华北理工刘鸿文材料力学课件第7章 应力状态分析

返回第七章应力状态分析§7-1一点处应力状态描述及其分类§7-2平面应力状态的应力坐标变换§7-3应力圆§7-4主应力、主方向§7-5三向应力状态的特例分析§7-6各向同性材料在一般应力状态下的应力-应变关系§7-7一般应力状态下的应变能密度1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？§7-1应力状态的概念一、引子：铸铁PPPm1=7024Nmm3=4214NmLm2FxyTσmax（--）σmax（+）xMQx1/2F+1/2F一、应力状态的概念过受力构件内一点各个不同截面上应力的集合二、一点处应力状态的表示方法——用围绕研究点截取的单元体及其（三对相互垂直的）各（侧）面的应力来表示该点的应力状态单元体：边长无穷小的正六面体单元体特点：

dydzdx

1.可以认为各侧面应力均布;2.相互平行的两侧面应力相等，且表示过所研究点与该两侧面平行的面上的应力。例：一矩形截面简支梁，试求从m—n截面A、B、C、D、E五点取出单元体解：A点：C点：B点：FPmnABECDτσMFSσ=τ=τ=σ=三、主平面、主应力主平面——τ=0的截面，主应力——主平面上的正应力，σ1≥σ2≥σ3四、应力状态分类：单向应力状态——只有一个主应力不为零二向应力状态——两个主应力不为零三向应力状态——三个主应力都不为零纯剪切应力状态过一点有三个相互垂直的主平面§7—2二向和三向应力状态实例

一、两向应力状态实例薄壁圆筒轴向应力：环向应力：二、三向应力状态实例滚珠轴承约束一、斜截面上应力σα、τα的计算：

已知：σx、σy、τxy=τyx求：σα、τα

（α）(二)符号规定：σ——拉“+”τ——“+”α——+（图中所画均为正）xyσyσxσyσxxynσατατyxσyxyσyτxyσxσxnατyxτxy§7—3二向应力状态分析----解析法(一)问题描述：ατyxσyτxyσxσαταnαdAsin

ααdAdAcos

ατyxσyxyσyτxyσxσxnα简化：①②三角倍角公式得：（7—3）（7—4）讨论：a、平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直截面上的应力确定b、（7—3）（7—4）τyxσyxyσyτxyσxσxnα二、最大正应力及其作用面1、最大正应力作用面（7—5）τyxσyxyσyτxyσxσxnα2、最大正应力分析τyxσyxyσyτxyσxσxnα3、最大正应力求解xyσyτyxσxσyτxyσx将上式代入（8—3）式，得：（7—6）xyσyτyxσxσyτxyσxσx=-1MPa，解：例题：单元体各侧面应力如图，求指定斜截面应力；主应力大小；主平面位置；在单元体上绘出主平面及主应力。已知：(一)、求斜截面应力：yx40°0.4MPa0.2MPan1.0MPaα=-40°，σy=-0.4MPa，τxy=-0.2MPa,(二)、求主应力、主平面：yx40°0.4MPa0.2MPan1.0MPa(三)、在单元体上标明主应力、主平面：29.5°yx0.4MPa0.2MPa1.06MPa0.339MPayx40°0.4MPa0.2MPan1.0MPa例8.3讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁受扭时的破坏现象。解：由危险点处取出单元体如图τ危险点位置：轴最外边缘点三、主应力迹线的概念：主应力迹线上任一点处的切线方向为该点的主应力方向。一、应力圆概念两边平方、相加：圆方程——应力圆（莫尔圆）圆心：τσ-=yxa§7—4二向应力状态分析----图解法τyxσyxyσyτxyσxσxnα二、应力圆与单元体的对应关系1、应力圆的绘制方法（2）以x面应力值作为D点坐标,即（1）建立σ—τ直角坐标系，选定比例尺（3）确定D’（σy，τyx

）点（4）连D、D’交σ轴于c点，以c点为圆心，CD为半径，作圆xyσyτyxσxσyτxyσxτσ10MPaD’cτσD’c2、应力圆与单元体的对应关系：D—x面（以x轴为外法线的面）D’—y面（以y轴为外法线的面）自CD逆转2α—自x面逆转α把握的要点：起点相对转向相同转角2倍三、利用应力圆求1、作出与微元体对应的应力圆2、将半径CD按α的转向转动圆心角2α，得E点xyσyτyxσxσyτxyσx2αE3、量出E点坐标，得nα例：单元体如图，绘相应的应力圆，从而确定α=-40°时斜截面上的应力量得：σx=-1MPa，σy=-0.4MPa，

τxy=-0.2MPa,α=-40°已知：图解法求解：E80°yx40°0.4MPa0.2MPax′y′1MPaστ0.20.2D’D四、利用应力圆确定主应力与主平面xyσyτyxσxσyτxyσxA1点—对应截面为主平面,其横坐标为σmaxB1点—对应截面为主平面,其横坐标为σminB1A1cD(σx,τxy)D’σσx—σy2σmin主平面位置：σ1σ2σmax2α。例：单元体如图，绘相应的应力圆，确定主应力及主平面量得：σx=-1MPa，σy=-0.4MPa，

τxy=-0.2MPa,已知：图解法求解：yx0.4MPa0.2MPa1MPa0.20.2στD’DcA1B1所以：1.6MPa28°0.4MPayx例8.5：已知单元体如图，试用应力圆确定主应力及主平面解：作应力圆量得：所以：例86：用应力圆求图示单元体斜截面de上的正应力和剪应力量得：已知：一点处一、已知一点处主应力，求任意斜截面应力§7—5三向应力状态σ1σ3σ2xzyn（一）解析求解式：1、平行于σ3方向的一组斜截面上的应力：①平行于σ3的斜截面上的应力与σ3无关（可按平面应力状态分析）②∴用σ1、σ2作应力圆，该圆上点坐标代表平行于σ3的某个斜截面上的应力σ3σ3σ2σ1σ1σ2bacdστ（二）利用应力圆分析：σ1σ3σ2xzyσ32、与σ2平行的一组斜截面上的应力：①与σ2无关②可用由σ1、σ3作的应力圆上的各点坐标表示σ1σ3σ23、与σ1平行的一组斜截面上的应力：②可用由σ2、σ3作的应力圆上的各点坐标表示①与σ1无关σ1σ3σ2σ1σ2στσ1σ3σ2xzyσ3σ1σ2στ4、三向应力状态的应力圆与三个主应力均不平行的任意方向面上的应力：其对应的点一定在三个应力圆所围区域之内综上：三向应力状态下，代表某一截面上的应力的点或在三个应力圆圆周上或在其所围阴影范围内σ1σ3σ2xzy二、最大应力正应力：最大剪应力：作用面和σ2平行，和σ1、σ3所在面成45°στσ1σ2σ3平面应力状态：σ1σ3σ2xzy45°στσ1σ2σ3σ1σ2σ1σ245°作用面′作用面(8.8)xyyx40°0.4MPa0.2MPan1.0MPa1.06MPa29.5°0.339MPayx一、广义胡克定律纯剪应力状态：各向同性材料在线弹性范围内，正应力只与正应变有关，剪应力只与剪应变有关σxzy单向胡克定律FFLL1§7—6广义胡克定律1、一般应力状态下的线应变棱边①：单独作用引起缩短单独作用引起缩短②①③σxσyσz①①①+σxσyσz=+单独作用引起伸长,同理：2、一般应力状态下的剪应变：独立变量三个：单独作用xzy同理：作用面作用方向xzyxzyxzyxzyγxy——（7.19）（7.18）、（7.19）——广义胡克定律——（7.18）xzy3、主应力表示的广义胡克定律则：（7—20）σ1σ3σ2xzy4.平面应力状态下，简化为：xyσyτyxσxσyτxyσx5.广义胡克定律应用条件xyσyτyxσxσyτxyσx（1）各向同性材料（2）在线弹性范围内（3）小变形例7.9一体积较大的钢块上有一直径5.001cm的凹座，凹座内放置一直径5cm的钢制圆柱，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱主应力。E=200GPa,μ=0.3。解：一、求圆柱横截面应力二、求p由广义胡克定律：沿径向显然：由已知：二、体积应变θdxdydz单元体变形前体积V：dx单元体变形后各棱边长：单元体变形后体积V1：单元体体积应变：（7.21）σ1σ3σ2xzy变形能—一、变形能的概念弹性体受外力变形外力会作功弹性体会储存能量弹性体因变形而储存的能量Vε外力功=变形能（在数量上）应变能密度—ΔPPΔ即dydzdx§7—7复杂应力状态的应变能密度PΔ二、单向应力状态下的应变能密度dydzdxσ三、复杂应力状态下的应变能密度（7.23）σ1σ3σ2xzy代入广义胡克定律：σ1σ3σ2xzydydzdx（7.24）这里，在相应的方向构成的力和在相应的位移上作的分别是功为：例：注意：求Vε或vε时不能用叠加原理原因：它们与载荷不再是线性关系P2+P1P1P2四、体积改变能密度vv与畸变能密度vdvv：因体积变化而储存的应变能密度vd：因形状变化而储存的应变能密度v=vv+vd1、vv的计算：2、

vd的计算：（7.25）由（a）：+(a)(b)§7—10强度理论概述PPPm1=7024Nmm3=4214NmLm2FxyTσmax（--）σmax（+）xMQx1/2F+1/2Fσmaxτσ脆性材料：塑性材料：脆性断裂，似均与σmax、εmax有关屈服失效，似与τmax有关FFσmax拉伸τσ受扭实验现象实验表明，常温、静载下构件破坏形式：脆性断裂塑性屈服∴构件失效有其规律性据材料破坏原因的假说，找到材料在不同应力状态下破坏（失效）的共同原因，然后借助简单拉伸实验测得的σS或σb

，去建立复杂应力状态下的强度条件。历史上作出了种种关于材料破坏的原因的假说强度理论第一强度理论§7—11四种常用的强度理论强度理论分为两类:解释断裂破坏的理论解释屈服破坏的理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大切应力理论畸变能密度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论一、四种常用的强度理论（一）最大拉应力理论：认为最大拉应力是引起材料断裂破坏的原因，即不论是复杂应力状态还是单向应力状态，只要最大拉应力σ1达到材料最大拉应力的极限值σ01,材料便断裂破坏。∴破坏条件：强度条件：（8.27）适用范围：①单向受拉；二向拉伸；一拉一压且拉应力较大②受扭均质脆性材料（玻璃、石膏及一些陶瓷）存在问题：无法解释石料等受压开裂的原因（σ01可通过单向拉伸实验测得：即：σ01=σb

脆性材料:（二）最大伸长线应变理论：认为最大伸长线应变是引起材料断裂破坏（失效）的原因。即不论是复杂应力状态还是单向应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到材料最大伸长线应变的极限值ε01,材料便断裂∴破坏条件：又：∴破坏条件可写成：∴强度条件：适用范围：（1）石头、砼等受压（非三向）（2）铸铁等脆性材料处于两向（一拉一压）应力状态且压应力较大σb（三）最大切应力理论：认为材料屈服破坏是由最大切应力引起。不论是简单亦或复杂应力状态，只要最大切应力τmax达到材料的切应力极限值τ0max,材料便破坏。τσσsτs=σs/2τ0max可通过单向拉伸实验测得：τ0max=τs破坏条件：又：∴破坏条件可写成：强度条件：最大切应力理论适用范围：因其针对屈服破坏，故较广泛地用于塑性材料最大切应力理论缺点：未反映σ2对强度的影响，所以有10%—15%的偏差，但偏于安全（四）畸变能密度理论：认为材料屈服破坏是由畸变能密度引起，不论简单还是复杂应力状态，只要畸变能密度vd达到材料的畸变能密度极限值v0d，材料便破坏.破坏条件：vd

=v0d而：∴破坏条件可写成：强度条件：与最大切应力理论相比，精度更高可通过单向拉伸实验测得v0d,实验中材料屈服时的vd即为v0d,σs二、强度理论的统一形式：——相当应力，或计算应力.最大拉应力理论：第一强度理论最大伸长线应变理论：第二强度理论最大切应力理论：第三强度理论畸变能密度理论：第四强度理论二、各强度理论的适用范围：一般情况塑性材料——屈服破坏;特殊情况无论塑、脆性材料，用第三、四强度理论三向受拉无论塑、脆性材料，用第一、二强度理论用：最大拉应力理论最大伸长线应变理论用：最大切应力理论畸变能密度理论三向受压脆性材料——断裂破坏;σ1σ3σ2xzyσmax点，位于Mmax截面上下边缘点，处于单向应力状态τmax点，位于FSmax截面中性轴处，处于纯剪切应力状态σ、τ均较大的点，一般平面应力状态（前两个也是平面应力状态）第一类第三类第二类CBAyxFPyxMzxFs例：矩形截面梁危险点强度计算讨论三类危险点的主应力计算：σmax点：（1）σmaxτmax点：（2）τmaxτmax对于既有正应力又有切应力作用的危险点