第八章《立体几何初步》单元测试卷-2025-2026学年高一数学下册人教A版必修第二册

第八章《立体几何初步》单元测试卷

满分：150分考试时间：120分钟

班级：姓名：得分：

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列说法正确的是（）

A.棱柱的侧面都是矩形

B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.正四棱柱一定是长方体

D.直棱柱的侧棱垂直于底面

2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，其直观图是一个边长为2的正

方形，则原图形的面积为（）

A.2V2B.4V2C.8D.4

3.已知一个圆锥的底面半径为3,母线长为5,则该圆锥的体积为（）

A.127rB.157TC.367rD.457r

4.若正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为3,则其体积为（）

A.28B.—C.—D.30

33

5.设］是平面a的一条斜线，点4W2,则过点4且与I垂直的直线在平面a内的

条数为（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

6.在正方体4BC0—AiBiCiDi中，点E、尸分别为棱48、CC1的中点，则直线

后产与平血48C0所成角的止弦值为（）

A.立B.在C.iD.立

4326

7.已知球的表面积为367r,则该球的体积为（）

A.127rB.247rC.367rD.36nyj3

8.如图，在三棱锥P-ABC中，P4团平面ABC,AB=AC=2,ZBAC=

90。，PA=2,则二面角B—PC—4的余弦值为（）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，

部分选对得2分，有选错得。分）

9.下列命题中正确的有（）

A.圆柱、圆锥、圆台的轴截面都是等腰三角形或矩形

B.棱台的上下底面相似且对应边平行

C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成

的曲面围成的几何体是圆锥

D.球面上任意两点间的大圆劣弧长度小于等于TTR

10.关于空间中点、线、面的位置关系，下列说法正确的是（）

A.若直线QII平面a，直线8ua,则a||b

B.若平面a团平面/?,直线aua,则a团£不一定成立

C.若直线a团平面a,直线blUa,则b||a或bua

D.垂直于同一条直线的两个平面互相平行

11.一个简单组合体由一个半球和一个圆柱组成，圆柱的底面与半球的底面重

合，旦圆柱的高等于底面半径九则该组合体的（）

A.表面积为（3+2"）/B.体积为?口3

C.外接球直径为尤丁D.轴截面是矩形加半圆

12.在正方体ABCO—AIAGDI中，下列结论正确的是（）

A.直线&C与平面//Di垂直

B.平面||平面GBO

C.异面直线4D1与0。1所成角为60。

D.二面角4一80-。的大小为90°

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.一个正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为旧,则它的体积为

______O

14.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图为边长为2的菱形，其中一组

对角为45°,则原四边形的面积为0

15.已知三棱锥P—48C的三条侧棱P4P&PC两两垂直，且P4=2,PB=

3,PC=4,则该三棱锥的外接球的表面积为o

16.在直三棱柱ABC-&B1G中，4BC=90。,AB=BC=2,AA1=

3，则点儿到平面BCGBi的距离为o

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

17.（10分）如图，四棱柱力BCD-AiBiGDi的底面是边长为2的菱形，

^DAB=60°,侧棱=3且垂直于底面。

（1）求该四棱柱的体积；

（2）求点A1到平面BC。的距离。

18.（12分）已知圆台的上、下底面半径分别为2和5,母线长为5。

（1）求该圆台的高;

（2）求该圆台的体积和表面积。

19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，P4回平面ABC,AB=AC=2,

ZBAC=120°,PA=V3o

（1）求证：平面PBCW平面P4B；

B

(2)求点/到平面PBC的距离。

20.(12分)如图，在正方体力8c0-4当的名中，棱长为2,点E、F分别

为棱AB、8传1的中点。

(1)求证：EF||平面4。。1&；

(2)求直线EF与平面4BCD所成角的正弦值。

21.（12分）如图，四棱锥P—/BCD的底面/BCD是边长为2的正方形，PD团

底面4BC0,且P0=2o

（1）求证：平面R4CB平面PBO；

（2）求二面角4—PB—C的余弦值。

22.（12分）一个仓库由上下两部分组成：上部是正四棱锥P-ABCD,下部

是正四棱柱ABCD-AB'CD'，且P。=h（0为底面中心），。。’=

4ho已知底面边长为6米。

（1）当九=2时，求仓库的总容积;

（2）若正四棱锥的侧棱长恒为6米，求当下部正四棱柱的侧面积最大时，h的

值及最大侧面积。

参考答案与详细解析

一、单项选择题

1.D解析：A错误，斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形；B

错误，棱台还需满足侧棱延长后交于一点；C错误，正四棱柱底面是正方

形，但侧棱长可以不等于底面边长，因此不一定是长方体；D正确，直棱柱

的定义就是侧棱垂直于底面。

2.C解析：斜二测画法中，x轴方向长度不变，y轴方向长度变为原来的一

半，且与x轴成45°角。直观图为边长为2的正方形，说明在直观图中，x

方向长为2,y方向“高”为2。原图形中，x方向长仍为2,y方向实际高

为2+^=4,且x轴与y轴垂直，所以原图形是长为2、宽为4的矩形，

面积为2x4=8。

3.A解析：圆锥的高=V52-32=x^L6=4。体积V==

-yrx9x4=127ro

3

4.A解析：正四棱台体积公式为P=：h（Si+S2+耳），其中Si=

22

2=4,S2=4=16,=3o代入得V=gx3x（4+16+

V4x16）=1x（204-8）=28。

5.B解析：设/在平面a内的射影为-o根据三垂线定理的逆定理，平面a

内过点4且与1垂直的直线，必定与，’垂直c而过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直，故只有1条。

6.D解析：建立空间直角坐标系，以4为原点，AB为x轴，AD为y轴，

AA1为z轴。则E（l，0,0）,F（2,2，l），向量前=（1，2，1）°平面

4BC0的法向量为近=（0,0，1）o设直线EF与平面45C0所成角为8,则

.n\EPn\|1|1V6

Sm-|EF||n|-V1+-4+1X1-忑--T°

7.C解析：由球的表面积公式4TTR2=36〃，得R=3。体积u=^兀/?3=

4

-yrx27=367r。

3

8.C

二、多项选择题

9.BCD解析：A错误，圆柱的轴截面是矩形，不是等腰三角形；B正确，这

是棱台的性质；C正确，符合圆锥的定义；D正确，大圆劣弧的最大长度是

半圆周长TTRo

10.BD解析：A错误，直线a与b可能异面；B正确，例如墙角处的两个垂直

平面，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面；C错误，直线b也可

能与平面a斜交；D正确，这是平面与平面平行的判定定理之一。

11.BD

12.ABC

三、填空题

13.16解析：正四棱锥底面是边长为4的正方形，面积S=16o底面中

心o到任一顶点的距离为券生=2或0侧棱长为VT7,所以高=

J(V17)2-(2V2)2=V17-8=30体积1/=|s=1x16x3=

16o

14.8解析：斜二测画法中，原图形面积与直观图面积的比值为2或:1。直

观图是边长为2的菱形，内角45。，其面积S'=2x2xsin450=4x

Y=2V2o所以原图形面积S=2或xS'=2V2x2x<2=80

15.297r解析：将三棱锥补成长方体，长、宽、高分别为2、3、4。长方

体的体对角线即为外接球的直径，2R=V22+32+42=V29,所以

R="。表面积S=4nR2=4"x?=297r。

16.2解析：在直三棱柱中，平面BCG4是侧面。由于NZBC=90。，所以

4B团平面BCQBi,又因为A4iIIBBi且441=BBi,所以点41至平面

BCG/的距离等于48=2o

四、解答题

17.(10分)

(1)底面菱形面积S=ABxADxsin60°=2x2x?=25/3。

体积V=SxAAt=2v5x3=6V3。

(2)因为侧棱垂直于底面，所以点儿到底面4BC0的距离为3。而平面BCD

就是底面的一部分，所以点儿到平面BCD的距离也是3。

18.(12分)

(1)圆台的高=V52-(5-2)2=V25-9=4。

(2)体积V=^n(R2+N+^厂)=iyrx4x(25+4+10)=竽〃=

527ro

表面积S=7r(R+r)l+nR2+nr2=TT(5+2)x5+257r+4TT=357r+

297r=647r。

19.(12分)

(1)已知P41平面ABC,BCu平面4BC,

PA1BC(线面垂直的性质)。

在A4BC中，AB=AC=2,,

取中点0,连接，

vAB=AC.AAD1BC(等腰三角形三线合一)。

又P4nA0=4P/lu平面P48,AOu平面P48,

••・8C1平面(线面垂直判定定理.)。

又BCu平面PBC,

.••平面PBC_L平面PAB(面面垂直判定定理)。

(2)先求△48c的面积：S^ABC=1x2x2xsinl200=V3。

三棱锥体积v=1x73xV3=10

再求BC=V22+22-2x2x2xcosl20°=V12=2\/3。

22

PB=PC=I2+(V3)=V70

△PBC是等腰三角形，其高为后汽=2,面积SAPBC=ix2V3x2=

2V3。

设点A到平面PBC的距离为d,则IZ=：xSM8cXd=l,解得4=京=

V3

2

20.(12分)

(1)取AD中点G,连接EG,FG。可证四边形EFGa是平行四边形,

从而EF||ArG0因为&Gu平面4。。送1,所以EF|呼面ADD14。

建立坐标系，E（l，0,0）,F（2，l，2）,前二（1，1，2）o平面力BCO的法

向量n=(0»0,1)o

.EFn2s/6

S\n0n=\==r-=-==—

\Ep\V63

21.(12分)

（1）因为4BC0是正方形，所以AC^BD0又PO回平面4BC0,所以

PD^AC0因此AC日平面PBO,从而平面P4C回平面PBO