2025-2026学年高二数学上学期（北师大版）期末必刷常考题之一元线性回归

2025-2026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之一元

线性回归

一.选择题（共6小题）

1.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况

进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到），关于x的线性回归方程为

y=1.2r+1.6,则下列说法不正确的是（）

X3456

y56.27.4m

A.变量x、y之间呈正相关

B.预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C.w=8.8

D.拟合误差。=0.48

2.已知变量x,y的4组相关数据分别为（1,8）,（2,7）,（3,5）,（4,4）,则y关于x的线性回归直线

必经过点（）

A.（2,7）B.（2.5,6）C.（3,5）D.（3.5,4.5）

3.某同学用收集到的6组数据对（内，»•）（/=1,2,3,4,5,6）制作成如图所示的散点图（点旁的数

据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线人的方程：+相关系数为门，相关指

数为醉：经过残差分析确定点上为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数

据计算得到回归直线/2的方程：y=b2x+a2,相关系数为2相关指数为匿.则以下结论中，不正确

的是()

E(5,5)

y•

•DBS)

.•CQ23)

Ox

A.n>0,r2>()B.瓦>0,b2>0

1

C.bt>b2D.R\>Rj

4.2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量,

如表所示：

时间X12345

销售量M万瓶5.74.83.83.22.5

若v与x线性相关，且线性回归方程为、=-0.8%+。，则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x负相关

B.样本中心点为（3,4）

C.可以预测当x=6时销量约为1.8万瓶

D.线性回归方程y=-0.8%+。中a=6.4

5.下列命题中错误的是（）

A.在回归分析中，相关系数，,的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

AA

B.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2》+a,样本

点中心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为1.5

C.在回归分析中，残差平方却越小，模型的拟合效果越好

D.对分类变量x与匕它们的随机变量K的观测值人越小，说明“x与y有关系”的把握越大

6.已知某•家旗舰店近五年“五•黄金周期间的成交额如卜表:

年份20202021202220232024

年份代号/12345

成交额y（万50607080100

元）

若），关于，的线性回归方程为y=12t+a,则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额

是（）

A.84万元B.96万元C.1（）8万元D.120万元

二.多选题（共3小题）

（多选）7.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从正态分布X（3,（D2）,且P（XW4）=0.7,则夕（3VXV4）=0.2

2

B.一组数据10,11,11,12，13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若线性相关系数，|越接近1,则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为y=0.3%-m,若样本点的中心为（/〃，2.8）,

则实数/"的值是-4

（多选）8.下列说法正确的是（）

A.对丁独立性检验，随机变量X，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B.以模型户去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=。沙，将其变换后得到线性方程z=3x+l,

则c,k的值分别是e,3

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，日最小二乘法求得其回归直线方程为

y=0Ax+a,若其中一个散点坐标为（-a,5.4）,则。=9

D.将两个具有相关关系的变量x,y的一组数据（xi，.）,（X2，/），…，（x〃，y〃）调整为（xi，巾+3）,

（X2，”+3）,…，（为”y〃+3）,决定系数正不变

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.数据1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位数是3

B.若随机变量X服从正态分布N（山。2）,P（%<-2）=P（A>4）=0.14,则。（1<¥V4）=0.36

C.变量x,少满足经验回归方程为y=0.4x-2〃?，若样本点中心为（/〃，3.2）,则机=-4

D.已知数据XI,X2,…，X6的平均数为6,方差为10,现加入5和7两个数，则这8个数的方差s2=?

三.填空题（共4小题）

10.已知变量x和歹的统计数据如表

Xi2345

y467m8

若x,y线性相关，且经验回归方程为y=L2r+〃，则5〃-切=

11.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：

第x天1234

最低气温y（单位°C）14171514

由最小二乘法得到经验回归方程y=-0.2x+a,则a的值为

3

12.根据变量y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型忧)线:荔j得到经验回归模型y=

bx+a对应的残差如图所示，下列表述正确的有.(填序号)

①变量y和X之间关系可以用一元线性函数模型描述.

②模型误差满足一元线性回归模型的E(C)=0的假设.

③模型误差不满足一元线性回归模型的。(e)=。2的假设.

④模型误差不满足一元线性回归模型的E(e)=0和力(8=。2的假设.

残差

3・

2.•・.••：

1・・・・・・・・

0J,■・•■■.•._____►

0*0.51.0*：\1.5..*2.0••24...3.0*x

・・・・・・

-2**

-3

13.红铃虫(PectinophoragossypieHa)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃

虫的产卵数y(个)和温度x('C)的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①了=沸叶，,

②产c『+c/分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

八产卵数y/个

i残差

140-3；

O

120--f

20

loo-、,

onI。0/

坊•0।।>^T***<^1111A

60--10系20而守2628加334温度

、、/

40-•-20,_,

20-.••

ol-A..tTT11__1__1_1__1__I_>

182022242628303234温度z/七一模型①-O-模型②

图1产卵数散点图图2两种模型的残差图

根据收集到的数据，计算得到如下值：

XZt*a-*G-%(%-

X)2弓2Z)(Xi-X)刃D

252.964616842268850.470308

表中劭=。少；5=数3Zi；口=哈t=3

(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_______比较合适？

4

（2）根据（1）中所选择的模型，求出N关于x的回归方程

附:对于一组数据（601>VI）,（32，丫2），…，（3〃,V/j）,其回归直线1?=伙0的斜率和截距的最小

2,=］（你一切）（巧一万）

二乘估计分别为夕=］之1（晒一齿）2a=v—阿.

四,解答题（共2小题）

14.某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过•天的试销售得到的数据如表:

单价X（元/杯）1010.51111.512

销售量y（杯/店）3028252220

通过分析，发现该新品的销售量y（杯/店）与单价x（元/杯）具有线性相关关系.

（1）根据上表提供的数据•，用最小二乘法求出），关于x的回归直线方程；

（2）已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高臂量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9

元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量.

A——

/〃/nx-y°

附：在回归直线方程y=以+Q中，匕=年舄---------，a=y-bx,富蝇二607.5.

Yxj-nx2

-i=l

15.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新

能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号X1234

销量y336993129

附：相关系数丁一WL（-）

犀像力犀刈一刃2

西（左-君（y「刃

回归方程丫二改+Q中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为力=端。「元Aa=y-bx.

X3%yi=966,Eti(%-衿2=4896,V170«13.04.

（1）试根据样本相关系数，•的值判断该地汽车销量y与年份代号x的线性相关性强弱（0.75W|r|Wl,

则认为y与x的线性相关性较强，，|V0.75,则认为y与x的线性相关性较弱）：（精确到0.001）

（2）建立y关于x的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量.

5

2025-2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之一元

线性回归

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CBDCDC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACDBDABD

一.选择题（共6小题）

1.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况

进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为

y=1.2x+1.6,则下列说法不正确的是（）

X3456

y56.27.4m

A.变量x、y之间呈正相关

B.预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C.w=8.8

D.拟合误差。=0.48

【考点】经验问归方程与经验同归直线：一元线性同归模型.

【专题】整体思想：综合法：概率与统计：运算求解.

【答案】C

【分析】根据线性回归方程的性质可判断NBC,根据拟合误差公式可判断D

【解答】解：对于小由线性回归方程为y=1.2x+1.6可知，变量x、y之间呈正相关，故才正确;

对于8,预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为1.2X2+16=4（百本），故8正确；

6

—3+4+5+6._—5+6.2+7.4+m18.64-TH

对于c,由题意可知,x=---4---=45'=------4-----=-4-

因为线性回归方程y=12什1.6过点(x,y),

18.6+m

所以=1.2X4.54-1.6,

4

解得，〃=9.4,故C错误;

对于。，拟合误差。=[5-(1.2X3+1.6)]2+[6.2-(I.2X4+L6)产+[7.4-(1.2X5+1.6)]2+[9.4-(1.2

X6+1.6)]2=0.48,故。正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

2.已知变量x,y的4组相关数据分别为(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),则y关于x的线性回归直线

必经过点()

A.(2,7)B.(2.5,6)C.(3,5)D.(3.5,4.5)

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】对应思想：定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据线性回归直线方程性质可解.

【解答】解：已知变量x,»的4组相关数据分别为(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),

mH-1+2+3+4__-8+7+5+4/

则％=----4---=25y=­4—=6,

则其中心点为(2.5,6),

而y关于x的线性回归直线必经过中心点.

故选：B.

【点评】本题考查线性回归直线方程性质，属于基础题.

3.某同学用收集到的6组数据对(即，”(/=1,2,3,4,5.6)制作成如图所示的散点图(点旁的数

据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线人的方程：+展1，相关系数为/」，相关指

数为解：经过残差分析确定点E为“离群点”(对应残差过大的点)，把它去掉后，再用剩下的5组数

据计算得到回归直线/2的方程：$=.23+12，相关系数为止相关指数为底.则以下结论中，不正确

的是()

7

昭5）

y•

•D自3）尸亿4.0

.•CQ23）

,4以1习B（12）

----------------------------------►

O-----------------------------x

AA

A.n>0,/*2>0B.b}>0,62>0

AA

C.bx>b2D.Rj>Rj

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】对应思想；转化法；概率与统计.

【答案】。

【分析】根据图象上升，判断正相关，根据拟合效果的优劣判断相关指数的大小，代入点的坐标到直线

方程判断是否在直线I'.,根据图象判断相关系数的大小.

【解答】解：结合图象，呈正相关，力，8正确；

显然瓦M，。正确；

去掉离群点，产约趋向于1,故及2<k2,。错误：

故选：。.

【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关指数的应用问题.

4.2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量,

如表所示：

时间工12345

销售量W万瓶5.74.83.83.22.5

若），与.丫线性相关，且线性回归方程为y=-0.8x+a,则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量），与x负相关

B.样本中心点为（3,4）

C.可以预测当x=6时销量约为1.8万瓶

D.线性回归方程y=-0.8%+a中a=6.4

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

8

【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】对于人利用表中的数据变化情况分析判断，对于4,利用计算平均数即可求出样本中心点，

对于C,利用回归方程可求出预测值，对于。，利用回归方程一定过样本中心点即可求解.

【解答】解：对于选项力，由表中数据可知，p随x的增大而减小，所以变量歹与x负相关，故力正确;

Mr、叱mnf+i*必—r4-ri—1+2+3+4+5-5.7+4.8+3.8+3.2+2.5.

对于选项由表中数据可知，x=-----r-----=3.oy=---------r---------=4,

则样本中心点为（3,4）,故8正确；

对于选项C，因为线性回归方程、=-0.8x+。过样本中心点为（3,4）,

所以4=-0.8X3+a,

解得Q=6.4,

所以线性回归方程为y=-0.8.v+6.4,

当x=6时，y=-0.8X64-6.4=1.6,

所以可以预测当x=6时销量约为1.6万瓶，故C错误：

对于选项。，由选项C可得a=6.4,故。正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

5.下列命题中错误的是（）

A.在回归分析中，相关系数，•的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a,样本

点中心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为1.5

C.在回归分析中，残差平方却越小，模型的拟合效果越好

D.对分类变量X与匕它们的随机变量K2的观测值A越小，说明“X与y有关系”的把握越大

【考点】经验回归方程与经验回归直线；独立性检验；样本相关系数.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据经验回归方程的性质即可求解.

【解答】解：上相关系数厂的绝对值越接近I,线性相关性越强，正确；

9

B：将样本中心点（3,6.5）代入y=2jt+a,得6.5=2X3+。，解得4=0.5,方程为y=2什0.5,

样本点（2.5,7）的预测值为2X2.5+0.5=55残差77.5=1.5,正确/

C：残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，正确；

D：分类变量x与y的片观测值々越大，“x与丫有关系”的把握才越大，£越小，把握越小，错误.

故选：

【点评】本题考查了经验回归方程，属于基础题.

6.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表:

年份20202021202220232024

年份代号t12345

成交额y（万50607080100

元）

若），关于，的线性回归方程为y=12t+a,则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额

是（）

A.84万元B.96万元C.108万元D.120万元

【考点】经验【回归方程与经验回归直线.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】求出3歹，根据回归直线方程必过样本中心点求出Q,即可求出回归直线方程，再代入，=6计

算可得.

11

【解答】解：根据题意可知，E气（1+2+3+4+5）=3,y=^（50+60+70+80+100）=72,

AA

线性回归方程为、=12t+a必过点（E,y）,

所以72=12x3+a,解得a=36,所以y=12t+36,

2025年的年份代号为6,所以当1=6时，y=12x6+36=108,

故根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元.

故选：C.

【点评】本题考查了回归方程，属于基础题.

二.多选题（共3小题）

10

（多选）7.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从正态分布X（3,U）2）,且P（XW4）=0.7,则P（3VXV4）=0.2

B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若线性相关系数加越接近1,则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x,»其线性回归方程为y=0.3%—小，若样本点的中心为（/〃，2.8）,

则实数m的值是-4

【考点】经验回归方程与经验回归直线；命题的真假判断与应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的

意义；百分位数；样本相关系数.

【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】由题意，根据正态分布曲线的对称性即可判断选项力：结合百分位数的定义即可判断选项仅

利用相关系数的概念即可判断选项C；根据线性力程必过样本点中心，将坐标代入即可判断选项〃.

【解答】解：对于选项4若随机变量X服从正态分布X（3,U?）,且尸（XW4）=0.7,

则P（3VXV4）=尸（XW4）-0.5=0.2,故选项力正确；

对于选项后已知一组数据10,II,11,12,13,14,16,18,20,22,

该组数据共有10个数，

因为10X60%=6,

14+16

所以第60百分位数为=15,故选项B错误；

对于选项C：若线性相关系数「|越接近1,

则两个变量的线性相关性越强，故选项。正确；

对于选项。：已知线性回归方程为y=0.3%一m,

因为样本点的中心为（〃?，2.8）,

所以2.8=0.3mmy

解得m=-4,故选项D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查线性回归方程，相关系数、正态曲线以及百分位数，考查了逻辑推理和运算能力.

（多选）8.下列说法正确的是（）

A.对于独立性检验，随机变量x2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=/〃户将其变换后得到线性力程z=3.vH,

11

则c，A,的值分别是e，3

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，□最小二乘法求得其回归直线方程为

y=0.4x+a,若其中一个散点坐标为（-/5.4）,则。=9

D.将两个具有相关关系的变量x,y的一组数据（xi，yi）,（X2，”），…，（x“，p〃）调整为（xi，yi+3）,

（X2»”+3）,…，（x»»y”+3）,决定系数火2不变

【考点】经验回归方程与经验回归直线：独立性检验.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据独立性检验相关知识可解儿根据线性网归直线方程知识可判断8,C,根据决定系数相

关知识可判断D.

【解答】解：对于人对于独立性检验，随机变量x2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率

越大，故力错误：

对于8,以模型y=c/去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=/〃y,则2=尿/=及+而，

乂变换后得到线性方程z=3x+l,则％=3,c=e,故8正确；

对于C,回归直线方程为y=0.4x+”一定经过中心点（总歹），但题中没有明确说明（-a,5.4）是中心

点，故。错误；

Q一匕）2

对于。，由于决定系数炉=1

%（y「刃2，义变成了芦+3,则y'=歹+3,y1=%力+a+3=%+3,

从而%-歹都不变，则肝=（R'）2,故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查独立性检验，线性回归直线方程，决定系数相关知识，属于中档题.

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.数据1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位数是3

B.若随机变量X服从正态分布N（|1,。2）,P（%<-2）=尸（*>4）=0.14,则P（1<YV4）=0.36

C.变量x,y满足经验回归方程为y=0.4x-2〃?，若样本点中心为（/〃，3.2）,则用=-4

D.已知数据XI，X2,…，X6的平均数为6,方差为10,现加入5和7两个数，则这8个数的方差s2=第

【考点】经验回归方程与经验同归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差；百分位数.

12

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】对于人根据定义计算即可；对于从正态分布，利用其对称性即可解题：对于C,根据样本

点中心为(加，3.2)在回归方程歹=().4x-2机上解题即可；对于。，用方差公式直接计算即可.

【解答】解：对于选项4数据按从小到大顺序排列1,2,3,4,5,5,8,8,9,10共10个数据，

因为10X0.25=25所以其下四分位数是3,故/正确；

对于选项6,因为P(XV-2)=P(X>4)=0.14,

所以N=一a4=[,

所以尸(1VXV4)=0.5-P(%>4)=0.5-0.14=0.36,故8正确；

对于选项C，样本点中心为(加，3.2)代入回归方程y=0.4x・2〃?，得3.2=0.4〃？・2〃?，

解得加=-2,故。错误：

对于选项D,X1+X2+…+'6=36,7(XJ+/+…+h)-36=10,

6

可得/+若+…+以=46X6=276,

11O1

现加入5和7两个数后，平均数为§(/+*2+…+R+5+7)=6,s2=1(276+25+49)-36=^,

故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了百分位数、平均数和方差的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及线性回

归方程的性质，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

10.已知变量x和y的统计数据如表

X12345

y467m8

若x,y线性相关，且经验回归方程为y=L2r+〃，则5〃-加=7

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据经验回归直线经过样本中心点叵，刃求解.

-1+2+3+4+5-4+6+7+TTI+825+m

【解答】解:由表格数据可得,x=-------5-------*oy=--------5--------=

13

因为经验回归直线y=1.2%+n过样本点的中心。，女)，

25+m

所以---=1.2x3+n,

整理得5n-m=7.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查了经验回归直线方程的性质，属于基础题.

11.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：

第X天1234

最低气温y(单位℃)14171514

由最小二乘法得到经验回归方程y=-0.2%+a,则a的值为15.5.

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】15.5.

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程后可求得。的值.

【解答】解：由题意可知，彳=1+2*4=2.5,歹=14+15,7+14=]5,

因为回归直线y=-0.2u+a过点(x,y),即点(2.5,15),

所以-0.2X2.5+a=15.

解得。=15.5.

故答案为：15.5.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

(Y=bx+a+e

12.根据变量y和X的成对样本数据，由一元线性回归模型[(0)=0,D(e)=<j2得到经验回归模型y=

bx+a对应的残差如图所示，下列表述正确的有②③.(填序号)

①变量y和X之间关系可以用一元线性函数模型描述.

②模型误差满足•元线性回归模型的£3)=0的假设.

③模型误差不满足一元线性回归模型的D(e)=。2的假设.

④模型误差不满足一元线性回归模型的E(e)=0和。(e;=。2的假设.

14

残差

0*0.5].()・：・・1.5.・.&(!••2.5X

-2*

-3

【考点】经验回归方程与经验回归直线：残差及残差图.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；逻辑思维.

【答案】②③.

y—bxT-CL04"u

(£二(e)、=n0,Dnr{e.)=a24,结合残差图，再对四个命题逐一分析判断，即

可求解.

V—bx+a+e

{E(c)=0,D(C)=°2得到经验回归模型y=b%+a，

根据对应的残差图，残差的均值E(e)=0可能成立，

但明显残差的x轴上方和下方的数据分布不对称，D(e)=。2不满足一元线性回归模型，

则②和③正确，①和④错误.

故答案为：②③.

【点评】本题主要考查经验回归方程，残差及残差图，考查逻辑推理能力，属于基础题.

13.红竹虫(PeclincphsFgcssypieHa)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃

虫的产卵数y(个)和温度X(C)的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①

②y=cf+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

八产卵数y/个

▲残差

140-

120-

100-

80-

60-

40-

182022242628303234温度加匕

图1产卵数散点图

根据收集到的数据，计算得到如下值:

15

XZtCi®-%(4-9⑵-*仪-

02Z）（卷一X）力(D

252.964616842268850.470308

表中zt=lnyi\z=^'3Zi；口=蜡；t=我*口;

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型①比较合适？

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程_y=e°29x-4.34—.

附:对于一组数据（a”，ri）,（o）2,V2）»…，（a%,vM）,其回归直线u=a+为0的斜率和截距的最小

（叫一方）

二乘估计分别为£=M（g-秋a=v—须.

【考点】残差及残差图.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】（1）选模型①比较合适；

（2）y=e0-29x-4-61.

【分析】（1）根据残差图判断即可;

（2）令2=如则2=。+加，利用参考数据求出6,尚值，进而得到产卵数y关于温度x的回归方程.

【解答】解：（I）应该选择模型①.由干模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,H带状区

域的宽度比模型②的带状宽度窄，

所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适；

（2）令z=lny,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则2=。+加,

y®(ze-z)(xf-x)

50.4

所以匕==0.3,

J—〉168

所以a=z一位=2.89-0.3X25=-4.61,

即z关于x的线性网归方程为z=0.29%-4.61.于是有lny=0.29x-4.61,

所以产卵数P关于温度X的回归方程为y=6°2以-4.61.

故答案为：①；y=*29、-4.61.

【点评】本题主要考查了经验回归方程的求解，考查了残差国的应用，属于中档题.

16

四.解答题（共2小题）

14.某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试俏售，通过一天的试销售得到的数据如表:

单价X（元/杯）1010.51111.512

销售量y（杯/店）3028252220

通过分析，发现该新品的销售量y（杯/店）与单价式（元/杯）具有线性相关关系.

<1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

（2）已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9

元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量.

八，，八）Xjyi—nxy“*

附：在回归直线方程y=云+a中，力=怜---------，a=y-bx,若肝=607.5.

>xj-nx2

乙i=]

【考点】一元线性回归模型.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求辞.

【答案】(1)-5.2x+82.2；

(2)17700杯.

【分析】（1）根据题意，分别求得K歹和£；=]演凶利用公式求得b,Q的值，进而求得回归直线方程;

（2）由（1）中的回归方程，当x=9时，求得y的值，即可得到答案.

10+10.5+11+11.5+120-30+28+25+22+20

【解答】解：（1）由题意，可得±=---------?---------=11,y=---------F-----------=25,

且ELx,y,=10x30+10.5x28+11x25+11.5x22+12x20=1362,

所以b=与，/黑=-5.2,Q=25-（-5.2）x11=82.2,

所以y关于x的回归直线方程是y=-52x+82.2；

（2）由（1）知当x=9时,可得y=-5.2X9+82.2=35.4,

所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是35.4X500=17700（杯）.

【点评】本题考查了线性回归方程的计算，属于中档题.

15.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，卜.表统计了2021年到2024年某地新

能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号X1234

17

销量y336993129

附：相关系数丁-「刃，；

好代幻2号刈一"

回归方程丫=加+口中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为匕=飞鱼尹驾豆，a=y-bx.

£i=l（看一个

EtiQi=966，EMBL斤=4896,V170«13.04.

（1）试根据样本相关系数，•的值判断该地汽车销量y与年份代号x的线性相关性强弱（0.75WWW1,

则认为y