2025-2026学年高一数学下学期第一次月考（人教A版必修第二册 第六章~第七章高效培优强化卷）（全解全析）

高一数学下学期第一次月考卷（人教A版）

强化卷•全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生多•必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第六章〜第七章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下面命题中，正确的是（）

A.若同=恸，则HB.若同咽，则5〉坂

C.若"=（）,则）=0D.若X呗工/行

【答案】D

【详解】对A,同=。|,但£,B不一定同向，所以入B不一定相等，错误；

对B,向量不能比较大小，错误；

对C,若忖=0,则〃=6,错误；

对D,若£=石，则°,6长度相等，且方向相同，所以£//九正确.

故选：D

2.若复数z=〃，T+（m-l）i（其中i为虚数单位）为纯虚数，则实数”的值为（）

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】A

_1—A

【详解】若复数z=〃『-1+W-l）i（i是虚数单位）是纯虚数，则•：।~,解得〃7=7.

/〃一1二0

故选:A

3.已知向量2，务‘满足|"|=1,|昨2,-昨不，则工+B在坂方向上的投影向量是()

1-3-I-3-

A.-hB.-bC.~~bD.--b

4444

【答案】B

【详解】由|U|=J7,得|二环=7,即.加浙=7,

将|。|=1，|刃|=2代入上式可得：］-2q.B+4=7，即〃/=一1，

根据投影向量的计算公式，£+坂在B方向上的投影向量为石,

时

(a+b\-b_ab+b\

-1+4一3一

则-rb=-----b=-b

44

故选：B.

4.已知兔数2=6+3则z+；=()

5733.Q5百3.

AA.---+—iB.-------1C.

444422

【答案】A

I/r.1r:.Q-i/r.岳-i5^33i

【详解】因为Z=b+i；所以2+=6+1+斥?=6+1+=近+1+==丁+彳.

故选:A

5.设不=(L2),3=(1刈).若一与♦的夹角为钝角,则〃?的取值范围是()

A.(提+8)B,卜8,3)C.D.

【答案】D

【详解】由题意可得产r-=?：2：＜。=…51,所以

黑-2x1孑0]*22

故迄D

6.在△48。中，角力，B,C的对边分别为a,b,c.已知8=9，。=8,/)cos/1+QCOS8=6,点。是△力6C

的外心，若的=工函+)，而，则刈=()

2529

Bc.—23C.D.

365436

【答案】A

【详解】VbcosA+acosB=6,

由余弦定理有：匕4+二五=6,

2bclac

/.c2=6c»解得。=6,

由丽=%而+丁前得，~BO-~BA=^\^=xBABA+yBCBA,

即而♦初=；|N0M前|.|^|cosB,

BOBC=^BC\=xBABC+yBCBCt

即诙.肥=；］沅『=工心4.忸RcosB+y］比。

?5

即：18=36x+24y,32=24x+64y,解得x=］,y=^

255

工>'=—x——=——

91254

故选：A.

7.区瓦万起点重合，忖=2威忸卜4,<43>=*("40-<7)=0,则同的最大值为()

A.273+1B.3C.V13-1D.V13+1

【答案】D

【详解】由题意〃.5=„月cos<a»>=2VJx4x"^=12»

22

Z+•=p|+|^|+2a^=12+16+24=52,则口+q=2后,

因为(a_c)・(B_c)=0,

b-ac-bc+(cj=0,

所以k)=-12+C・(4+B)=-12+斗

+bcos<cfa+b>

---q+12

所以cos<c,a+b>=-1

2而卜|

因为一1<cos<c,a+b><1所

2网|

整理得|c|2-2+12S0且F1一2V13p|+12>0（恒成立），

解得如-1«F卜加+1,即同的最大值为JF+1.

故选：D

8.已知非零平面向量1，b»々是单位向量，〈a0〉=学，且炉-8九0+15=0,则|6+，lmin=（）

6

A.4B.逝+3c.JiD.1

3

【答案】D

【详解】由己是单位向量,b2-3b-e+15=0»得-4e）2=l,即-4e|=l,

作向量酝=2反=4"，砺=九则|而|二|历一反|二1,

点8的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆,

由〈瓦0〉二斗，得〈一作向量况=一二，

666

过C作射线。4的垂线C。，垂足为。，

—•■■■,’■・JT

所以*min=|8|T=|OC|Sinw-l=l.

6

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.物理中位移的合成是向量加法的几何基础，例如：在△45。中，。为线段6c中点（如左图），在封闭回

路4B力中，而=而+而；在封闭回路4C。中，~AD=lC+CDx将两式相加，由于丽和而互为相反

向量，其和为0,整理可得而=：（前+就）.类比这个过程，在右图的四边形/"豆）中，E、尸分别为线

段NO、8c中点，贝I」（）

C.而=；（粉+胫）

D.而=?箫+而+砺+国

【答案】AB

【详解】因为市=成+蒜+而，市=丽+反+而,

则2万=（或+而）+（而+画+（而+方）,

且瓦产分别为力。，8C的中点，则或+方=6,0+赤=6,

所以2阱=0+（方+反）+0=益+反.即前=：（1万+反），A正确,

又就十万方=前+初+武+赤=在+加

所以乔二；（次+9），B正确，

AL）+BC-AB-DC=AD-AB+BC+CD=2Bbf

即而+瑟工方+皮，

即丽工（（而+而），C错误;

如图：

由条件可知2而=而+所,

2FE=FA+FD^即2丽=箫+痔

所以4而=箫+而+而+反，

即加=：（万+而+而+反），故D错误，

故选：AB

io.已知复数z满足e37+=5=4i,则下列结论正确的是（）

A.忖=1

4

B.z的虚部为一彳

J

c.在复平面内三对应的点位于第二象限

D.若复数百满足|马-z|=2,则㈤的最小值为1

【答案】ACD

【详解】由匹士^=4i,得3z+5=4zi,所以2=3去二万当^^\二—|一3，|z|=J—+—=1,A正

z3-41(3-41)(3+41)5511V2525

确；

4

z的虚部为-不，B错误；

z=-13+-4i,在复平面内彳对应的点为,一3-4人、，位于第二象限，C正确；

因为㈤=|z「z+zMz1-2卜|y=1,D正确.

故选:ACD.

11.如图所示，分别以等边三角形48C的顶点4B，C为圆心，线段48的长为半径画圆弧R,AC，

彘,三段圆弧围成一个曲边三角形.已知48=2,。为48的中点，点P,。分别在或，JC±,若

A.|阕的最小值是20-2B.|阕可以取到20

C.丽•丽的最大值是2四-1D.方•厢可以取到1

【答案】AC

【详解】如图，设“(0,0),8(2,。)，

yjk

根据等边三角形性质，则。(1,6),。为的中点，故。。,0)；

圆弧前以彳为圆心，半径为2：公以8为圆心，半径为2.

设NP48=a,则尸在丽上，坐标P(2cosa,2sina),ae.

63.

4CBQ=B，且a=[+m，故.

6L6_

0在就上，以4(2,0)为圆心，BQ=2cos(与+/?),2sin与),所以0(2-2sina,2cosa).

由地=(々-.%,用一力)得：|国卜2j3-2(sina+COS6Z)=2卜26sml。+?)'

在aw时，当二==时，/注二2-2&=2&-2,故A对.

63J41Imin

国的最大值在aj或方处取得，凤「2也-6<2a,故B错.

。尸O0=(2cosaT)(l-2sina)+4sinacosa=2(sina+cosa)-l

=2>/2sin。+弓)一1,

当a=f时，(而・丽)=272-1,故C正确，

4'‘max

当或三时，(OR。。.=君〉i,故D错.

6317min

故选:AC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z,卬满足忖=2,z=(l+i)w(i是虚数单位)，则何+3|的最小值是.

【答案】3-V2

【详解】因为z=(l+i)o,两边取模得:忖=|1+恫="同，

已知忖=2,则同=企,

因此，。在复平面上对应的点"的轨迹是以原点为圆心、半径为血的圆,

而|。+3|表示点力到点(-3,0)的距离，

问题转化为：圆心在原点、半径为衣的圆上的点到点(3,0)的距离的最小值,

即3-VL

故答案为：3-JJ.

13.已知向量方的夹角为值1=1，⑹=2,则B在。上的数量投影为

【答案】1

【详解】占在方上的数量投影为WCOS^=2.cnsy=1.

故答案为：1.

14.已知。为圆心，点力是圆。上一点，点尸是圆O内部一点.若网=2,且弧万=一2,则向+西

的取值范围是.

【答案】［3,2JJ)

【详解】因为点4是圆O上一点，|E|=2,所以==2,

因为方.万二刀•(而一厉)=丽•而一|丽(二一2,

所以33•丽二|刀『-2=2?-2=2,

设方与诉的夹角为夕，0<6><x,

则为.丽=|刀,而卜os9=2|西cosJ=2,所以|丽卜os°=l,

又上os0|"所以回卜焉“

又点尸是圆0内部一点，所以04|而|<2,

综上1W所卜2；

"+斗晒+而丫=J囱？+2二.诉+|西2

="22+2x2+］研=,8+|阿，

因为西<2,所以948+回［<12,则3K，8+|西2<2石，

所以3m方+而|<26.

故答案为：［3,26).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在直角梯形力8C。中，已知ABHDC,AD1AB,CO=1,AD=2,/8=3,动点七、厂分别在线段8C和。C

上，和8。交于点M,且“=%及，DF=(1-2)DC,Ae［O,l］.

(1)当2时，求近8万的值；

(2)当4=:时，求罂■的值：

3MB

⑶求后+g瓶的取值范围.

【答案】(1)-4

cDM5

(2)---=—

MB6

(3)箫+；近的取值范围是臀，手

'一・I''—''—.'—''-'.'I'—/''—''一

【详解】（1）当义=彳时，BE=-BC,所以BC=BA+AD+DC=-AB+AD+aAB=-gAB+4D,

所以匠万+回=_；而+g而，

AE=AB+JE=AB--JB+-A75=-7B+-A75,

3232

又而=而一五§，

所以亚.丽=2赤+上

132

=-7B7D+-A152--JB2--7B7b=-x22--x32=2-6=-4-

323223

2___2—■—.—__I—.?—■___

(2)当丸=一时，BE=-BC,所以4c=44+力。+。。=一44+力。+—力4=一一AB+AD,

3333

所以诟=；胫=：(_|］豆+N万［=［方万，

4rur

AE=AB+BE=AB--AB+-AD=-AB+-AD,

9393

因为4M,£三点共线，所以存在小，使*A/=用力七=*〃/8+："*。，

529

又因为伉三点共线，所以§加+§m=1,解得机=打，

所以+所以；777=——=7;

1111MB66

(3)因为/=而+方=而+(1T)皮=瓦+上^刀，

3

RC=R4+力【)+DC=-/"?+")+一共二一一J/?+AD

339

所以诟=2*?=/l(_g荏+而)，

前=诟+诟=赤+:(—g荔+而)=(1—而+%而，

所以万+g荏=(:一|4而+(1+£］而，

,+；荏卜6_„一万2+26_3)(1+£|而.通+(1+£|-而2,

=5h6%+?=50司+祟

由题意知440』，

所以当％时，/+4荏取到最小值四,

5210

当2=0时，酢+g五百取到最大值粤，

所以赤+g荏的取值范围是苧，斗.

16.(15分)

已知复数z=〃?+2+(〃?-2)i(weR).

(1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数〃，的范围;

(2*为z的共挽复数，且z+5=6.

(i)若z-3i是关于x的方程+(°,beR)的一个根，求该一元二次方程的另一旦数根:

(ii)若|。-z|=l,求|。|的范围.

【答案】(1)一2<加<2；

⑵(i)3+4i；(ii)[VlO-1,7104-1]

【详解】(1)复数z=，〃+2+(〃?-2)i在复乎向上对应点(〃I+2,M-2)落在第四象限,

m+2>

解得一2<〃?<2,

m-2<0

所以实数m的范围是-2<册<2.

(2)⑴由z=〃?+2+(/〃-2)i,得5=/〃+2-(m-2)i,

由z+；=6,得〃?+2+(〃z-2)i+流+2-(〃?-2)i=2〃?+4=6,解得,〃=1,

则z=3—i,z-3i=3-4i,依题意，3-4i是关于x的实系数方程/+如+方二。的一个根,

M(3-4i)2+tf(3-4i)+/7=0,gp(-7+3«+/^)-(4^+24)i=0,

—7+3a+b=0

于是L“A，解得。=-6，b=25,原方程为——6x+25=°，

4。+24=0

即(X-3)2=16i2,解得玉=3-4i,%=3+4i,

所以该方程的另•复数根为3+4i

(ii)由⑴知z=3-i,|o-z|=l为|0-(3-i)|=l,表示复平面内复数。对应点与点(3,-I)的距离为1,

因此在复平面内复数切对应点〃的轨迹是以Z(3,-l)为圆心，1为半径的圆，

而I勿表示点"到原点。的距离，又|OZ|=j32+(—l)2=所>1.

则|OZ|—iq。凶oz|+i,BP>/io-i<|<y|<Vio+i,

所以1团的范围是[厢

17.(15分)

在平面直角坐标系中，已知力-也8-|〃?),C(7—〃,0)ZmeR/w0.

(1)若m=4/为x轴上的一动点，点彳(­2).当W,P,8三点共线时，求点尸的坐标：

(2)若/=2/〃=8,尸为直线。力的一动点，求丽•无的最小值及此时P的坐标；

（3）若/=sina9w（0,兀），且。与无的夹角ae0,^1,求，〃的取值范围.

<51

【答案】(1)-,o

12/

963

⑵方5，-5

(3)附<5

【详解】（1）设P（x,0）,〃?=4,贝］夕4,2）,

所以7?=(x-1,2),花=(3,4),

因为了A与了豆共线，所以4（》-1）=6,解得*=

所以当4,尸,4三点共线时，点〃的坐标为佟0）；

(2)由题可知,J(2,l),5(0,-4),C(-l,0),

因为尸为直线O月的一动点，所以设点尸

6------9

当心一《时,(ra-PC)min=--,

此时P点坐标为,

(3)因为z=sin&£w(0,7r),所以/sin,

<sin”

所以爹=(疝。+小-7,3]，赤=(1,8-：〃力；

IsinOjI2)

■\

因为。与己万的夹角0,y,所以有.而>0恒成立,

------(3^2

所以OlC4=sin，+/〃-7+8--w——>0,

I2Jsin。

乂因为。€（0,兀），所以sin0>0,

所以sin26—7sin6+〃?sin。+16—3〃?>0，

即(3-sin^)/7?<sin?。-7sinO+161亘成立,

sin*-7sin0+16

乂因为3—sin<9>0,所以〃?<，夕€（0,%）恒成立,

3—sin。

令3-疝6=%,则1出3),

换元可得/〃<%+%+4=/+&+],kw[2,3),

kk

因为A+g+lN2j?+l=5,当且仅当％=2时等号成立，

K

4

所以当〃=2时，&+；+1有最小值5,

k

所以机的取值范围是：机<5

18.(17分)

已知锐角△力4。的内角力，8,。的对边分别为。，b,c.

⑴若2COSB+1=£

a

(i)求证：B=2A；

(ii)求警的取值范围；

sine

(2)若G是△ABC的重心且AGJ.BG,cosC的取值范围.

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)停1)

【详解】(1)(i)：因为2cos8+1=£

a

所以24cos8+a=c,由正弦定理得：2sin4cos8+sinH=sinC,

因为4+«+。=n，所以sinC=sin(4+8)

原式等价于2sin力cos8+sin力=sin(4+B)=sinAcosB+sinBcosA

得：sin/Icos5-sinBcosA=-sin/i,

sin(4_8)=sin(_/I),又因为AeO,：、，

所以4一8=-4,即24=8

(ii)由(I)知24=",所以34+。=兀，sin3/i=sinC

sinJ_sinA_sinA_sinA

sinCsin3月sin2AcosA+sinAcos2A2sinAcos2A+sinAcos2A

sinA_1

sinC4cos2A-\

因为三角形48c为锐角三角形，

/

所以0<24=8<色，()<TI-3A=C<-=>AG

22(64

4cos2J-l€(1,2),

sinA1

所以----=-----；----e

sinC4cos"A-\

(2)设中点为0,用向量。，在表示向量G，GB♦

0等；*+西=铝-；丽

由NG_L8G得，晶.丽=0,

所以2T•住而一；可=0

A一•.9-r?7r?1一.

^-CACB--CA--CB+-CACB=0

9999t

2a2+2b2

化简得：^abcosC-^b2-^a2=0,即cosC=①

5ab

由余弦定理可得：COSCJ+"Y

2ab

联立①②得。2+/=5°2

因为△力8c为锐角三角形，所以cos4>0,cos5>0,

a2+c2>b25a2+a2+b2>5b2

则有：，〃2+°2>/，*

5b2+a2+b2>5a2’