应用举例（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.2应用举例

第1课时视角问题

易错点睛

如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是

_________m.（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60。）-«

［口光

【点睛】应正确理解题意，构造直角三角形求解.2f/

A基础题夯实

知识点仰角与俯角

1.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有,'天下江山第一楼''的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人

机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶部

A的俯角为45。，底部B的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度是______m.（参考数据：tan63=2）

2.如图，无人机在空中A处测徨某校旗杆顶部B的仰角为30,，底部C的俯角为60。，无人机与旗杆的水平

距离AD为6m,则该校的旗杆高约为m.（（退学.73,结果精璃到0」）

3.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景平台测量对面山顶C处的

海拔高度，他在该观景平台上选定了一点A,在点A处测得点C的仰角NCAE=42。,再在AE上选一点B,在点B

处测得点C的仰角NCBE=45o,AB=10m.求山顶C处的海拔高度.（小明身高忽略不计，结果精确到1m参考数据：

sin42M.67,cos42=0.74,tan42=0.90）

B中档题运用

4.如图为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度在距离百货大楼30m的A处用仪器测得匚D4O30一

向百货大楼的方向走10m,到达B处时，测得，匚石8。=48.仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度（结果保

留小数点后一位）.

（参考数据：V3-1.732,sin48-0.743,cos48^）.669,tan48-1.H1）

5.如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EE仕点E处测得山顶A的仰角为45,，在距

E点80m的C处测得山顶A的仰角为30，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45，点C,E,F,

D在同一直线上.求隧道EF的长度.

综合题探究

6.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45，测得

楼AB楼顶A处的俯角为60.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100m,楼AB的高度为10m.从楼AB的A

处测彳导楼CD的D处的仰角为30（点A,B,C,D,P在同一平面内）.

⑴求楼CD的高度（结果保留根号）；

⑵求此时无人机距离地面BC的高度.

B

第2课时方位角、坡度问题

易错点睛

一斜坡的坡度i=l：2,高度为2m,那么这一斜坡的坡长为m.

【点睛】坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比.

A基础题夯实

知识点1坡角、坡比

1.若一斜坡坡角为3（）。，则该斜坡的坡度为1:.

2.公园的一处台阶高出地面L3m,台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示,则下列说法正确的是

）

A.斜坡AB的坡度是tanl（）uB.JC=1.3tanlOm

C斜坡AB的坡度是I。。D.AB=^n

第2题图第3题图第4题图

3.（2025绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度=1:於,堤坝高BC=I5m,则迎水坡面AB的长

是in.

4.如图,斜坡AB上相邻两棵树间的坡面距离为1.8m.若该斜坡的坡角为24。，则相邻两棵树的株距（水平距离）

为m（用三角函数表示）.

知识点2方位角

5.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70。的方向，则淇淇家位于西柏坡的

方向（填方位角）.

北

第7题图

6.一艘轮船在小岛A的北偏东6。。方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西4

5。的C处，则该船行驶的平均速度为海里/时.

7.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72。方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向行驶一段时间后，

到达位于灯塔P的南偏东40。方向上的B处，则此时B处距离灯塔P的距离约为nmile.（结果取整数.

参考数据：sin72-0.95,cos72-0.31,tan72-3.08,sin40参.64,cos4D-0.77,tan40-0.84）

B中档题运用

8.（2025长沙中考）如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上，景点C在道

路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B

的北偏东60。方向上，位于景点A的北偏东30方向上,景点B位于景点D的南偏西45方向上.已知AB=80。

m.

⑴求LUC8的度数；

⑵求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）

综合题探究

9.（2025烟台中考）烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上,为过往船只提供导撕员务为了解渔船

海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时I。海里的速度向码头A航行，小组同学们收集到以下信息：

码头A在灯塔B北偏西14。方向

位置信息14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53。方向的C处

15：00B寸，渔船航行至灯塔B东北方向的D处

天气预警受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

⑴求渔船在航行过程中到灯塔B的最短5巨离；

⑵若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A

(参考数据：sin370~0.60,cos37M.80,tan37==0.75;sinl4-0.24,cosl4乜).97,tan14-0.25).

28.2.2应用举例

第1课时视角问题

易错点睛

V3

基础题夯实

1.512.13.8

3.解:过点C作CDJ_AE,交AE的延长线于点D.

设CD=x，在RlZkCBD中，

ZCBD=45°=ZBCD,

BD=CD=x,

在RIACAD中,NCAD=42。，

4>=一=总

tan420.9'

VAB=IO,

解得x=90,即CD=90,

・•・山顶C处的海拔高度为16004-90=1690(m).

中档题运用

4.解:在RtAADC中,NDAC=30c,AC=30,

ECZ>JCDtan30=30xy=l06=17.32,

VAB=IO,

・•・BC=AC-AB=20,

在RIABCE中,NEBC=48。，

:.EC=BCtan48°=20x1,111=22.22,

・•・DE=EC-DC-22.22-17.32=4.9.

答广告牌ED的高度约为4.9m.

5解过点A作AH_LDE,垂足为H,设EH=xm,

在RtAAEH中,NAEH=45。,

AAH=EHtan450=x,

VCE=80,

；・CH=CE+EH=80+x,在RtAACH中,NACH=30°,

.AHxV3

TT

tan30=C-H=80-+x3',

x=40V3+40,

经检验尸406+40是原方程的解，

AH=EH=4()\/3+4(),

在RtAAHD中,NADH=45。,

所系=406+4。,

EF=£//+D//-DF=80\/3+70.

答隧道EF的长度为(80V3+7O)m.

综合题探究

6解:⑴过点A作AE_LCD于点E,则NDAE=30。.

由题意、可得AE=BC=100,EC=AB=10.

在RIAAED中,/DAE=30。，

__AjDEDEV3

tan30=瓦=荷=T，

解得竽，

匚CD=DE+EC=竽+10.

工楼CD的高度为(一+10)见

(2过点P作PGXBC于点G,交AE于点F,过点D作DH1PG于点H.

设EF=x，贝UPH=DH=x,AF=100-x,PF=PH+HF=x+

在RtaPAF中,PFnAFtanNPAF,x+警=v5doOr),

解得尸100-竽,

PQx+"=IOO,

.*.PG=PF+FG=100+10=110.

答：此时无人机距离地面BC的高度为110m.

第2课时方位角、坡度问题

易错点睛

2y/5

基础题夯实

1.V32.A3.15V3

4.1.8cos24O5.北偏东70°

6.(10+10V3)7.148

中档题运用

8.解:⑴由题意知,ZCBM=900-60c=30°,ZCAM=90°-30°=60°,:.ZACB=ZCAM-ZCBM=60°-30°=30°;

(2)VZCBM=Z