立方根-2024年七年级数学寒假提升（解析版）

第06讲立方根

如果x的立方等于a,那么x叫做a的立方根（三次方根）记为三次根号a

立

求的立方根的运算，叫做开立方

方

根

回蓟到‘回

知识点1:立方根的定义

1.定义如果一个数的立方等于〃，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果》3=〃，那么工

叫做。的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

注意：一个数。的立方根，用板表示，其中。是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.

2.立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，。的立方根是0.

注意；任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互

为相反数的数的立方根也互为相反数.

知识点2：立方根的性质

=a

y/-a=->[ay/a^=a（蚯）

注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

知识点3：立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如,

加.000216=0.06,#0.216=0.6,,^216000=60.

》考点剖析

考点一：立方根的概念

【典例1】若一个数的立方根等于-2,则这个数等于（）

A.4B.8C.±8D.-8

【答案】D

【解析】由题意可设这个数为x,

X=(-2)3=-8

故选：D.

【变式1-11下列说法中，错误的是（）

A.1的平方根是1B.0的平方根和立方根都是0

C.-1的立方根是-1D,负数没有平方根

【答案】A

【解析】1的平方根是±1,则A符合题意；

0的平方根和立方根都是0,则B不符合题意；

-111勺立方根是T,则C不符合题意；

负数没有平方根，则D不符合题意.

故选：A.

【变式1-2］实数-125的立方根是（）

A.5B.-5C.±5D.-25

【答案】B

【解析】:（-5）3=725./.^125=-5,故选：B.

【变式1-3］若近=4,贝口的值为：（）

A.16B.24C.64D.256

【答案】C

【解析】:=4'・二x=4'=64.故选：C.

【变式1-4】若丁=27,则工=—.

【答案】3

【脩析】•."=27,.1=际=3,故答案为:3.

考点二：立方根的性质

【典例2】已知行工2,则。的平方根为（）

A.2B.±2C.±3D.4

【答案】C

【解析】•/>{\-a=-2>1-w=-8,:.a=9,

二•a的平方根为±3.故选：C.

【变式2-1］若6=16,班=-2,则a+力的值是（）

A.-4B.72或-4C.12D.D或4

【答案】B

［解析］Va2=\6,y/b=-2,

.,.Q=±4,b=-8.

/.当a=4,b=-8时，a+b=-4；

当4=必，b=-8时，a+b=-12.

故选：B.

［变式2-2］若而一kY=k-5,则A的值为.

【答案】5

【解析】•・,玳5-行=k-5,

AA-5=0,

：,k=5.

故答案为：5.

【变式2-3】实数。的立方根是指，贝ija——.

【答案】6

【解析】因为实数〃的立方根是充，

所以。=6,

故答案为：6.

考点三：立方根的实际应用

【典例3】如图，是一块体枳为216立方厘米的立方体铁块.

⑴求出这个铁块的棱长.

（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方

体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块底面正方形的边长.

【解析】（1）根据题意可得：铁块的棱长为蚯帚=6（厘米），

答：这个铁块的楂长为6厘米；

（2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为。厘米，

A2x23+8f72=216,16+8/=216,

解得：a=5,

答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米.

【变式3-1］如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高

2cm,如果容器的底面直径是12cm,求正方体铁块的棱长(不取3).

【解析】设正方体的棱长为xcm,由题意得，

万x62x2=/，

解得x=6,

答：正方体的棱长约为6cm.

【变式3・2】图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27

图1图2

(1)求出这个魔方的棱长.

(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长.

【解析】(1)后=3,

工这个魔方的棱长是3.

(2)・・•魔方的棱长为3,

，小立方体的棱长为1,

:.S阴彰=32-(lx2-r2)x4=5,

・•・阴影部分的边长是代.

考点四：算术平方根和立方根的综合应用

【典例4】已知：3〃+1的立方根是-2,2/)-1的算术平方根3.

(1)求小〃的值；

⑵求-5〃+26的平方根.

【解析】(1)na+l的立方根是-2,26-1的算术平方根3,

/.3a+1=-8,2/)-1=9,角牟得。二-3,6=5；

(2)将〃=-3,6=5代入一5a+26得至ij-5o+2b=25,

•••25的平方根是±5,

••.-5〃+26的平方根土5.

【变式4-1］已知x・2的平方根是±1,2x+y+17的立方根是3.

(1)求工，V的值；

⑵求£+/的算术平方根.

【解析】(1);切2的平方根是±l,2x+y+17的立方根是3,

：.x-2=\,2x+y+17=3，,

解得：x=3,y=4；

(2)由(1)得：x=3,y=4,

x:+丁=32+42=25,

+/的算术平方根为岳=5.

【变式4-2】已知实数。+9的一个平方根是5,2/)-。的立方根是-2.

(1)求。、，的值：

(2)求2〃+6的算术平方根.

【解析】(1)•••实数。+9的一个平方根是5,

••.〃+9=(-5)2=25,

解得〃=16,

:的立方根是-2,

*'•2b~。=(―2)=-8,即2b—16=-8,

解得6=4,

c=16♦6=4；

2)<2a+b=J2x16+4=<36-6>

即2。+〃的算术平方根是6.

【变式4-3］已知M=MJ〃?+3，"(又+3表示小+3的算术平方根,N=21“诉工，2,i呵丁工表示—2

的立方根.

(1)求〃7、〃的值；

⑵求M和N的值；

⑶求M+N的平方根.

【解析】⑴•「"标不表示〃-3的算术平方根，

:.用一4=2,

解得：〃?=6,

•・•如川行工表示〃-2的立方根,

-4〃+3=3,

把巾=6代入2加一4〃+3=3得：12—4〃+3=3,

解得：〃二3,

综上：m=6,〃=3；

(2)m=6,〃=3,

痂75=反5=3，人公…麻工=行工=］,

综上；A/=3,N=1；

(3)♦:M=3,N=\,

JM+N=3+l=4.

考点五：立方根的小数点移动的规律

【典例5】根据你发现的规律填空：

①已知打=1.442,则"0.003=______：

②已知V0.000456=007696,贝.

【答案】0.1442；7.696

【解析】①•.•次=1.442，

.-.^0.003=0.1442,

故答案为：0.1442；

②QV().00()456=0.07696，

.•.4旃=7.696,

故答案为：7.696.

【变式5-1］若工=病/=标有，则x与》的关系是.

【答案】x=ioy

【解析】Vx=V135=^/0.135xl03=10x^/0.135=\0y，

故答案为：x=10y.

【变式5-2］已知瑰=2,-V8000=20»V0.008=0.2,则收000000=

【答案】200

【解析】,:取=2,^8000=20,式.008=0.2,

，38000000=V8x1000000=200,

故答案为:200.

》过关检测

一、选择题

1.化简行的结果是（）

A.3B.-3C.±3D.36

【答案】B

【解析】^21=-3.故选：B.

2.下列计算正确的是（）

A.J（—3）2=-3B.病=±6C.强=3D.-^27=-3

【答案】D

【解析】人丁值了=囱=3，・•・比选项计算错误，故不符合题意：

B・；A=6,J此选项计算错误，故不符合题意；

C.・・•河=3,・,・此选项的计算错误，故不符合题意；

D.•・•-历=-3,・•・此选项的计算正确，故符合题意.

故选：D.

3.如图，二阶魔方为2x2x2的正方体结构，由8个相同的小方块组成.已知二阶魔方的体积为64cm3（小

方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（）

A.4cmB.2cmC.痛cmD.8cm

【答案】B

（解析】由题意可得每个小方块的体积为64+8=8cm3,

则其边长为加=2cm,

故选：B.

4.若a,6为实数，且G7T+（9-b『=0,则标法的值为（）

A.-2B.2C.±2D.3

【答案】B

2

【解析】VV^TT+（9-/?）=0,

a+1=0»9-6=0,

解得：a=-\,b=9,

*,*Ma+b=1+9=质=2,

故选：B.

5.已知而7与3-16尸互为相反数，则x与y的积的立方根为（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】B

【解析】由题意知，而彳+(y—16)2=0,

.,.i+4=0,-16=0,

解得x=-4,y=16,

/.xy=-64,

工I与y的积的立方根为师=V^64=-4,

故选：B.

6.厢的算术平方根是()

A.8B.±4C.±2D.2

【答案】D

【解析】病=4,4的算术平方艰为2.故选：D.

7.类比平方根和立方根，我们定义〃次方根为：一般地，如果/="，那么x叫〃的〃次方根，其中

且〃是正整数.例如：因为(±3);81,所以±3叫81的四次方根，记作：±痴=±3,因为

(-2)5=-32,所以-2叫-32的五次方根，记作：网=-2,下列说法不正确的是()

A.负数。没有偶数次方根B.任何实数a都有奇数次方根

【答案】D

【解析】•・•任何实数的偶数次都是非负数,

・•・负数。没有偶数次方根，

・•・A选项的结论不符合题意：

•・•任何实数。都有奇数次方根，

选项的结论不符合题意；

V“283=。2。23,

••・c选项的结论不符合题意：

.・./j_(c±\24O)22=a2022,

・••啮试=±〃

AD选项的结论符合题意，

故选：D.

二、填空题

8.计算|-5卜河+(-2『=

【答案】6

【解析】原式=5-3+4=6,故答案为：6.

Q

9.25的平方根是,-石的立方根为.

2

【答案】±5；

【解析】•・.（±5）2=25,

Q9

，25的平方根是±5,-行的立方根为一

2

故答案为：±5,――.

10.一个边长为〃的正方形的面积为普，一个校长为6的立方体的体枳为毕，则疝=

25o

【答案】V2

【解析】•••一个边长为。的正方形的面积为巨，一个棱长为6的立方体的体积为苧，

25o

故选：V2.

11.若同=2,—b=3,。3=8,且4加<0,则〃+。的值等于

【答案】-3

【解析】•・•同=2,-b=3,?=8，

a=±2,b=-3,c=2,

*.*abc<0，

a=2,

故答案为：-3.

12.已知41.993=1.2584,V19.93=2.711,则洞方=,#-0.01993=

【答案】12.584；-0.2711

【解析】%.993=1.2584,