解三角形必刷好题（9大题型63题）解析版-2026年高考数学

解三角形必刷好题（9大题型63题）

不做说明默认为单选题

【题型01：正、余弦定理解三角形】

1.（24-25高一下•重庆渝北期中）在△48。中，NB=?AB=2,AC=M,贝i」8C=（）

A.4B.3C.5D.3或5

【答案】C

【分析】根据已知条件，用余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理:4。2=3+此2-2加5（?他8,

代人已知条件，HP（Vl9）2=22+5C2-2-2-5c1,

化简得8C2-28C-15=0,

解一元二次方程：（5C-5）（8C+3）=0,

解得：6C=5或6c=-3（舍去），

所以5c=5.

故选：C.

2.（24-25高一下•北京朝阳•期中）在△力8。中，已知力=45。，a=6,b=3五,则4的大小为（）

A.30°B.60°C.30。或15（）。D.6（）。或120°

【答案】A

【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解.

【详解】由正弦定埋得上==£,即土2=—^,

sin8sinJsin8sin45°

解得sin8=；,又8为三角形内角，所以8=30。或8=150。，

又因为所以力>〃，又月=45。，所以8=30。.

故选：A.

3.（24-25高一下•四川成都•期中）在。中，已知6=卡，力=45。，C=75",贝壮二（）

A.V6+V2B.272C.3D.6+1

【答案】D

【分析】根据两角和差的正弦公式计算sin750,再结合正弦定理即可.

【详解】由题意可知,8=180-45°-750=60",

又皿75。=5m（30+45）=，乂且+3、亚=^^,

1722224

则由正弦定理号=—一可得，c=^*=#x也/x^=l+JL

sin3sinCsin604,3

故选：D

4.（24-25高一下•重庆北陪•期中）△48。中,4，c分别是三个内角4&C的对边,a:加c=4：5:6,则最小

角的余弦值为（）

A.1B.3C.-1D.2

84816

【答案】B

【分析】根据性质大边对大角确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值.

【详解】因为。=4,b=5,c=6,

所以〃<b<c,

所以/<4<C,

d,h2+c2-a225+36-163

XcosJ=----------=----------=—，

2bc2x5x64

所以最小角的余弦值为［，

4

故选：B

5.（24-25高一下•浙江杭州•期中）在△48。中，角48,C所对的边分别为。,6,c.若。=3,csiC=l,C=45°,

则cos4=()

A・巫B-噜

10cA

【答案】A

【分析】根据题意，由正弦定理得到esin4=〃sinC=l,求得力=&,再由余弦定理，求得c=石，结合余

弦定理，即可求得cos/的值，得到答案.

【详解】解：因为牛=3,csin8=l,C=45。，

b

由正弦定理,可得csinB=bsinC=1,即bsin45"=1,可得〃=&,

sinBsinC

乂由余弦定理，可得C?=/+〃-2a6cosC=9+2-2x3x&x^^

=5»所以C=y[S，

2

..।a~2+5—9>/?()

贝|JcosA=-------------=-----7=__7==---

2bc2Xy/2Xy/510

故选:A.

6.（24-25高一下•浙江•期中）在A/18C中，角力,B,C的对边为b,%已知bsin/l-JJacos8=0，

。=2,b=不,则。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】结合己知利用正弦定理化简得sinB-瓜os8=0,进而求得8=g,由余弦定理建立方程求解即可.

【详解】因为Z）sinJ-JJ〃cos8=0,所以由正弦定理得sinBsinJ-J1sin/lcos8=0，

乂sinJwO,所以sinA-gcosB=0,所以tanA=VJ,

又8c（0,兀），所以8=1，由余弦定理〃=。2+。2一2"8$8得，7=4+c2-4cxl,

即c、2c-3=0,解得c=3或c=-l（舍去）.

故选：C

7.（24-25高一下•吉林长春•期中）在44%1中，角力，B,C的对边分别为。，b,c,若

y/3as\nB+bcosA=c，则8=（）

2K_Itc7Tf兀

A.—B.-C.-D.一

3346

【答案】D

【分析】利用余弦定理得〃cos4+bcos/l=c,结合已知得tan8=",得解.

3

（洋向星］因为。cosB+AcosA=ay"+'-+bx"-=c.

2ac2bc

所以c=acosB+bcosA=>/3asinB+hcosA»

I-JtanB=^-»NB=]

36

故迄D

8.（23-24高一下・黑龙江哈尔滨・月考）在448。中，角4,8,。的对边分别是。"，。，以5人（256）8$。=0,

则角C=（）

n57r

A.2EBC型

6-I3

【答案】B

【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为sirM=2sin/cosC,从而可求出结果.

【详解】在ZUBC中,由ccos8在2a-b）cosC=0及正弦定理,

得sinCcosB=(2sinJ-sin5)cosC=2sinAcosC-sin6cosC,

贝ij2sin4cosc=sinCeos8+sin4cos。=sin(Z?+C)=sinJ,

FijsinJ>0,OvCv冗，plljcosC=—,所以C=三.

23

故选：B

9.（24-25高一下•山东济宁・期中j记也力鸟。的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若

2cos43cos45cosC

，则tan8的大小是（

b

B.孚

、•当C.3D.+

【答案】D

235

【分析】根据正弦定理化简，可设=k,再根据tan8=Tan（4+C）化简求解即可.

tanAtanBtanC

2cosJ3cos85cosC

【详解】♦•・

h

...由正弦定理得当=答=等

sinAsinBsine

235

即=k.

tanAtanBtanC

235

令tan/=—,tan,tanC=-,显然A>0,

kkk

„/,小tanA+tanC

vtan5=-tan(^+C)=----------------,

tanJtanC-1

25

一3：Li川3二7k

k25]''710-公

kk

故30-3公=7F,由女>(),解得A=JJ,

tanB=—=5/3.

故选:D

10.(24-25高一下•黑龙江哈尔滨期中)在。中，角4B,C所对的边分别为〃，b,c,已知〃=7,

Gsin〉+cosZ=2,且13bsinC=7csin28,则△/次?的周长为()

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出力，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出sinB,进而利用正

弦定理、余弦定理求出仇。即可.

【详解】在△力8c中，由JJsin力+cos4=2，得sin(/+J)=l,fij0<^<n,则力二?，

63

由13Z>sinC=7csin2B,得13bsinC=14csin8cos8,由正弦定理得加inC=csinB,

_______7x正

则cos8=,sinB=Jl-(—)2=3巨，由正弦定理得b=",访’=—=3,

14V1414sinJV3

由余弦定理得49=,r=〃+，_2ACOS4=9+/_3C,整理得/一3。—40=0,

而c>(),解得。=8,所以△48。的周长为18.

故选:B

【题型02：三角形解的个数问题】

1.(23-24高一下•福建泉州•期中)在。中，/=45。，。=4,6=3,则满足条件的△ZBC()

A.不能确定B.无解C.有一解D.有两解

【答案】C

【分析】由题意画出图形，结合条件求出48边上的高，可判断三角形解的情况.

【详解】因为力=45。，6=3,。=4,如图：

又逑<3<4,l^h<b<a,则此三角形有一解,

2

故选：C.

2.（24-25高一下•黑龙江哈尔滨•期中）在△ABC中，己知。=5,c=3,C=30°,则符合条件的三角形个

数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数.

【详解】

因为asinC=5x!=：<c<。，所以符合条件的三角形个数是2个.

22

故选：C.

3.（24・25高一下•陕西西安•期中）△48C的内角4&C的对边分别为a,b,c,B=450力=7,如果ZU8C有一

解，则。的值不可能为（）

A.1B.7C.7A/2D.572

【答案】D

【分析】法一；利用正弦定理求出sin/=志，再分别代入验证，求出sin/,再结合4的范围可得.

a_b_I

7/e.,a

【详解】法一：在ZUB。中，利用正弦定理可得嬴7=嬴?7=&，则sm力方，

2

7；4=;,则sinA-»因“€（0,兀），则力£或（舍），

242

则△ABC有一解，故A错误；

若。=7,则sin/=¥，因4w（O,江则/=：或苧（舍），则M8C有一解,

故B错误：

若〃=70，则sin/l=l,因4e（O,兀），则/=g,则△月8C有一解，故C错误;

若a=5>/J，则sinX=2>^^,因力武0,兀），则或，€仔,学,

72\42）1241

则。有两解，故D正确.

法二：利用b=asin45°或者0■知，。=7&或。47,

故选：D

4.：24-25高一下•广东广州•期中）已知△ABC的内角48,C的无•边分别为。，b,c,且满足五，8

的三角形有两个，则力的取值范围为（)

A.(1,>/2)B.(72,2)C.(1,2)D.(0,>/2)

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理,结合三角形有两解的条件列式求解.

b<a,b<R

【详解】由△/18C有两解，得.asinB即lJ2解得\<b<6，

sinA=-----<1,h>y/2x---,

b2

故选:A.

【题型03：三角形面积公式】

1.（24-25高一下•广东•期中）在△力8c中，48=2,8C=3,4C=4,则△力8c的面枳为（）

A2D•半

A-4B-7c玛

【答案】D

【分析】先利用余弦定理求出cosZ=2,可得sin/=3叵，再由三角形面枳公式可得答案.

1616

【详解】•.•48=2,BC=3,AC=4,

-=次+3-叱=2、4。11

2ABAC2x2x416

16

x2x…=4x里岖

…48c~5164

故选：D.

三个内角48,C所对边分别为,若(b-c)sinB=2csinC且〃=VIo,cosA=：,则LABC

2.在AW中,

8

的面积等于（)

A.叵

B.V39C.3gD.3

2

【答案】A

【分析】利用正弦定理求得〃=2c,结合余弦定理可求得Ac的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三

角形的面积公式可求得结果.

【详解】因为（b—c）sin8=2csinC,由正弦定理可得b（b—c）=2d,即从—A—2c?=0,解得力=2。或6=-仁

（舍）.

由余弦定理可得10=/=b2+c2-2bccosA=5<?2-4<?2x—=—c2,

82

解得c=2,故6=4,

2

因为cos/=：,则角4为锐角，所以，sinJ=71-cosA=^-f

88

因此，Sfw~—^sinA=—x4x2x=2^2..

ZB，2282

故选：A.

3.(24-25高一下•江苏无锡•期中j记△48C的内角4区。的对边分别为4也c,面积为

后8=60°,/+。2=3g,则\=()

A.472B.272C.8D.2

【答案】B

【分析】由三角形面积公式可得。c=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，S△皿=!acsinS=ac--JJ，

24

所以ac=4,/+c2=12,

所以〃=a~+c?-2accosB=12-2x4x—=8,

2

解得b=2&或b=-2五(舍去).

故选：B.

4.(24-25高一下•山东聊城•期中)记△48C的面积为S,内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若

$=3瓜，C=y,则cos(4-8)=()

11I

A.-B.-C.~D.—

4688

【答案】B

【分析】由S=；"sinC,即/=，^absinC,利用正弦定理和C=方求解sin4sin8和cos/cos3,最后

利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】由题意有S=[HsinC,所以c2=36s1=3&x[MsinC,

22

aE

由正弦定理有sin?C=---sinJsinBsinC＞又0＜。＜兀，sinC^O,

2

所以sinC=2叵sin/sinA，乂因为C=g,所以sin4sin4=；,

233

又cos。=cos[n-(J+^)j=-cos(/l+B)=-cos/lcos^+sin力sinA=g,

所以cosAcosB=——，

6

所以cos(4-3)=cos4cos4+sinJsinB=-：+；=：,

故选：B.

5.(23・24高一下•福建厦门•期中)已知△ABC的内角4优。的对边分别为。也叫

b=2,Qsin4—csin4+csinC=bsin8,若a+c=4,则△力4c的面积为()

A.VJB.2石C.3>/3D.2

【答案】A

【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.

【详解】由正弦定理角化边得到：a2-ac+c2=b2,

BPtz2+C1-b1=ac,

a2+c2-b2ac1八八

所以cos8=---------------=------=-,0<4<几，

2ac2ac2

3

4-c2-b2=(a+c)~-2ac-b'=ac,

目.a+c=4,b=2,

得Sac=12,即ac=4,

所以S=—6(csin5=—x4x—=VJ.

222

故选：A

6.(24-25高一下•云南昭通•期中)在△力8。中，角力，B,C所对的边分别为。，b,c,S表示△力吕。的

222

面积，若C=90。，S=^(b+c-a)f则8等于()

A.90B.60C.45D.30

【答案】C

【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得8s4=g，结合诱导公式化简可得sin5=g,再利用正弦定理得

cC

a-b,即可求得角4.

【详解】由5=:。加而。=!e2+°2—/),可得cos力，2+02”2

24'72bc

所以cos5-〃)=sinB=£,

由正弦定理一J二——，可得丝二f,化简得a=b,即8=45°,

sinBsinea1

故选：C.

7.在△44。中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,记△/14C的面积为S,已知S+c>-/=4JJs,

b=2,c=3,求△川?。外接圆半径〃与内切圆半径之比为()

A6+不7+5小6-77「14+105/7

A.-----RB.-------Cr.------D.--------

8989

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，结合辅助角公式可得角力和。，再利用正弦定理可求外接圆半径,

等面积法求内切圆半径，从而求解.

【详解】因为(b+c)2-力=465，所以〃+26c=4>/L；/>csin/l,

即卜~~—+1=6sin/，

；2hc

由余弦定理,得VJsin力-cos/=l,

在三角形中440,兀)，则4一2=9或学(舍)，故力=?，

6663

由余弦定理，/=/+/-2庆cos4=4+9-2x2x3x；=7,所以。=4,

乙

1_a_币_2币E

由正弦定理，京7一耳一访，则犬=半，

T73

因为,(a+b+c)r=,bcsinA,

22

.用

所以「/csin42X3XY邛，所以”=霹=2±^.

9

a+b+c5+V75+77'=二

5+V7

故选:B

【题型04：三角形形状的判断】

1.(25-26高一上•全国•课后作业〕若A28C的三个内角4民。满足cos24-cos28=2sin2c,则△49C是

()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.锐角三角形

【答案】A

【分析】利用二倍角公式将已知等式化为sin23-sin24=sin2c,然后利用正弦定理边角互化得知-式=。2,

进而求得5=],即可判断.

【详解】利用二倍角公式将已知等式化为1-2sin2>/-（l-2sin2^）=2sin2^-2sin2//=2sin2C,

222

即$廿8-$山24=01?。，由正弦定理得〃一/=,^a+c=b,所以8=5，

所以△48C是直角三角形.

故选:A.

2.在△N4C中，角儿B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos4,则△力8c的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理可以判断出4为钝角，则△力8c的形状为钝角三角形.

【详解】^c<bcosA,可得c<y+c2*,即

2bc

则cos8/+>”<0,又8e（0,兀），则=<8<几

2ac2

则2ABC的形状为钝角三角形

故选：A

3.（24-25高一下•山西吕梁•月考）在△力8c中，内角4,B,C的对边分别为。，b,J已知

」一=」一，则△力8C是（）

cosCcos/1

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得sin2A=sin2C,结合范围24,2Cw（0,21）可求

JT

2力=2。或24+2。=%解得/=€；或/+。=5即可得

【详解】―-—=―--,可得acos/l=ccosC,

cosCcosA

・'•日正弦定理可得：sin^cos^=sinCcosC,即sin24=sin2。，

vJ,CG（0,4），可得242Cs（0,2万），

/.2A=2C,或24+2。=乃，

•.•解得力=c，或4+C=],即△ABC是等腰或直角三角形.

故选：D

4.（24-25高一下•安徽芜湖•期中）在。中，若/+/一°2=砧，且sinC=2sin4cos4,那么△彳8。一

定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】D

【分析】结合余弦定理和/+人2-2=岫可求C的大小，利用三角恒等变换公式和sinC=2sin/cos8可求彳

与3的关系，从而可判断三角形的形状.

【详解】因为/+/-。2,所以c?=/+〃-"，

又根据余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC,

所以2cosC=1=>cosC=—,

2

因为Ce(0,7t),所以C=3.

又由sinC=2sin/cosB,得sin(H+8)=2sinJcos5,

所以sin/cosB+cosJsinZ?=2sinAcosB,

所以sin(4-6)=0,

因为力和8是三角形的内角，所以4-8=0,即4=8,

所以△48c是等腰三角形，

又因为。=方，所以，△4BC是等边三角形.

故选：D.

5.(24-25高一下•广东广州•月考)在△48。中，角力，B,C所对的边分别为a,b,c,若

a-b=c(cosB-cosA)f则△4AC的形状为()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形

【答案】D

【分析】由射影定理解出a-〃=c(cos8-cos/l),得到。=6或C=],即可判定其形状.

【详解】因为。-b=c(cos8-cos/)=ccos8-ccos/1,则〃一ccosA=6-ccos/l,

又因为射影定理：«=/>cosC+ccosB,b=acosC+ccosA,

所以原式等价于力cosC-acosC

则(a—b)cosC=。，则q=6或C=],

△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.

故选：D

6.(24-25高一下•四川成都•期末)设ZVIB。的面积为S,角力、6、。所对的边分别为。、屋c,旦

b2=a2+c2-ac，若万•冗=26S，则此三角形的形状为()

A.等腰三角形B.百角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析］由余弦定理可得出cos8的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出tan/l的值,

结合三角形内角的取值范围得出1、A的值，进而可得出角C的值，即可得出结论.

【详解】因为〃=/+/-ac=/+c，-2accos8,所以cos4=J,

A*

因为0<8<兀，故

因为祝•荏=2\/Js，即以。,力4cosA=26xg力csin/,

即Accos/=GbcsinA»化简得sin4=cosA，

因为0</<兀，故JJsin力=cos/>0，可得tan4则力=g,故。=三，

362

因此，△川5c为直角三角形，

故选:B.

【题型05：解三角形在实际问题中的应用】

1.（24-25高一下•黑龙江佳木斯•期中）圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、

棱柱于一体，极具对•称之美.为了估算圣•索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物48,

高约为36m,在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得建筑物顶力、教堂顶。的仰角分

别是45。和60。，在建筑物顶力处测得教堂顶。的仰角为15。，则可估算圣・索菲亚教堂的高度8约为（）

C

A.45mB.47mC.50mD.54m

【答案】D

【分析】根据题意求得4W，在△力MC中由正弦定理求出GW,即可在直角△CDW中求出CO.

【详解】由题可得在直角“8M中，/4W4=45。，AB=36,所以AM=-二%二36&,

sin45°

在&4必。中，ZJMC=180°-60°-45°=75°,NM4C=15。+45。=60。，

J9f以N4CM=180°-75°-60°=45。,

36ax立

所以由正弦定理可得焉二焉,所以CM=——T=^-=36>/3,

V2

则在直角"DM中，CD=CM-sin60°=54,

即圣.索菲亚教堂的高度约为54m.

故答案为：D.

2.（25-26高一上•四川绵阳•期中）某船只在海面上向正东方向行驶了工km迅速将航向调整为南偏西60。,

然后沿着新的方向行驶了3（）石km,此时发现离出发点恰好30km,那么x的值为（）

A.30B.60C.40或60D.30或60

【答案】D

【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出x的值.

【详解】设出发点为4,向东航行到"处后改变航向到达C，

则=AC=30,8c=306，ZJi5C=30°,

ACBC即3030>/3

由正弦定理可得:

sinZABC~sinZBAC'sin30。-sin/84c

二s\nZBAC=—

2

•.如C=60。或120。，

（1）若N84C=60。,则//C8=90。，△48。为直角三角形,

AAB=2AC=60；

（2）若N84C=120。，则乙化8=30。，ZU4C为等腰三角形,

.\AB=AC=30

综二，%的值为30或60.

故选：D.

3.（24-25高一下•浙江温州•期中）一艘渔船航行到4处时看灯塔8在力的南偏东30。，距离为6海里，灯塔

C在力的北偏东60。，距离为6石海里，该渔船由力沿正东方向继续航行到。处时再看灯塔8在其南偏西

30。方向，则此时灯塔C位于渔船的（）

A.北偏东60。方向B.北偏西30。方向C.北偏西60。方向D.北偏东30。方向

【答案】D

【分析】由正弦定理可得/。=6,由余弦定理得。。=6,由正弦定理得/CD4,即可求.

【详解】如图，

AB=6,ZADB=60Q,

则△44。为正三角形，则=6,

在44CO中，因为力C=6JJ，ZCJD=30°,

由余弦定理得0)2=+力。2-24Cx/Oxcos30。=(6>/5『+6二一2x675x6x4=36,

所以。。=6,故NCO4=120。,

此时灯塔C位于渔船的北偏东30。方向.

故选：D.

4.（24-25高一下•江苏盐城•期中）如图，两座山峰的高度4M=CN=200m,为测晟峰顶M和峰顶N之间

的距离，测量队在8点（4,8,。在同一水平面上）测得加点的仰角为45。，N点的仰角为30。，且

乙WBN=45。，则两座山峰峰顶之间的距离MN=（）

A.200mB.400mC.2000mD.400后m

【答案】C

【分析】在Rt△48"、RS8CN中利用锐角三角函数求出8W、BN,再在△8MN中利用余弦定理计算可得.

【详解】在RUABM中BM=一——=用匕=20072（m）,

sinZJ5Msin45°

CN200

在RLACNH」BN==400(m)

sin/CBNsin30°

在MMN中MN=5MM2+BN?—ZBM•BNcos/MBN

+40()2一2x200>/2x400x—=200V2(m).

2

故选：C

5.（24-25高一下•辽宁•期中）"欲穷千里目，更上一层楼''出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于

今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳

楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）

从地面。点看楼顶点4的仰角为30°，沿直线前进80米到达E点，此时看点C的仰角为45。，若

BC=3AC,则楼高48约为（）（6=1.732,结果保留2位小数）

A

BE

A.80.56米B.81.46米C.84.32米D.86.56米

【答案】B

【分析】设4。=工，分别在即与△C5E中利用正弦定理,列方程,解方程即可.

【详解】由已知设4C=x,则8c=3x,48=4x,

ABBD

在△48。中，由正弦定理得

sinZADBsinZ.BAD

即3翳日4底,

十/门80BE

乂在△C8E中,‘"”"口sinZ5FC=sinZ5CE

即跖="巴8。=3工，

sin45

则DE=BD-BE=4Gx-3x=(4g-3)x=80，

SO

贝U4x=4x—J=——«81.46,

4V3-3

故选：B.

6.（24-25高一下•山东烟台•期中）斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到

主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔48垂直于桥面,斜拉索.4OMC与桥面所成角==a

（如图2）,主塔//的高度为人则CO间的距离为（）

图1

Asin(<z-/?)〃sinasin(a-/7)

A.B.

sinasinpsin0

力sinsin(a-夕)-sina

••sin6sin(a-£)

【答案】A

【分析】先用三角函数表示出4c8。，进而得出CD,再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公

式化简即可.

【详解】在Rt△力8c中，tanZ^C^=—=—=>5C=—

BCBCtana

,,,ABhcch

在RjM中‘tan""^=而

所以。。=8。-8。=----—

tan3tanQ

A(tana—tan/3)h(sinacos.Z?-sin(3cosa)〃sin(a—,8)

tanatan3sinQsinsinasinQ

故选：A.

7.(24-25高一下•浙江•期中)壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔"。的高，他在山下/处测

得塔尖尸的仰角为45、再沿假斜角为6的斜坡向上走100m到达4处，测得塔尖尸的仰角为75',塔底。

的仰角为45。，那么壕股塔的高为()

P

A.50V2mB.50^mC.50mD.25(&+m

【答案】A

【分析】如图，根据给定条件，求得NPQ8=135°和NP8Q=30'，利用正弦定理即可求解.

【详解】

如图,NP4O=ZDPA=45°,NA4O=15",NQAC=45°,ZPBC=75°.

所以NPAB=30°,NBPC=15',NPBQ=30°,得NPQB=135°.

在△力5尸中，AB=BP=100,

PQ

在2。8中，由正弦定理得时=

sinAPBQ

解得SP」°°sm3°一=50五,

sin135

所以壕股塔的高为50应米.

故选：A

【题型06：面积、周长、边的最值问题】

1.(24-25高一下•湖北荆门•期末)在△ABC中，内角的对边分别为。也%且2ccos6=2a+6.

(1)求角。的大小；

(2)若△ABC的面积5=立°,求△力面积的最小值.

2

【答案】(1)。=与.

⑵3G.

【分析】(1)由正弦定理和正弦和角公式得到cosC=-；,求出。=与；

(2)由三角形面积公式得到c=g",再由余弦定理和基本不等式得到，畋必之12,求出三角形面

积的最小值.

【详解】(DMBC中,2ccosB=2a+b,由正弦定理得

2sinCcos8=2sinJ+sinZ?=2sin(3+C)+sinB,

即2sinCcosZ?=2sinZ?cosC4-2cosZ?sinC+sinB.

故2sin8cosc+sin8=0,又4€(()、兀)，则sinB工0,

即cosC=-L,

2

又Ce(0,7r),可得C=会：

’2)*V.oC=—aZ)sinC=^-ab=-c»PPJc=^-ab,

“sc2422

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab，

即!"〃之3她必2]2,即当且仅当a=6=2G时.，等号成立，

故△48C面积的最小值为中X12=36

2.(24-25高一下•江西上饶•期中)已知△力夕。的内角4,B,C的对边分别为。，b,J且

4acos8+6=4c.

(I)求cosJ；

(2)若4="，求△/AC周长的最大值.

【答案】(l)cos4=：

4

(2)4+76.

【分析】(1)正弦定理得4sinJcos8+sin8=4sinC,由sinC=sin(4+8),化简可得cos4；

(2)由余弦定理可得6=〃+c2-gbc,可得6+^c=e+c)，根据基本不等式即可求出b+c的最大值,

进而得出△川5c周长的最大值.

【详解】(1)在△/8C中，4acosB+/)=4c,

由正弦定理得4sinJcos8+sim=4sinC,

在△/IBC中，A+B+C=TI,则sinC=sin(4+8),

则4sinJcos8+sinB=4sin(4+8)=4sirL4cos8+4cos/lsin5,

得sin5=4cosJsin5,

在△48。中，Be(0,n),则sinB^O,所以cos/l=(.

(2)在△川?。中，由余弦定理得/=〃+C2-2ACOS4，

由(1)知cos力=[,又a=瓜,

则6=〃+c2__Lbc=g+c)2-2bc-』bc,

22

BP6+|^c=(Z?+c)2,

又6+2庆46+^^1，则伍+C)2W6+，3，

224v724

^(6+c)2<16,贝iJ/)+c44,

当且仅当〃=c=2时，等号成立.

所以△NBC周长的最大值为4+6.

3.已知△力4。的内角力、B、C的对边分别为4、b、c,且bcosg=csin8.

⑴求C;

(2)若△力8C的面积为石，求c•的最小值.

【答案】(1)C=?

（2）2.

【分析】（1）利用止弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求角C；

（2）利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求c的最小值.

C

【详解】（1）由已知及正弦定理得sin8cos5=sinCsin8,

ccC

由8G（0,兀）,得sinSwO,得COS37=sinC=2sin—cos—,

222

cc1

由。€（0,兀），得得cos±wo,得sin上=上，

222

得5=2,