2026届高三数学三轮冲刺：必刷小卷1 解答题第18、19题 专练（一） 三角函数与解三角形（解析版）

口题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究

1.(2026•安徽六安2月高三学业水平检测，17分)双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基

于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为sinh(%)=《F,双曲余弦函数定义为cosh(x)="A.

(1)求双曲余弦函数cosh(x)在x=0处的切线方程；

(2)令f(x)=cosh(x)—cosx,讨论f(x)在(0,4-oo)的单调性；

(3)证明：2tcmTcosh0+3tQ7i[cos/i@)+…+nhzn/coshg)>n+5—3(n>l,neA»*).

【解析】已知cosh(x)=°+：，所以coshf(x)=e-e，则cosh'(O)=三幺=0,又cosh(O)=1,

即函数在x=0处的切点为(0,1)，斜率为0.因此，cosh(x)在x=0处的切线方程为y=l.

(2)由f(%)=cosh(x)—cosx=---cosx,x6(0,4-co)，所以f'(%)=—I-sinx,

令F(x)=f'(x)=g-g+sinx.xG(0,4-oo)，再次求导得尸(%)=e+cosx,

由基本不等式得丝F?由戈•L=1，当且仅当/=e-“，即”=0时，等号成立，因此，在(0,+00)

上空色二>1故F，Q)>1+0os%20，得FQ)=/(外在(o,+8)上单调递增，

因比rw>rm=o，可得ft。在(。,+8)上单调递增.

(3)证明辅助不等式:当xe(0,1)时，sinx>%-^.

令g(x)=sinx-X+y,Xe(0,1)，求导得g'(x)=cosx-1+y,

再令h(x)=g'(x)=cosx—14-y,xG(0,1)，求导得h'(x)=-sinx+x,

令<p(x)=/i'(x)=—sinx4-x,x€(0,1)，求导得(p'W=-cosx+1>0,

故(p(x)=h'M在(0,1)上单调递增，因此h'M>hf(0)=0,

即hf(x)>0,h(x)="(%)在(0,1)上单调递增，得g'M>g<0)=0,

故g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)>g(0)=0，即sinx>x-^,xG(0,1).

由(2)知,当x€(0,1)时,/(x)>/(0)=0,即cosh(x)>cosx,

又x€(0,1)时，tanx>0，故tanx・cosh(x)>tanx•cosx=sinx,

结合辅助不等式得照等3>等>1一}

令X=工并进一步裂项放缩，令X=-(n>1,716N*)，则Titan工cosh=tanqshQ)>11

2

nn'zn\n/-n6n

又白V,1.—--，因此，ntan-cosh(2)>1——•

n2n(n-l)n-1nn\n/6\n-ln/

当,n€N”时，对通项依次放缩:2tangcoshQ>1-[(1-m，3tangcoshG)>1—

..."tan-cosh田>1--(——-Y

n\n/6\n-lnJ

将以上各式相加得2tan；coshQ+3tan|coshQ)+•••4-ntan^coshQ)>1-(1-0+1-Q-+

…+1--(―----=n-1--fl—=n4-——

6\n-lnJ6\nJ6n6

因比2tan|coshQ)4-3tancoshQ)+…+ntancoshQ)>n+(n>l,neN")，得证.

□题型二三角形的费马点

2.(2026•湖南长沙阶段检测，17分)正等角中心亦称赞马点，是三角形的巧合点之一.“费马点”

是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其

与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VA3C中的三个内

角均小于120。时，使得Z4O8=N8OC=NCQ4=120。的点O即为费马点；当VA8C有一个内角大于或

等了120。时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题；已知VA8C的内角人仇。所对

的边分别为，若csinC-asinA=(c-/?)sinB.

(1)求A；

(2)若bc=2,求VA8C的面积;

（3）设点P为VA8C的费马点，求西・丽+丽・无+无.可.

【解析】（1）由正弦定理得即从十°2一/=秘，所以8必="+：2―、2二牛二，

2bc2bc2

又A«0,兀），所以4=半

（2）因为4=三，若尻=2,则VA8C的面积为：s=4csinA='x2x@=@.

32222

（3）易知VA8C的三个角都小于120,由费马点定义可知：ZAPB=ZBPC=ZAPC=120»

设「从卜|尸q=T尸1=z,由S、AI,H+SqSl,c+SJPC=S扒BC得:

+—+-xz—=-x2x^>整理得刈+”+xz=2,

222222

贝IJH4P6+尸方尸dPC

口题型三三角函数、不等式恒成立与参数最值问题

3.（2026•山西西安第八十五中学一模，17分）已知函数/a）=sinx-gsin2x.

⑴求〃x）在（0,兀）上的最大值；

⑵求证：Dxe[0,+W,恒成立；

⑶若Vxw0,，）都有/（x）＞o?co*恒成立，求〃的最大值.

【解析】（1）由题知/'（x）=COSLT-8s2x=-2cos、+CO&Y+1=（1-COSJV）（1+2COSX）,

当彳=与时，r（、）二°'

当KW0,时，r（x）＞0,即/（力在0,三上单调递增，

27r时，r（x）＜u,即在传述）上单调递减,

当xe

所以当x=与时，/（X）取最大值/2兀）

34

(2)先证：Vxw[0,+8),sinx<x,令q(x)=x-sinx,XG[0,+O?),贝ij</(x)=1—cosxN。,

所以函数q(x)在[0,y)上单调递增，故以刈之“(0)=0,即shuWx在[0,+8)上恒成立.

又f(x)=sinx——sin2x=sin.v(I-COSA)=2siirvsin2—,由siru〈x(x20)知，sin—<—,

2222

所以〃力=2如叱疝]2*2八平/，即小)小3,得证.

2\2/2

(3)当时，/(x)>ar,cosa:,BP-^^--siiu-ar3>0,^^(x)=-^^--sinv-at3,

k2/cos.rcost

贝iJg(O)=O,g'(x)=―--cosx-3ad,其中g'(0)=0,

cos"x

令〃(x)=g'(x)=———cosx-30V*,贝i](x)=+sim•-6«x且(0)=0,

cos~xcosx

令8(x)="(x),贝ljd(x)=6sinj+r+cosx_,其中()sin\

cosxcosxcosx

2-4_A

令E=cosxe(0,l),〃(f)=7+Z-6a,M/?(/)=—+1=<0,

2

故〃(/)=了+/-6〃在fe(O,l)上单调递减，其中〃⑴=3-8.

公、生,1mil，/x6sin2x2工、6sin2x2.

①，贝iJo(x)=----+———+cosx-6a>...—+———+cos.r-3,

2cosXCDS-XcosXcos'.v

令以])=竺竽+二^+COSX,b(x)在上单调递增，“工)>"0)=3,

cosxcos'xI2)

所以“(力>3-3=0恒成立.故莉6="(文)在xe(0,|)上单调递增，且@("=”(可>/«0)=0.

/\

所以/?(x)=g，(x)在xwog上也单调递增，月<(x)=g'(x)>/(())=(),所以g(x)>g(0)=0,

故/(x)>adcosx恒成立.

②若*，贝1必0)=3-.<0,且前€花)使得当xe(O,/〃)时，”(“<0’

所以函数0(x)在(0,7〃)上单调递减,故工«0,小)时,(p[x)=A'(x)<0,

所以函数/?（%）在（o,M上单调递减,

所以xw(0,m)时,/?(■¥)=g1x)<0,所以xw(0,/n)时,g(x)v0,

兀

与/(x)>a£cosx,xe0,-恒成立矛盾.

\乙)

综上所述：。的最大值为会

口题型四三角函数性质与累加型数列不等式

4.(2026•广东东莞3月模拟测试，17分)已知函数/(x)=2siar+sin2x

(1)判断/(x)是否为周期函数，并说明理由：

(2)求/(x)的最大值和最小值；

f

(3)设〃£N；证明：sinx+sin2x+sin4x+-••+sin2nx<—/?+1.

9

【解析】(1)是周期函数，

埋由如下：由二角函数周期性知：sin(A+27i)=sinx,sin[2(x+2n)]=sin(2^+47r)=sin2x,

因此：/(x+2^-)=2sin(x+2n:)+sin2(x4-27i)=2sinx+sin2x=/(x),

即2兀是/(x)的一个周期，故/(x)是周期函数；

(2)由⑴可知求/(x)=2sinx+sin2x在[0,2可上的最值即可.

对fM求导得：/'(x)=2cosx+2cos2x=2(2cos2x-1)+2cos=2(2co院-1)(cos.r+1),

令.f'(x)=°，得cosx=-或COSJI=-1,

2

在一个周期[0,2可内，当六时，f\x)>0,

—J一

TI5兀5TC

当xe时，/W<0,当xw—,2n时，ff(x)>0,

故/(x)=2sim:+sin2A•在0,],y,2n单调递增，在py单调递减，

▽n/兀)c.兀।.2兀3A/3

乂f—=2sin—+sin—=----,

13,332

/5兀\r.5兀.1()7136fS\n

f一=2sin-+sin——=-----,/(2兀)=0,

k3J332

所以/*)的最大值为辿，最小值为-逆;

22

(3)记S”=sirLr+sin2x+sin4x+...+sin2Hx,

由(2)知对任意实数1,都有2sinf+sin2rw2阻，

2

对攵令/=2"，得：2sin2Ax+sin2*+,x<—，

2

将上述〃个不等式累加，左边整理得：

k,,1

£(2sin2x+sin2*"x)=2siiu+3sin2x+3sin4x+…+3sin2x+sin2"x=3Sn-siiu-2sin2"x右

k=Q

边为〃.地，因此：35„-si!iv-2sin2wx<—H，整理得："《走〃+包士咨业，

2"2"23

..,I.,/日siiu+2sin2"x,1+2x1,

由smxWl,sm2"x£l，得--------------<-------=1

33

因此：sinx+sin2x+…+sin2"xW+1，得证.

2

口题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明

5.(2026•黑龙江齐齐哈尔一模，17分)已知函数/(x)=2sinx-or.

(1)当4=1时，求函数/(x)在［0,可上的值域；

(2)若对任意xwO,］，都有〃司2把0注,求实数。的取值范围；

n11118

nGN')

3)证明：京矗<tan—+tan—+tan—+•••+tan-----7<—

223242(〃+l)23兀

【解析】(1)当4=1时，/(X)=2sinx-x,xG[0,n],JRiJ/(x)=2cosx-l,

令/'(x)>。，则COSA->-，即。<X<g；令/'(X)<。，则COSA-<-,即色<X<71.

2323

所以/（力在„）上单调递增，在仁,兀）上单调递减，

又〃。）=。,/0=6-：,/（兀）=一兀，所以/（工）值域为一兀

（2）由/（X）>ACOSX,得28111¥—.¥€08^—4丫20,

设〃（x）=2sirLY-xcos^-ar,xw0,^，则力（。）=0,

力'（x）=2COSJT-cosx+xsinx-a=co^x+xsinx-。,

设g（x）=cos^+Jtsiiir-a,贝i］g'（x）=xcos^,

所以当XE0,］时，g'(x)“，所以”(x)在0,|上单调递增，

/、

所以1-4=/?'(())W力'(X)W"y=］一〃.

①当〃之5时，"(X)KO,〃(X)在0,y上单调递减，则〃(同工0，不满足题意；

/\

②当1<4<，寸，1r0,y，使得〃'小)=0,

乙\.乙)

当0<犬</时，〃'(x)〈0,〃(x)在(0,%)上单调递减，贝iJ〃(x)<〃(O)=O，不满足题意；

③当々KI时，”(x)20,〃⑺在0,-上单调递增，则〃(x)N〃(0)=0，满足题意.

综上可得,即实数。的取值范围是

(3)证明：由(2)得，当。=1时，任意,2sinx-xcosx-x>0恒成立，

—xsinxx

艮［Han—=--------->—,

21+cosx2

11111/

所以tan-------r>-------7>7-----77------r=---------------〃6N

(〃+1)~(〃+1)"(〃+1)(〃+2)n+\"+2、)，

1111

所以tan—+tan—+tan—+---+tan-----

223242(〃+l)27

1II1111111n

〉---+----+--——+•••+----------=--------=------

233445n+\n+22n+22〃+4

4/\4,八兀，/\414COS2X-

令〃(x)=-x-taa¥,0<x<-，贝ij〃(x)=-------=......—

兀4''兀cos-x71COS'X

(兀、

存在工£0,-，使得

则当xw(O,/)时，p'(x)>0；当XE(端,；时，p'(x)<0,

\4，

于是〃")在(0,%)上单调递增，在％，9上单调递减，而P(O)=P?=0,

所以p(x)>0,即当0cx<宁时，—x>taiu.

471

_1418(I11

所以tan------<---------<---------------

(〃+1)-7i("+1广兀(2〃+12n+3)

］、

所以tan—7+lan—7+tan—彳+…+tun------

223242(〃+1)2武35572〃+12〃+3,

8Q____!_］<旦

兀［32/1+3J3兀

_n11118/2

综上所述------<tan--+tan—-+tan—-+,•,+tan------<—(〃wN)

'2〃+4223242(〃+1)23小)

口题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较

6.(2026•江苏南京栖葭区名校秩盟一模，17分)已知函数/(x)=e”cosx,g(x)=sinx+1.

(1)求/(月在0,])内的单调性；

(2)若存在工£一亲。，使得f(X)-〃g(X)20,求实数a的取值范围；

(3)设方程/(x)=g(工)在区间2〃兀+[,2〃兀+(〃=1，2/、2025,2026)内根从小到大依次为

\3乙)

X],马，…，”2025，”2026，试比较""26与*2025+2兀的大小，并说明理由.

【解析】(1)//(x)=excosx+ev(-sinx)=er(cosx-sinx).

当0<xv：时,cosx>sinx,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当(时，cosxvsinx,/z(x)<0,/(x)单调递减；

所以，/(x)在[),()上单调递增，在?上单调递减.

(2)由题可知存在xw-$，°，使得e'cosxNa(sinx+1)成立,

6

兀八，-I11ecosx

xG—,0时，sinx+1G—』故存在~—,0,使得

6J\_20I+sinx

7T

令禽其中一

M4I6

,,、e'(cosx-sinx)(1+sinx)-e1cos2xev(cosx-1](1+sinx)

li(x}=—------------------------7-------------

(1+sinx)"(1+sinx)2

且“(x)不恒为零，故函数〃(X)在-/0上单调递减,

则力(吐皿=，13)=瓜6'故。4小系

(3)-^2026>々025+2%.

证明：由/(%)=g(x)可得e'cosx=l+sinx，

令°(x)=e'cosx-sinx-\,则°’(x)=ev(cosx-sinx)-cosx.

r兀c兀

因xe\2/27：+—,Inn+—

I32)则sinx>cosx>0,

所以“(力＜0,所以函数9(x)在2〃兀+£,2〃兀+](〃wN+)上单调递减,

32J

/、*l2x.一厂(冗、

因为.2〃兀+二］=，£/_卫_拈二_也_］＞0,92〃兀+5=-2＜0,

13)2222I，，

(冗兀、

所以，存在唯一的毛£2〃兀+7,2〃兀+彳(〃EN.),使得夕(毛)=0,

\32)

Xn

所以，xMe(2/171+—,2/271+—,ecosx,-sinx-1=0,

I3?)〃"

-sinx,t+1-l=0,且/+1—2兀€(2〃兀+]，2〃兀+]

同理可得*“cosxM+I

因为Xn+|-27l<xH+1,所以2HV/川，

(JiTI)

因为七+iw[2〃兀+耳+2兀,2〃I+5+2兀J，所以cosx“+]〉0,

,_2n

所以，(p(xn+l-27t)=e^cos(xM+I-2K)-sin(xM+1-2TC)-1

A7,,,-2st

=已j“-2xcosx“+1—sinxM+l-1=ecosxM+1-e^,'cosx,r+I=(e%""jcosx^j<0=夕(工)

(TlTl

因为函数在〃兀+可,〃冗+上单调递减，故西

e(x)2257i+I-2兀>Z，即%>x”+2%,

kD乙.)

取H=2025,贝|J犬2026>*2025+2兀.

口题型七三角幕指函数与数列放缩不等式深度探究

7.(2026•山东德州一模，17分)已知函数/；(x)=sin2〃(x-：)+cos2"x-^

(1)证明：4(x)(〃22)在［(),；•］上单调递增；

/।\r,+/

(2)记，(x)的最小值为4也=2log27+1,数列丁的前〃项积为Tn.

(i)求｛〃“｝的通项公式；

(ii)证明：对任意的〃SN,7；>成立.

【解析】(1)因为£3=2小符1

当臼切时，则-尸一尸，所以

(叫

可得sin2x--«0,且smx——<cosX

I2)I4J

>2n2

即si/"-x_2E|_C0S-x-—<o

k4JI4；

.、7T

可得/：(x"0,所以函数，(/)(a2)在0,-上单调递增，

(2)(i)若〃=1,则工("=1,即4=1;

兀

若〃之2，由(1)可知：<("(〃22)在0,-上单调递增，

且工人+g=sir?”

X+—H-COS-"(1)

乙)4)

可知，(“是一个周期为T的周期函数，

可知£("关于犬=：对称，

则/；(可在x=+；,ZwZ处取到最大值，在x=,攵wZ处取到最小值，

-T，m•，，//兀兀171兀］o/1丫I

可得=sin-k-----+cos-k------=2xn——=2x—=——-,

”I24；I24；2(2j2n-'

综上所述：an=^7T,zzeN

2+1_2〃+1

(ii)b“=2log2—+1=2n,

【4Jb.2n

4+1b2+1bit+1

方法一：数学归纳法证明不等式

b、b.

之工二…出〉而T成立，

2462n

当〃=1时，左边,右边=收，因为|〉正，所以不等式成立，

a+1A+lb+\35724+1r—

假设当〃二〃时不等式成立,即M.丁…n\一>JZ+1成立，

4+18+1bk+1bk+l+1

则当〃=k+l时，左边=

AAa

3572k+\2Z+3r—2Z+3(2k+3尸_/4(k+l)2+4(k+l)+l

一•一•一•••----------------->7k+1------

2462k2k+22k+24(4+1)4(Z+1)

(2*+荻川>师诃

所以当〃=〃+1时，不等式也成立，综上所述：可证得不等式恒成立；

方法二：构造新数列方法证明不等式.令g=乂燮

yjn

2n+1yJn+\_2〃+1-2y]n2+n"/+4〃+l-"/产+4〃

2+1>0

,2ny/n2〃2〃

铝〉"即空岑"邛,铝邛,…bn+1J〃+l

所以

"b、}b2>/2b3V3

b[+1“2+1〃”+1&p3"+1_/_77

>-----------?=*-7=r*...--------产—=>/〃+],

\72△品

b\b2b”

综上所述：可证得不等式恒成立.

⑶2⑸22/7+13.4V5,6⑵+12〃+2二x-〃+1

方法三：T；=

3

2n、2n2714-112n

>V^+1,

口题型八正切函数导数应用与正切型数列不等式证明

8.(2026•重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分)设函数〃x)=tanr-sinx.

(1)求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程;

(2)若困数g(x)=/(x)一奴3(awR)在区间0段上单调递增，求。的最大值;

乙)

(3)已知数列｛4｝满足:

4+凡«

①。用--；©ak>0,1<9999,keN且

1一〃4

2.21

/1\\cosx+sin-x1

【解析】(1)f(x)=------；-----COSX=——--COSX

cos'xcos~x

故,(0)二^5一cos°=1-1=0，又/(O)=tanO-sinO=0,

故曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y=0；

(2)由题意，g”/o对任意恒成立，

则g'(x)=y^——cosx-3ar2,令〃(x)=g'(x),则〃'(x)=^^+sinx_64x,"(0)=0,

令〃(x)="(x)=2sinA+$血_60r,

cosx

则/(x)=2+4s?x+8s一6a,其中/?/(0)=2+1-6«=3-6r/,

cosx

令”(0)20,即3—6。20,解得“工；,

下面证明awg时，g")30在xe(o,5)上恒成立,

g〈x)=—即-3加>—^-cosx--x2

cos-xcos-x2

n

令卬——,注意到卬(0)=0,

COS-X2I2-J

2siru*

则vv'(x)=+siav-3x,注意到vv'(0)=0.

cos'x

令r(x)=/(x),则/(/)=6吗”+—+cosx-3，

cosxcos'x

6sin2x八”।712

其中——厂>0在工£0A,上恒成立，令/=以双¥£(0』),=”+/-3,

cosxk

故=故〃⑺=,一3在小(0,1)上单调递减,

其中〃(1)=2+1-3=0,故〃(f)>0在,£(o,l)上恒成立,

故二^/71

+cosx-3>0在0,—上恒成立,

cosX2)

，/、6sin2x2

故()二京丁益不+cosx-3〉0上恒成立,

故《.E)=W(X)在上单调递增,

故vt/(x)>W(0)=0,故卬(x)在x£(0卷)上单调递增,

w(x)>w(O)=O,故g'(x)N校(x)>0,所以

下面证明a>；时