尺规作出旁心/：（保留作图痕迹，不写作法）

48.（2024・山西太原•模拟预测）2024年世界体育大会将于4月7日-11日在英国西米德兰兹郡伯明翰召开,

其组织者于近日揭晓了这一盛会的官方标志，如图1.官方标志为一个抽象的心形，其中存在许多全等的三

角形，其下半部分可简化为图2.

如图2,在等腰三角形A8C中，AC=BC,E,b是边A8上两点，连接£C,FC,EC=FC.求证：

△ACE^ABCF.

图1图2

49.（2025•山西吕梁•模拟预测）如图，在oABCD中,AB>AD.

（1）实践与操作：利用尺规作ZADC的平分线，交边A台丁点交边C6的延长线丁点尸（要求：尺规作

图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.

⑵猜想与证明：若AD=2BE，试猜想5；诋与的数量关系，并加以证明.

50.（2025・山西太原•一模）阅读与理解

下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典

的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何

构造任务.如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等

如图1,在7x7的正方形网格中，己知线段48的端点均为格点.利用无刻度的直尺解决

下面的问题.

构造特殊点

问题1：求作线段的中点C.

思路1：如图2,利用网格构造线段ADBE,满足丹。〃3石且4)=比，连接OE,则A8

与DE的交点即为线段AB的中点C.

如图3,利用网格构造格点△A3DAO的中点/%,将03平

移至犷*,则。'夕〃。8，此时疗"与AA的交点即为线段的中点C.

求作线段A4的三等分点例，使

类型二：构造特殊角

⑴思路2中由条件“和3为A£＞的中点”判断点C为48中点的依据是：

(2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图(保留作图痕迹)；

(3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图(保留作图痕迹).

51.(2025•山西临汾•二模)阅读与思考

在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学牛.探究角平分线分线段成比例定理.，以下是小宇同学的探究

(1)填空：材料中的依据1是,依据2是

（2）你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；

（3）如图3,在VABC中，BD平分/ABC交AC于点D,A8=10,8C=6,AC=7,则C。的长为

图3

52.（2025•山西忻州•二模）综合与探究

如图，在菱形A8CD中，NABC=60,点P是对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合），过点尸作

PE//AB交BC于点、E,连接PD，将线段绕点/，顺时针旋转得到线段Q尸，点。的对应点尸恰好落在

射线4c上.

问题解决：（1）线段心与鸵之间的数量关系是

（2）求NDPF的度数.

拓展探究：（3）连接依，PF与CD交于点、G.若AB=6,PB=2不，请直接写出G尸的长.

53.（2025•山西忻州•模拟预测）主题：利用相似三角形测量距离

【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里.如图为示意图，路灯顶部A处

发光，光线透过窗子4c照亮地面的长度为。E,小明测得窗户距离地面高度4/r=0.8m,窗高4c=1.6m,

某一时刻，FD=lm,DE=3m,其中0,F,D,E四点在同一条水平线上，C,B,/三点在同一竖

【问题解决】

⑴请你帮助小明求出路灯0A的高度.

（2）在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可）

54.（2025•山西吕梁•一模）综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题.

【问题初探】

（1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1,其中VA4C与△£）£/均为等腰直角三角形，NBAC=NEAF=9（甲，

AB=AC,AE=AF,连接跖，CF.请判断跖与b的数量和位置关系，并说明理由；

（2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2,其中V/WC与/）Q仍然为等腰直角三角形，若8=2应,

43=2万,求4。的长；

【拓展应用】

（3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3,其中NACB=NDCE=9O。，ZBAC=ZEDC=30°,连接A。,

BD,点A,D,E在一条直线上，若AO=12,BD=6出,请直接写出CE的长度.

55.（2025・山西大同•一模）综合与探究

在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动.

实践操作：

如图，在矩形纸片A8C。中，A8=8,8C=10,

第一步：如图1,将矩形纸片A3CD沿过点。的直线折叠，使点3落在A。边上的点尸处，得到折痕CE,

然后把纸片展平.

第二步：如图2,再将矩形纸片沿环折置，此时点A恰好落在C厂上的点N处，分别与交于点

,然后展平.问题解决：

(1)求AE的长.

(2)判断与C。之间的数量关系，并说明理由.

拓展应用：

56.(2025•山西吕梁•一模)综合与探究

【问题背景】

如图1,在矩形A3C。中，对角线AC与交于点O,且AB=1,AO=JL

【问题探究】

(1)求证：VAOB为等边三角形.

(2)如图2,将AAB力沿4C方向平移，得到AEFG,且EG交BD于点H,FG交BC于息N.在AEPG平

移过程中，当AE=G-1时，判断四边形BNG”的形状，并说明理由.

【深入探究】

(3)如图3,继续平移△EFG,使得顶点E与点O重合，然后将2£FG绕点。(初顺时针旋转75。，此时边尸G

交。3于点K,直接写出此时K。的长.

Jr-D

图1图2图3

57.（2025•山西吕梁•一模）综合与探究

综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答.

【初步研究】（1）如图I，在正方形4BC。中，点M,N分别在线段BC,C。上，且则空的

BN

值为.

图1

【知识迁移】（2）如图2,在矩形ABC。中，AB=m,BC=%点E,F,G,”分别在线段AB,CD,AD,

4c上，且求器的值.

EF

【深入探究】（3）如图3,在四边形ABC。中，Z4BC=ZADC=90°,BC=DC=6,当丝=!时，请直

AC2

接写出边A8的长.

58.（2U25•山西吕梁•一模）阅读与思考

下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.

勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形

研究思路：按“概念一性质一应用”的路径进行研究.

研究方法：观察一猜想一推理证明.

研究过程：

【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图1,在四边形

中，E,F,G,〃分别是边44,BC,CD,D4的中点，顺次连接E,F,G,

H,得到的四边形EEG”是中点四边形.

A

EX\H

\\\D【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质：

C

图1

A

E/\H

D

__\Q^（1）如图，连接80，•.•£：，，分别为A3,AO的中点，

EC

图2

.\EH=^BD,£7/〃9（依据1）,

同理可得FG//I3D,

2

..EH//FG,EH=FG,，四边形EFGH是平行四边形（依据2）.

同时可得E3+AG=8O,连接AC,同理可得斯+"G=AC,

EH+FG+EF+HG=BD+AC.

性质1：中点四边形是平行四边形.

性质2：中点四边形的周长等「原四边形对角线的和.

（2）进一步研究发现：

任务:

(1)填空：材料中的依据I是指:

依据2是指:

⑵依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程.

(3)如图4,在VA8C中，ZABC=3()°,A8=6,8c=8,分别以A3,AC为边向外侧作等边AABW和等边

△4",连接A7N,D,E,F,G分别是MH,BC,CN,MN的中点，则四边形。E”G的周长为.

59.(2025・山西长治•模拟预测)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边

之间存在着特殊的关系：已知VABC和VAOE为共角三角形，当=石或

Sv_ADAE

ZBAC+ZDAE=180°(ABAC工NME)时,

S\RCABAC

小明的证明过程（部分）如下：

证明：分以下三种情况讨论.

a.当N84C=NA4E,且VA8C是直角三角形时，如图1,点£>,E分别在A及4c边上

c-ADAE4八g

则&（底2----------=ADAE

SvABC.1A8-AC

2

b.当N84C=ND4正且V4BC不是直角三角形时，如图2,点。，E分别在A氏AC边上，分别过点C,E

作CGJLAB于点G,EH上AB于点H,则NAGC=NA"石=90。，

'/ZA=ZA.

LAEH^^ACG.

,AE_EH

"~AC~'CG

SvXDF3ADEHadehadaeadae

S\：人改1A8CGA8CGABACAB,AC

2

c.当NA4C+ND4E=180。（N84CwND4E时），如图3分别过点C,E作。/_L/出于点M,EN工AD交

D4的延长线于点N,则Z4MC=NAN£=90°

⑴请将图3的证明过程补充完整.

（2）如图4,在平行四边形ABC。中，点E在边上，且3E=2AE,尸是8C边的中点.若Sv血=3,则S、,皿=

60.（2025•山西•一模）综合与探究

问题情境

在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板VABC和△E8O重合放置，

K+1^ACB=ZEDB=90°,AC=ED=4,BC=BD=3.将△££心绕点3顺时针旋转，旋转角为

a（0。<a<360。）.如图2,当V加比的直角顶点。刚好落在边A3上时，区）的延长线交入。于点尸，试判

断。”与用的数量关系，并说明理由.

数学思考

(1)请你解答老师提出的问题.

深入探究

(2)老师将△ED8继续绕点4顺时针旋转到图3位置，作射线CO交AE■于点N.此时“善思小组”的同学

认为点N是AE的中点.请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由.

(3)在△££出绕点“顺时针旋转的过程中，连接ADAE,是否存在某一时刻，使得是一个以A£为

直角边的直角三角形？若存在，请