小题（四）选择题、填空题突破练-2026届高三数学三轮冲刺突破（2026年模拟题共3组42题）含答案

冲刺2026年高考数学分题型专项突破

狂练小题（五）

（题组1）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.：2025•全国一卷•高考真题）己知集合口=卜,是小于9的正整数},A={1,3,5},则6A中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为U={1234567.8},所以64={2,4,678},”,A中的元素个数为5,

故选：C.

2.（2024•北京•高考真题）已知三=-l—i,贝ijz=（）.

1

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【答案】c

【分析】直接根据第数乘法即可得到答案.

【详解】由题意得z=i（—l—i）=l-i.

故选：C.

3.（2024.新课标【卷.高考真题）已知向量4=（0,1）,力=（23,若5_L（5-4a）,则％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求*的值.

【详解】因为》，仅一4a）,所以从（〃一4〃）=。，

所以一4a〃=0即4+/-4工=0，故x=2，

故选：D.

4.（2025•全国二卷•高考真题）记S”为等差数列{4}的前〃项和.若§3=6应=-5,则$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项4和公差d的方程求出首项q和公差d,再由等差

数列前〃项和公式即可计算求解.

3%+3d=6d=-3

【详解】设等差数列｛为｝的公差为d，则由题可得■

5%+104=-5671—5

所以$6=6q+154=6x5+15x(—3)=75.

故选：B.

5.（2025・上海・高考真题）已知事件4、B相互独立，事件4发生的概率为P（A）=g,事件8发生的概率为

=则事件Ac/S发生的概率打人心8）为（）

A.-B.—C.D.0

842

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求P（Ac8）.

【详解】因为相互独立，故P（AcB）=P（A）P（B）=gx；=；,

故选：B.

6.（2024.天津.高考真题）在如图五面体48。-力弘中，校4。石旦C/互相平行，且两两之间距离均为1.若

人。=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

n3731

42

【答案】C

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体LMN（顶点与五面体ABC-。m一一对应）与该五面体相嵌，使得

D,N；E,M；尸重合，

因为AO〃BE〃C”,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱,

该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

1.7I1,.V3,>/3

xxlx,xx4=

V,w一阳=-YABC-HIJ=-y—-

故选：C.

B

小2。23.全国甲卷•高考真题)已知双曲线。:»叱。小。)的离心率为国。的一条渐近线与圆

*-2)2+()，-3)2=1交于A,8两点，则|43|=()

AV5R2石「36

555D考

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由。=6则小号，/5.

解得”2,

a

所以双曲线的渐近线为丁=土2.丫,

当渐近线为y=-2x时，圆心(2,3)到该渐近线的距离d」2：2+31=芷>],不合题意:

V22+l5

当渐近线为y=2工时，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=I2：3]=巨,

V22+l5

所以弦长"印=2必方

故选：D

8.(2024•上海•高考真题)现定义如下:当xe(〃,〃+l)时(〃wN),若/(x+l)=/'(x),则称/(刈为延展函数.

已知当xw(OJ)时，g(x)=c"且/心)=M°,且g(x)J心)均为延展函数，则以下结论()

<1)存在丁=奴+〃(/，力cR次力k。)与y=8(")有无穷个交点

(2)存在》="+〃化力£1<«/=0)与)，=〃(另有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

【答案】D

【分析】由延展函数的定义分段求出g*)，/?。)解析式，作出函数图象，数形结合可得.

【详解】当xe(L2)时，工一1£(。,1),则g(x—l)=ei,

又/。-1)二尸，则由延展函数定义可得g(x)=g\x-\)=ex-'；

同理可得，当工«2,3),g(x)=e'-2；L；

任意〃eN,当xw(〃,〃+l)时，gOeT

当xe(l,2)时，x-lw(O,l),则/小一1)=(工一|［，则/?*)=10(工一1)9；

同理可得，当xw(2,3)时，/2(X)=10X9(X-2)8；L.

当xe(9,IO)时，M.v)=10!(x-9)；

当Mx)=10!；当X£(1,12),h(x)=O;L.

则任意〃eN,11时，当x«“,”+l),/7(x)=0.

如图，作出g(“与大致图像，

因为人,。工0,如图可知，不存在直线丁=履+8与g(x)图象有无穷个交点，故(1)不成立;

又因为当xe(9,10),/z(x)=10!(x-9),

故当k=10!,。=-9x10!时，

直线y=105-9x10!与〃(力的图象在区间(9,⑼的函数部分重合，

即有无穷个交点，故(2)成立:

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式

及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2023.新课标I卷.高考真题）有一组样木数据小工.…,儿，其中乙是最小值，儿是最大值，则（）

A.修，当，心毛的平均数等于4，工2「、大6的平均数

B.42，七，8，毛的中位数等于芭，马「"6的中位数

C.x,,x3,x4,x5的标准差不小于X"2,…，%的标准差

D.占，当，匕,毛的极差不大于4,X?’…'"6的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设占，号匕心的平均数为〃?，AW，…，%的平均数为〃，

则n_m=百+-+1+&+&+46_W+X3+X4+X5=2（%+/）一（大+电+/+/）

、6412

因为没有确定26+%），豆+赴+%+/的大小关系，所以无法判断〃?，〃的大小,

例如：1»2,3,4,5,6,可得m—n—3.5；

例如1,1,1』,1,7,可得机=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得机=2,〃=?；故A错误；

对于选项B：不妨设西工占工工3w5〈天工七，

可知天用，％毛的中位数等于5，&，…，4的中位数均为”且，故B正确；

对于选项C：举反例说明，例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=以2+4+6+8+10+12）=7,

标准差0=^1［（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（!2-7）2J=,

4.6,8,10,则平均数m=（（4+6+8+10）=7,

标准差S2=收（4-7）2+（6_7『+（8_7『+（］（）_7）2］=逐,显然普I〉石，即访）”，

所以在与，孙玉的标准差不小于不公，…,4的标准差，这--论断不成立，故c错误：

对于选项D：不妨设玉4七4王4七《北，

则鹏-西之勺一马，当且仅当再=吃，吃=无时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.(2024•新课标II卷•高考真题)对于函数/@)=sin2x和g(x)=sin(2x-：),下列说法中正确的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点B.fix)与以外有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析［根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

LJI

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得即号丘Z,即为解】零点,

令g(x)=sin(2x—£)=0,解得.竺+1,&cZ,即为g*)零点：

428

显然/(x)，g(x)零点不同，A选项错误;

B选项，显然了(。皿=前工%”=1，B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),g。)的周期均为g=九，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/⑶的对称轴满足2x=E+go+E，丘Z,

224

式力的对称轴满足2x——=+—<^>X=—+€Z,

显然/(外送(幻图像的对称轴不同，D选项错误.

故选:BC

11.(2025•全国一卷•高考真题)已知抛物线C：_/=6x的焦点为F,过户的一条直线交C于A,B两点,过

A作直线/：的垂线，垂足为。，过户且与直线人8垂直的直线交/于点£,则()

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\

C.|A8|26D.|AE|-|BE|>18

【答案】ACD

3

【分析】对•于A,先判断得直线/：x=-7为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断：对于B,利用

三角形相似证得乙4钻=90。，进而得以判断；对于C,利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立

直线48与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得回,

\BE^=\BF\-\AB\,结合焦半径公式可判断D.

【详解】法一：对于A,对于抛物线C:y2=6x,

贝i」p=3,其准线方程为X=4，焦点呜,0）,

则|AD|为抛物线上点到准线的距离，|AP|为抛物线上点到焦点的距离，

由抛物线的定义可知,IADMAFI,故A正确;

对于B,过点8作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知人。，/，石尸，八3,则NA£）£=NA依=90。,

又MORAW,\AE\=\AE\,所以VADE（§VAFE,

所以NAE£）=NA£/，同理ZBEP二ZBEF,

又ZAED+ZAEF+/BEP+NBEF=180。，

所以/行+N附'=90。，即NA£3=90。，

显然A8为石的斜边，则IA臼＜|A3],故B错误；

对于C,易知直线A8的斜率不为0,

设直线人A的方程为x=my+1,A（&.y）.4（冷刈）,

联立卜+2,得y2-9=0,

I/=6x

易知A＞。，则y+%=6科。%=-9,

33

又百=冲]+耳,x2=my2+-t

2

所以|4B|-$+x2+/>=〃2（y+月）+3+3=6rn+6>6,

当且仅当/〃=0时取等号，故c正确;

对于D,在RtAME与Ri从£户中，NBAE=4EAF,

则圈符即时=闷•网,

所以RlAEF,

同理忸目2=忸可.0臼，

又14尸|•怛尸|=（西+目（/+?=（助+3）（"叽+3）

,w?2

=>\）‘2+3，〃（必+力）+9=-9m+1Snr+9=9（"P+|j,

|i4B|=6m2+6=6（〃P+1）,

所以|A£『.|8£『=|B斗,尸|卜臼2=9（〃/+］卜36（/+］）\

则|AEHH©=3（〃/+lpx6（〃P+1j=18（w2+1）2>18*故D正确.

故选：ACD.

法二：对于A,对于抛物线C：V=6x,

则p=3,其准线方程为户-］焦点联,0）,

z:乙）

则|AZ）|为抛物线上点到准线的距离，|AP|为抛物线上点到焦点的距离,

由抛物线的定义可知，故A正确；

对干B,过点8作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知则NAOE=N4庄=90。,

XIADHAF|,\AE\=\AE\,所以VADE（§VA正，

所以NAE£>=NA£7L同理ZBEP=/BEF,

又ZAED+ZAEF+/BEP+/BEF=180。，

所以乙伯卜'+/BE1；=90°,即NAEB=9()。,

显然A8为&A踮的斜边，贝故B错误;

对干C,当直线A8的斜率不存在时，|A8|=2p=6：

当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为尸攵g-j，

v=^（v--I

V=（A消去得炉AXFO

联立--2j,y,V—（32+6）+J=,

_y2=6.r4

69

易知△>（）,则M+~=3+正小事=彳，

k4

2

所以\AB\=\l\+k|xf-x2\=Jl+/xJ（X]+.）2—4X然2

3+U（1

=\\+k2x-9=61+F>6,

k2

综匕MBI>6,故C正确:

对于D,在RtAABE与中，ZBAE=ZEAF,

所以Rt」AB£〜Rt.AEE则相=耨，即|Afif=|人尸|.同川,

同理忸同2=忸尸|.|明,

当直线A8的斜率不存在时，|人回=6,|AP|=|34=5|A3|=3；

所以|AE『.忸冏2=忸尸卜|4户H4Bf=3x3x62,即|蜴.|明=18；

当直线48的斜率存在时，|4用=6（1+卷），

M,忸止卜+2（々+|,（玉+占）+:

9933〃6199f,11、

=—+-I3H-71+一=n9|]—T，

422（k1）44Ik2）

所以M同2.|阿=忸目.|44|阴2=9（1+*>36（1+/）,

3

则网•忸同=3（1+/jx61+土2>18：

综上，|阳・|阳218,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2025•北京•高考真题)已知(1一2x)“=%-2〃小+4%/一86丁+16々4/，则为=；

q+4+4+%=•

【答案】I15

【分析】利用赋值法可求旬，利月换元法结合赋值法可求4+出+4+4的值.

【详解】令x=0,则4=】，

又(1-2x)4=%-2qx+赳/-吼/+1,

4234

故(1-2x)=4+4(-2x)+a2(-2x)+a3(-2x)+a4(-2x),

424

令/=-2x,则(1+f)=4+印+a2t+«/+a4t,

令/=1,则/+%+42+43+6=24,故q+%+%+2=15

故答案为：1,15.

?f/(x)，xN0

13.(2024・上海・高考真题)已知/(幻二厂,g(x)=、八，求以幻《2-.1的x的取值范围______.

【答案】(0』

【分析】分xNO与x<0两段求解二次不等式可得.

r2>()

【详解】根据题意知以幻=，一八.

-x~,x<0

当工NO时，g(x)«2-x,即/+厂2«0,解得则有OKxKl；

当工<()时，g(x)<2—x,即_/+》一240,xeR,即xv()时，不等式g(x)<2-x都成立.

综上所述，以用工2-1的.1的取值范围为(-00』.

故答案为：

14.(2025•全国二卷•高考真题)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】2.5

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；

【详解】

圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为r,且厂<4,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

BP4r一68-+145=(2r一5)(21-29)=0,r<4,

/.r=2.5.

故答案为：2.5.

(题组2)

(限时时间：40分钟试卷满分：73分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(2025•北京・高考真题)已知复数z满足i.z+2=2i,则|z|=()

A.y/2B.2\/5C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出复数z,再根据复数模的公式即可求出.

【详解】由i・z+2=2i可得，z=V&=2+2i,所以忖=在方=2及，

故选：B.

2.(2025・天津•高考真题)S'二T『+8〃，则数列｛|凡|｝的前12项和为()

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由题设结合%=S“-S-求出数列乩｝的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.

【详解】因为S,尸-〃*+8〃，

所以当〃=1时，4=S[=-F+8X1=7,

当〃之2时，an=Sn-S,-=(一〃2+8〃)一[一(〃-1)，+8(〃-1)]=一2〃+9,

经检验，4=7满足上式,

所以二一2〃+9（〃€N*）,令4“=-2〃+920=〃W4,an--2n4-9<0=>w>5,

设数列电』｝的前〃项和为0，

则数列｛|。』｝的前4项和为4=S4=-4?+8x4=16

数列｛⑷｝的前12项和为

『同+同+••+|42|=4+出+4+-%一-%

故选：C

3.（2024.新课标II卷.高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块

稻田的亩产量（单位：kg）并整理如卜表

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1150,

[1100,1150)

量950)1000)1050)1100)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.10（）块稻H］亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对干B,亩产量不低于1l（）（）kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为吗»=66%,故B错误；

对干C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确:

对于D,由频数分布表可得，平均值为

——x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xl125+10x1175)=1067,故D错误.

I(X)

故选;C.

4.（2023•全国乙卷・高考真题）已知：。的半径为1,直线附与O相切于点A,直线P8与（O交于B,C

两点,。为8C的中点，若归O|=JL则尸的最大值为（）

1+6B.21

A.

2

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得州-4

sin2a---，

I4j

t1V2

或P4PO=^+-^-sin2a+二然后结合三角函数的性质即可确定PA.P。的最大值.

4J

【详解】如图所示，|OA|=1,|（9P|=V2,则由题意可知:NA尸O=：,

由勾股定理可得1pAi=,0尸-。4:1

当点A。位于直线P。异侧时或PB为直径时，设

|PA|-|PE)\cosIa+—兀

则：PAPD二

4J

=lxV2cosacosTC

a+—4J

夜.

\2cosacosa----sina

2

=cos'a-sinacosa

I+cos2aI._

-----------sin2a

22

0<<7<—,则一工K2a-2〈工

4444

7T

当点A0位于直线加同侧时'设“"=/。“＜丁

则：PAPDPA-PDcos--a

14

兀

=1x&cosacos---a

4

cosa+Ga

cosa

2

=cos2or4-sincosa

1+cos2a1.r

---------------十-sin2a

22

sin2a+—I,

224J

0<a<—,则工42。+巳〈江

4444

.,.当2a+?='时，pA.po有最大值匕立

综上可得，州"的最大值为

故选:A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查

了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

5.(2024•新课标I卷•高考真题)已知cos(a+/)=〃?,(anaian〃=2,则8s(a-7?)=()

A.一3〃?BC四D.3m

-*3

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求8sacos/?,sinasin力的关系，结合tanatan夕的值可求前者，故可求

cos(a-£)的值.

【详解】因为8s（a+夕）=6,所以cosacos尸一sinasin£=/n,

而tanatan£=2,所以sinasin£=2cosacos/?,

故cosacos/7-2cosacos0=m即cosacosP=-m,

从而sinasin[i=-2m,故cos（a-fl）=一3〃?，

故选:A.

6.（2023.新课标II卷•高考真题）已知椭圆。:]+丁=1的左、右焦点分别为K，直线y=x与C

交干A,B两点、,若△耳44面积是△入A8面积的2倍，则〃?=（）.

A.-B.正C.一立D.--

3333

【答案】C

【分析】首先联立直线方程与椭II方程，利用A>0,求出加范围，再根据三角形面积比得到关于，〃的方程,

解出即可.

y=x+m

【详解】将直线y=x+〃?与椭圆联立公,消去y可得底+6心+3加-3=o,

—+V=1

3

因为直线与椭圆相交于4B点，则△=36/〃2-4X4（3〃?2—3）>0,解得一2</"2,

设6到AB的距离4怎到AB距离外，易知"（-72,0）,F2（V2.0I,

则心令

V2

解得〃?=_9或_3虚（舍去）,

故选：C.

7.(2024.北京.高考真题)已知加={(乂>)1>=工+(27),1「42,04/4}是平面直角坐标系中的点集.设

d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则()

A.d=3,S<\B.d=3,S>\

C.r/=V10,S<\D.J=VlO,5>1

【答案】c

【分析】先以，为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域卜之工，结合图形分析求解即可.

l<x<2

【详解】对任意给定则f一4二.工-1)20,且用[0,1],

n[^,nx<x+/(x2-x)<x+x2-x=.r2,即xWy<x2,

y<x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域\y"r,

\<x<2

如图阴影部分所示，其中A(l,1)*(2,2)9(2,4),

可知任意两点间距离最大值d=\AC\=7(l-2)2+(l-4)2=V10,

阴影部分面积s<S^ABC=ix|x2=I.

故选:C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见

数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题FI中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把

握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解•.

8.(2024・上海・高考真题)已知函数的定义域为R，定义集合M={^XwR,xw(-oo,Xo)J(i)</(xo)}，

在使得“=[-1,1]的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在/")是偶函数B.存在/(x)在x=2处取最大值

C.存在/(x)是增函数D.存在/G)在x=T处取到极小值

【答案】B

【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与

已知条件矛盾'；D选项由集合例的定义找到矛盾•.

【详解】对于A选项：xv/时，〃*)<〃%),

当鹏=1时，玉«-1』，任意的xw(f,l),/("</⑴恒成立，

若f(x)时偶函数,此时“1)=〃-1)矛盾,故A选项错误：

对于B选项：若“X)函数图像如下：

6-2-

当工<一1时，/(x)=-2,/(x)e[-l,l],当x>l,/(x)=l,

・•・存在/(x)在x=2处取最大值，故B选项正确；

对于C选项：在时，若函教"X)严格递增，则集合M的取值不会是[-15，

而是全体定义域，故C选项错误；

对于D选项：若存在外"在x=-l处取到极小值，则在x=-l在左侧存在工二〃，/(«)>/(-1!,与集合M

定义矛盾，故D选项错误.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.（2024•新课标I卷•高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.

为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均

值1=2.1,样本方差$2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8,0.12）,假设推动出口后

的亩收入丫服从正态分布N（元./）,则（）（若随机变量Z服从正态分布P（ZV〃+<T）R0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D.P（K>2）<0.8

【答案】BC

【分析】根据正态分布的3。原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，X=2.1,52=0.01,所以y~N（2.1,0.『），

iftP（y>2）=P（y>2.1-0.1）=P（r<2.1+0.1）»0.8413>0.5,C正确,D错误；

因为X~N（1.8,0.12）,所以P（X>2）=P（X>1.8+2X0.1）,

因为尸（X<1.8+0］人0.8413,所以P（X>1.8+0』）B1-0.8413=0.1587<0.2,

而P（X>2）=尸（X>1.8+2x0.1）<P（X>1.8+0.1）<0.2,B正确，A错误，

故选：BC.

10.（2025•全国二卷•高考真题）双曲线C:宗-亲■=力>0）的左、右焦点分别为£、居，左、右顶点

分别为4,4,以6人为直径的圆与。的一条渐近线交于M,N两点，且学，则（）

6

A.Z/\MA=-B.|A^|=2|AM,|

6

C.C的离心率为布D.当〃=正时，四边形的面积为86

【答案】ACD

【分析】由平行四边形的性质判断A；由耳”，死“且|加0|二。结合M在渐近线上可求加的坐标，从而可

判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得d=1342,计

算后可判断C的正误，或者利用耨=白二百并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面

积后可判断D的正误.

【详解】不妨设渐近线为y=M在第一-象限，N在第三象限，

a

对于A,由双曲线的对称性可得AM&N为平行四边形，故

66

故A正确；

对于B,方法一：因为M在以E6为直径的圆上，故£M_LKM且|MO|二c,

/+需=/

与二〃

设例（％,）b），则，故,,故M&_LA4,

近=2

X。a

由A得NAM4=；,故|M4|=|M4|x/即阿4|=手眼4],故B错误:

则cosN/WQA,=g,又因为以[曰为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N,则OM=c,

"c

则若过点M往x轴作垂线，垂足为，，则|0”|=5@=。=|。&|，则点”与4（”）重合，则"&，x轴，则

C

|MAj=J7=7=/九则为直角三角形，且4,"〃=?则21M4/=百|M4j,

方法三：在.OM&利用余弦定理知，|叫「=口闸2+|04|2-2|。加||0闺8§/〃04,

即|"AJ=c?+片一2ac-=b2,则=力，

则为直角三角形，且/4喉=看，则2|5]二码肪小故B错误；

对于C,方法一：因为MO=g（MA+M4j,故4MO：MV+2MAi•/叫+/叫:

由B可知|M4|=b,|MA|=¥方'

222222

故4C、2=/7+—b+2x/?x-^^/;x—=­/7=—（c-a）即c?=13«，

33233v7

故离心率©=抽，故C正确；

方法二：因为kj=苗=G,则，=26，则e=£=J1+4=Ji+（2百『=>/）3,故C正确；

对于D,当〃=&时，由C可知e=E，故。=后，

故b=2指,故四边形阴历&为2sAi=2xlx2x/6x272=8x/3,

故D止确，

故选：ACD.

11.（2023•新课标I卷•高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为I.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为001m的圆柱体

【答案】ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为0.99mvlm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为&m，且0>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对F选项C：因为正方体的体对角线长为75m,且G<L8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确：

对干选项D：因为1.2m>1m,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过人G的中点。作。石J•4G，设OKIAC=Ef

可知AC=V2,CC,=1MC,=瓜0A=—,则tanNCAC；=监=会，

2ACAO

1OE

即7T一耳，解得。E=亚r，

T4

且［迈］=-=—>—=0.62,即如>0.6,

［4）824254

故以4G为轴可能对称放置底面直径为L2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心。口与正方体的下底面的切点为

M,

可知：AC|_LaM，M=0.6,则tan/CAG=S=^,

/AC/A（Z|

10.6_厂

即F=~Tn»解得AR=0.6夜,

VZA%

根据对称性可知圆柱的高为逐-2x0.6夜«1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024.上海.高考真题）在（X+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则犬项的系数为

【答案】10

【分析】根据给定条件，求出幕指数〃，再利用二项式定理求出指定项的系数.

【详解】则二项式（x+1）”的展开式各项系数和为32,得2"=32,解得〃=5,

所以“+3的展开式产项的系数为C；=10.

故答案为：10

13.（2025•天津•高考真题）/,：x-j+6=0,与x轴交于点A,与），轴交于点8,与（》+1『+（），-3广=，（〃>0）

交于C、。两点，|A8|=3|CO|,则，•二.

【答案】2

【分析】先根据两点间距离公式得出|人或=6人,再计算出圆心到直线的距离4,根据弦长公式

|CD\=2V7为7列等式求解即可.

【详解】因为直线4：x-y+6=O与x轴交于A(-6,0),与丁轴交于3(0,6),所以|A3|=后行=6五，所

以|CD|=2及，

圆。+1)2+仆-3)2=户的半径为，圆心(T3)到直线4：x-»，+6=O的距离为d==

故|普=21产一"2=2'产一(夜『=2五,解得厂=2；

故答案为：2.

14.(2025•全国一卷・高考真题)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,

每次取I个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=.

【答案】崇/2.44

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列,

从而求得E(x)；法二，根据题意假设随机变量Xj,利用对立事件与独立事件的概率公式求得E(Xj),进而

利用数学期望的性质求得E(X).

【详解】法：依题意，X的可能取值为1、2、3,

总的选取可能数为5、=125,

其中X=l：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式,

故"X=D噫总,

X=2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次),

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种,

故P（X=2）=黑考

X=3：三种不同球被取出,

由排列数可知事件X=3的可能情有况5x4x3=60种,

故"=3）=需4

所以E（X）=lx*X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）

以二+2x”+3x”61

125252525

故答案为：

法二：依题意,假设随机变量Xj,其中i=1,2,3,4,5：

1,这3次选取中，球，至少被取出一次口||*=寸X

其中X,=0,这3次选取中，球L次都没被取出‘""

由于球的对称性，易知所有E[X』相等,

则由期望的线性性质，得ETX]=E£X,=ZE[X]=5E[X』,

4

由题意可知，球，在单次抽取中未被取出的概率为二,

由干抽取独立，三次均未取出球，•的概率为P（Xj=0）=（土64

125

6461

因此球i至少被取出一次的概率为：P（X,.=I）=I-黑=黑，

14J16J

故"]=哉，

所以aX]=5矶X,]=5x哉嘿.

故答案为：段■.

（题组3）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（2025全国二卷高考真题）己知集