勾股定理与数学思想 培优练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第4讲勾股定理与数学思想

典例精讲

题型①等腰转化列方程

［例I］如图在△ABC+，ZC=9O°,AC=3,AB=5,AB的垂直平分线分别交AB.BC于点E,D.求BD的长.

【例2】如图，在四边形ABCD,CD〃AB,ND=90。,AB=BC,CD=2,AD=4,AEJ_BC于点E.求BE的长.

1.如图.在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.D,E分别为BC,AB上一点，将口8。£沿DE折叠，使点B落在边AC

的中点处.求CD的长.

2.如图.在△ABC中,AB=AC点D在边AC上.且AD=BD过点A作AE_LBD.交BD的延长线于点E,若

4E=6,8C=2而，求AC的长.

■E

D.

板块二方程思想（二）双勾列方程

条件:已知△ABC.条件:/B二ND=90。.

方法:过点A作AD_LBC,垂足为D.方法：连接AC.

结论：AgABZ-BDZMO-CD?结论：A^AD^CD^AB^BC2.

典例精＜并

题型①共高用双勾

【例1】如图，在△ABC中,AB=7,AC=8,BC=10,则SAABC=

题型②等斜边用双勾

【例2】如图在四边形ABCD中,AB〃CD,NABC=90。,AB=9.BC=8,CD=7,M是AD的中点，过点M作AD的

垂线.交BC于点N.求BN的长.

实战演练

题型③共斜边用双勾

1.如图，在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,NEAD=/EBC=NBAC=90。.若CD=3BD,4E=v5,则AB的长

为.

题型④等高用双勾

2.如图.在△ABC中,AB二AC点O,D,E,F分别在△ABC的边上，四边形ODEF为长方形.A0=3、0B=CD=4.求A

F的长.

板块三整体思想(一)

条件:NC=90o.BD,AE为中线.条件AB=AC.

结论：AB2-AP2=BPPC.

典例精讲

题型①整体代换

【例1】如图，在△ABC中,NC=9()o,AC=3CD,BC=3CE,AB=3机.求力炉+打〃的值

题型②和差代换

【例2】如图，在△ABC中,AB二AC,P为BC上一点若BPPC=2.求力炉-力尸的值.

实战演练

1.如图，在△ABC中.NACB=90o,CA=CB,D为AB的延长线上一点,CD=2,求力/^+^^的值

2.如图，在△ABC中,NC=9(T,P是AC的中点若AD=3.DB=5.求BC的长.

[911]如图,D,E分别为匚力灰的边BC,AC上一点，1C=90,DE=3,4B=5.求AD2+物?的值.

【例2】如图.在四边形ABCD中,AC_LBD,垂足为O.若AD=5,CD=3,求力炉-8c2的值.

实战演练

1.如图,D,E分别为AC,BC上一点，EC=90J^B^DEyAE^BD2^^AB的长为

c

E

2.如图,AC=AE=4,AB=AD=5,/BCA=NCAE=NBAD=90°.求DE的长.

板块五分类讨论

条件AB=AC,BD是AC边上的高。

®AC=AD+CD;②AOCD-AD.

典例精讲

题型①高的位置不明

【例在^中,边上的高则ABC

1］ABCAB=15,AC=13,BCAD=12,SA=.

题型①直角顶点不明

【例2】如图，在△ABC中,NACB=90\AC=3,BC=4.以AB为直角边，在AB的下方作等腰R3ABD,则CD的

长为.

备用图

实战演练

l.SAABC中CA=CB=10,高AD为8,则AB的长为,

2.如图.在等边△ABC中，48=4日作RSDBC,使DB=4,NDBC=90。.则AD的长为

备用图

题型②点在等边三角形外

【例2】如图在△ABC中,AB=3,BC=5,/ABC=60。,以AC为边向△ABC夕M乍等边△ACD,连接BD.求BD

的长.

实战演练

如图在四边形ABCD中,CD=3,BD=5qABC为等边三角形,NADC=30。.求AD的长.

板块六勾股定理与全等构造（六）构双等腰直角三角形

条件:等腰RtAADC.

条件：等腰RtUADB.

方法:作等腰RtABDE.

方法：作等腰RtUCDE.

结论：匚二匚BDE;ACLBE.

BCE=ADC+JABC.

典例精讲

题型①拼直角

【例1］如图.在△ABC中,AB=AC,NABC=NADC=45。.若AD=5CD=4,,求BD的长.

【例2】如图在等腰对△ABC中,AB=AC,D为△ABC外的一点，且口力。8=75,4D=遮,9=2.求CD的长.

实战演练

题型③勾逆算直角

如图，在△ABC中,AC=BC,NACB=9()o,PA=3,PC=2a,PB=5.求□力PC的度数

板块七勾股定理与全等构造（七）构120。的双等腰三角形

条件:AB=AD,AC二AE,ZBAD=ZCAE=120°.条件:AB=AC,AD=AE,二BAC=DAE=\20°.

结论;①△ABCgZ^ADE;

@ZCDE=ZBAD+ZBCD.结论:①△ABDgAACE:

②Nl=/EAD=120°.

典例精讲

【例】如图，在△AOB中,.AO=BO=/n,OC=l,NAOB=l2()o,NOCB=60。,求AC的长.

实战演练

1.如图，在△ABC中,NBAC=12（T,AB=AC,点P在直线AB上方，且□力尸8=60、求勺值.

2.如图.在四边形ABCDAB=AC,ZBAC=120°,ZADC=90°,S皆=*，求喘的值.

AD2Alt

板块八勾股定理与全等构造（八）等角与倍角

条件:NABC=2/C=2a.条件:NCAD=NB=a.到牛：口8=2匚。4。=2以

方法:延长CB至点D,使BD=AB.方法:作AE_LAB.方法：作口£4。=九

结论:AC=AD.结论:AE=AD.结论：AE=AD4B=EB.

典例精讲

题型①二倍角构等腰

［例I］如图，在△ABC中,AB=3,BC=5,ND=2NC.求AC的长.

A

题型②等角构等腰

【例2】如图，在△ABC中,NACB=9()o,D为BC上一点,NCAD=NB,AB=4,AD=3.求AC的长.

实战演练

1.如图在△ABC中,/ACB=90。,D为BC上一点,NCAD=NB,AC=2CD=2,则BD的长为.

2.如图.在△ABC中.NACB=9()o,D为BC上一点NB=2NCAD.AB=5,BC=4.求AD的长.

、B

D

第4讲勾股定理与数学思想

板块一方程思想(一)

单勾列方程

典例精讲

【例1】解:连接AD「・・NC=90。，

[BC=7ABS4.

,/DE垂直平分AB,

・•・AD;BD.设BD=x.则AD=x,CD=BC-BD=4-x.

UAC^+C^AD2,

匚32+(4-X)2=/,

【例2】解:连接AC「・・CD〃AB,

AZDCA=ZCAB.

VBA=BC,.\ZBCA=ZCAB,

AZDCA=ZBCA.

VAE1BC,

AZAEC=90o=ZD.

VAC=AC,J△ADC之△AEC,

/.AE=AD=4,CE=CD=2.

设BE=x,

则AB=BC=BE+CE=x+2.

VBE1BC,

匚AE2+BE2=AB\

匚42+/-0+2)2,

/.x=3,/.BE=3.

实战演练

1.解：□/1C2+5C2=9+I6=25=J5\DDC=90D,

•.旧为AC的中点，

匚AB=CB=3,

设CD=x，则B'D=BD=4-x,

匚(犷+小心/，

「尸四口8=2

32'32-

2.解:过B作BH_LAC于点H,

AZE=ZBHD=90°,

•/ZADE=ZBDH,AD=BD,

/.△ADE^ABDH,

；・BH=AE=6,

CH=《Bd-BHf,设AC=x,

AB=x,AH=x-2,

tAH'BHJAB，

匚G-2)2+62=/,

.,.x=10,AAC=10.

板块二方程思想(二)双勾列方程

典例精讲

【例1解:作AD_LBC于点D,设BD=x，则CD=10-x.

VAD1BC,

EJZ)2=72-X2=82-(10-X)2,

l17Lnc17

Ex=—,CBD=—,

4*4'

15

5=nc

J8c2-o

【例2】解:连接AN,DN.

是AD的中点

AAM=DM,VAD±MN.

・・・AN;DN,设BN二x,

在乙ABN中，92+X2=J；V2,

在ADCN中，72+(8r)2=ON2,

「AN=DN,

E92+X2=72+(8-X)2,

/.K=2,ABN=2.

实战演练

1.2石解:连接DE,设BD=x,

则CD=3x.可得△AEB^AADC,

AEB=CD=3x,

AE=AD=V5

VZEAD=ZEBD=90°,

£

EX2+(3X)2=(V5)2+(A/5)2,

Vx>0,.*.x=L.\BD=l,CD=3,

/.BC=BD+CD=4.

VAB=AC,ZBAC=90°,

{.AB=AC=^-BC=241.

2.解:I•四边形ODEF为长方形，

ADE=OF,EF=OD,OD//EF,ZOFE=ZDEF=90°,

AZODB=ZC,

ZOFA=ZDEC=90°.

VAB=AC=3+4=7,

AZB=ZC,/.ZODB=ZB,

・・・0D=0B=4,

，EF=4.设AF=x，则EC=3-x,

□OF2=JO2-/1F2=32-X2,

£>£2=CD2-CE2=42-^-X/

OF=DE,

32r2=42_(3r>,解得x=；，口/产=；.

板块三整体思想(一)典例精讲

【例1】解:设CD=x,CE=y,

贝I」AC=3CD=3x.BC=3CE=3y.

•・•ZC=90°,

匚力炉=力。，。：2=9/+/，BLr^Lr+B^^y1,

/lfi2=JC2+CB2=9.v2+9/=9(『+/)=(3旧)2=90

^+^=10,

F4七2+8£>2=]0(丫2力,2)=]0()

[例2]解:过点A作AH_LBC于点H.VAB=AC,ABH=HC,

ABPPC=(BH+HP)(CH-HP)=(BH+HP)(BH-HP)=冉=2,

(AH2+HP2)=BH2-HP2=2.：.AB2-AP2=BH2+AH2-DP2.

实战演练

1解:过点C作CH_LAB于点H,®BD=y,VCA=CB,ZACB=90°,

・••设CH=BH=AH=x,

AAD=DH+AH=2x+y,

DH=BH+BD=x+y,

LXZ)2+5Z)2=(2x+y)2+y2=4X2+4X)H-2/=2(2X2+ZV)H-V2)

CO2=G+)92+x2=2j2+2xy+j，=4,

匚力。2+802=8.

2.解:连接PB,设PD=x,AP=PC=y.

VPD1AB,

LUPZ)J=LPD5=90=DC,

DPB2=PD2+BD2=Bd+PC2,A^PD^AD2,

匚/+52=4C24yp2=3+32,口/二，=一9,

[BC2=x2-y2+25=-9+25=16,BC=4.

板块四整体思想(二)典例精讲

[例1]ft?:VZC=90°,

匚/。2=4。2+。。2,

BE2=CE2+CB2,

212

CE+CD=DE=9i

/1C2+C52=J52=25,

EJZ)2+5E2=/1C2+CZ)2+C£2+CB2=(CE2+CD2^(AC2+CJ?2)=34.

【例2】解:・・・AC_LBD,

AB^AC^+BO2,

cgod+ob1,

AD^AC^+OD2,

贝」力I炉+。。2=力。2+802+0c2+

OD2=(AO1+OD2^-(Bd1+

0C2),即482+0)2=^02+8c2,

匚AB2—BC2=/iD2-CD2

=52-32=16.

实战演练

1.3解：AE2+BD2=AC2+CE2+CEr+BC1=(AC1^BC1^CE1^C^AB^DE^iODE^O,ADE=3,AAB=9.

2.解:连接CD.EB交于点0.

•・・NCAE=NBAD=90°,

AZBAE=ZCAD.

vAC=AE,AB=AD,

/.△ABE^AADC,

AZABE=ZADC,

/.ZDOB=ZDAB=90°,

[DE^+BC^OE^OD^OC^+OB2