2026年9年纪上数学试卷及答案

2026年9年纪上数学试卷及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.一元二次方程$x^{2}-3x-4=0$的根为（）A.$x_{1}=1$，$x_{2}=4$B.$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$C.$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$D.$x_{1}=-1$，$x_{2}=-4$2.抛物线$y=2(x-3)^{2}+4$的顶点坐标是（）A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)3.在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AB=5$，$BC=3$，则$\cosA$的值为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$4.已知$\odotO$的半径为$5$，点$P$到圆心$O$的距离为$4$，则点$P$与$\odotO$的位置关系是（）A.点$P$在圆内B.点$P$在圆上C.点$P$在圆外D.无法确定5.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的图象经过点$(2,-3)$，则$k$的值为（）A.6B.-6C.$\frac{3}{2}$D.$-\frac{3}{2}$6.下列事件中，是必然事件的是（）A.打开电视机，正在播放广告B.明天太阳从西方升起C.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6D.任意画一个三角形，其内角和是180°7.如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$AB$的中点，$CE$交$BD$于点$F$，则$EF:FC$的值为（）A.1:2B.1:3C.2:3D.3:48.若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x-1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k\gt-1$B.$k\gt-1$且$k\neq0$C.$k\lt1$D.$k\lt1$且$k\neq0$9.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD:DB=1:2$，$BC=6$，则$DE$的长为（）A.1B.2C.3D.410.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$）的图象如图所示，下列结论：①$abc\gt0$；②$b^{2}-4ac\gt0$；③$2a+b=0$；④$a+b+c\lt0$。其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（总共10题，每题2分）1.方程$x^{2}=4$的解是________。2.抛物线$y=x^{2}-2x+3$的对称轴是直线________。3.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，且$\alpha$是锐角，则$\alpha$的度数为________。4.若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}=$________。5.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同。从袋子中随机摸出1个球，则它是红球的概率是________。6.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是________。7.如图，$AB$是$\odotO$的弦，$OC\perpAB$于点$C$，若$AB=8$，$OC=3$，则$\odotO$的半径为________。8.若点$A(-2,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是________。9.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，则$\triangleABC$的外接圆半径为________。10.已知二次函数$y=x^{2}-4x+m$的图象与$x$轴有两个交点，则$m$的取值范围是________。三、判断题（总共10题，每题2分）1.所有的矩形都相似。（）2.一元二次方程$x^{2}+1=0$没有实数根。（）3.抛物线$y=-x^{2}$的开口向上。（）4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。（）5.若两个三角形的面积比为1:4，则它们的相似比为1:2。（）6.数据1，2，3，4，5的中位数是3。（）7.反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象在第一、三象限。（）8.正六边形的每个内角都是120°。（）9.二次函数$y=2(x-1)^{2}+3$的最小值是3。（）10.随机事件发生的概率介于0和1之间。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.解方程：$x^{2}-2x-3=0$。2.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，求$\sinA$和$\tanB$的值。3.已知二次函数$y=x^{2}-4x+3$，求其图象的顶点坐标和与$x$轴的交点坐标。4.如图，在$\odotO$中，$AB$是直径，$CD$是弦，$AB\perpCD$于点$E$，若$AE=9$，$BE=1$，求$CD$的长。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）与一次函数$y=x+2$的图象有一个交点的横坐标为-1，求这两个函数图象的交点坐标。2.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odotO$交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$DE$。（1）求证：$DE=BD$。（2）若$\angleBAC=40^{\circ}$，求$\overset{\frown}{DE}$的度数。3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。（1）假设每台冰箱降价$x$元，商场每天销售这种冰箱的利润是$y$元，请写出$y$与$x$之间的函数关系式。（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？4.已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\gt0$）的图象经过点$A(1,0)$，$B(2,0)$，与$y$轴交于点$C$，且$\triangleABC$的面积为1。（1）求二次函数的表达式。（2）在二次函数的图象上是否存在点$P$，使得$\triangleACP$的面积为$\triangleABC$面积的一半？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。答案：一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.B6.D7.A8.B9.B10.C二、填空题1.$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$2.$x=1$3.30°4.$\frac{5}{3}$5.$\frac{3}{5}$6.15π7.58.$y_{1}\lty_{3}\lty_{2}$9.510.$m\lt4$三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.解：因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，则$x-3=0$或$x+1=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。2.解：在$\triangleABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。$\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。3.解：将二次函数$y=x^{2}-4x+3$配方得$y=(x-2)^{2}-1$，所以顶点坐标为$(2,-1)$。令$y=0$，即$x^{2}-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，所以与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$。4.解：连接$OC$，因为$AE=9$，$BE=1$，所以$AB=10$，则$OC=OB=5$，$OE=OB-BE=4$。在$Rt\triangleOCE$中，由勾股定理得$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$。因为$AB\perpCD$，所以$CD=2CE=6$。五、讨论题1.解：因为交点的横坐标为-1，把$x=-1$代入$y=x+2$得$y=1$，所以交点坐标为$(-1,1)$。把$(-1,1)$代入$y=\frac{k}{x}$得$k=-1$，则反比例函数为$y=-\frac{1}{x}$。联立方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{x}\\y=x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$，所以交点坐标为$(-1,1)$。2.（1）证明：因为$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$。因为$AB$是直径，所以$\angleADB=90^{\circ}$，即$AD\perpBC$，所以$BD=CD$。又因为四边形$ABDE$是圆内接四边形，所以$\angleCDE=\angleB$，所以$\angleCDE=\angleC$，所以$DE=CD$，所以$DE=BD$。（2）解：因为$\angleBAC=40^{\circ}$，$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC=70^{\circ}$。因为$\angleCDE=\angleB=70^{\circ}$，所以$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角为$140^{\circ}$，则$\overset{\frown}{DE}$的度数为$140^{\circ}$。3.（1）解：$y=(2400-2000-x)(8+\frac{4x}{50})=(400-x)(8+\frac{2x}{25})=3200+\frac{800x}{25}-8x-\frac{2x^{2}}{25}=-\frac{2}{25}x^{2}+24x+3200$。（2）解：令$y=4800$，即$-\frac{2}{25}x^{2}+24x+3200=4800$，化简得$x^{2}-300x+20000=0$，因式分解得$(x-100)(x-200)=0$，解得$x_{1}=100$，$x_{2}=200$。因为要使百姓得到实惠，所以$x=200$，即每台冰箱应降价200元。4.（1）解：因为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\gt0$）的图象经过点$A(1,0)$，$B(2,0)$，所以设二次函数表达式为$y=a(x-1)(x-2)$。因为$\triangleABC$的面积为1，$AB=1$，所以$C$点纵坐标的绝对值为2，即$C(0,2)$或$C(0,-2)$。当$C(0,2)$时，$2=a(0-1)(0-2)$，解得$a=1$，二次函数表达式为$y=x^{2}-3x+2$；当$C(0,-2)$时，$-2=a(0-1)(0-2)$，解得$a=-1$（舍去），所以二次函数表达式为$y=x^{2}-3x+2$。（2）解：存在。$S_{\triangleABC}=1$，则$S_{\triangleACP}=\frac{1}{2}$。设$P(x,x^{2}-3x+2)$，则$\frac{1}{2}\times1\