华北理工刘鸿文材料力学课件第13章 能量原理

第十三章能量原理在位移分析中的应用§10-1基本概念§10-2互等定理§10-3应用于弹性杆件的虚位移原理第十三章能量方法§13—1概述线性：FdΔΔΔFFΔF一、轴向拉（压）；而或：应变能密度：dXFN（X）PΔΔFX（13.3)（13.2)§13-2杆件应变能的计算

（13.4)二、扭转；外力功；而：或：MeφMeMedX（13.7)（13.6)三、纯剪切：τγ（13.5)xzyγxzydydzdx四、弯曲:(FS的影响略去)内力与变形仍成正比FSFSMz（X）Mz（X）+dMz（X）zdXXMz（X）Mz（X）+dMz（X）dθ（13.8)同理，存在My（x）有：若Mz或My为常量（纯弯曲）或：z主轴平面yx综上：变形能表达式可统一为：F-------广义力δ-------与F对应的广义位移力力偶线位移角位移公式适用范围：(1)载荷由0加至最终值；（2）在线性范围内。（13.9)一、Vε

的普遍表达式：§13-3变形能的普遍表达式∵Vε

与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关∴设F1…Fn按相同比例由0分别加至各自最终值。则：各载荷与相应位移保持线性关系δ1FδF1FnF3F2δ1δ2δ3δn（10.12)（13.8)杆上同时存在FN、My、Mz、T：即微段杆变形：有：xdxdxyxz二、组合变形杆件的Vε：①小变形，②线弹性范围，③无刚体位移（约束反力不作功）公式适用范围：组合变形杆件：一、功的互等定理数学表达式：A在引起的位移在引起的上作的功.上作的功等于位移AA§13-4互等定理由①式=②式得：功的互等定理的证明：A先加FPi：A先加FPj：—①—②二、位移互等定理若则i点处载荷在j点处引起的位移等于j点处等大载荷在i点处引起的位移三、适用范围小变形条件下的线弹性问题AAA一、虚位移概念：§13—6虚功原理虚位移满足边界条件满足连续性条件微小变形※可与载荷作用下的真实位移无关※可是载荷作用下的真实位移的增量※可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移.结构在原有载荷作用下平衡，再发生的位移称为虚位移。A两梁除载荷外其它条件均相同：Pqw1(x)w2(x)δw=w1(x)可把看成第二梁的虚位移在载荷作用下分别产生位移二、虚功原理表述给处于平衡状态的弹性体一微小虚位移，则外力在虚位移上所作虚功δWe等于内力在相应的虚变形上所作虚功δWi。数学表达式：δWe=δWi。弹性体平衡A以图示梁为例，写出虚功原理的具体表达式：略去FS的影响:非线性条件也适用A……dθMz（X）Mz（X）+dMz（X）以图示梁为例（略去FS影响）：视F1······Fn引起的位移，如dθ，fc等为虚位移据虚功原理：莫尔积分线弹性范围内小变形杆A……BCfCdXXdθABCfC视F0=1为梁载荷，对应的内力：§13—7单位载荷法莫尔积分一、单位载荷法推导：注意：3、所加单位力必须与所求位移对应，且求得结果为正，意即所求位移与单位力同方向。A……BCABC1、写时，坐标系必须一致；正负号规定必须一致；2、二、单位载荷法实例：ADBmC解：一、写二、加如图:三、写例：求图示梁D截面挠度。ABF0=1x1x2x1x2四、积分：ADBmABF0=1x1x2x1x2解：一、写二、加单位力如图三、求A截面垂直位移四、加单位力偶如图五、求B截面转角例、利用莫尔积分求结构任意两点间的相对位移4、进行莫尔积分。1、写载荷作用下的内力方程；2、在所求位移处，沿所求位移方向加一对单位力；3、写出一对单位力共同作用下的内力方程；ABCABCq11解：一、给杆件编号并求各杆轴力二、加一对单位力如图并求各杆轴力三、求A、C间相对位移解：一、写出内力方程二、加单位力如图三、求张开量EI为已知。ACBLLF解：一、取静定基本系统如图二、变形协调方程：①例：求图示梁θc。R三、求静定系统1、写静定系统载荷下M（x）：BC：AB：ACBLLF12、加CA：RC3、求②3、四、求多余未知力R：由①：ACBLLF1RCB：③BA：五、求1、写出M（x）：ACBLLFRF12、写出（x）：④由式③、④

ACBLLFRF1而ωdxxxcαM(x)cyxx§13-8计算莫尔积分的图乘法

（13.25)图乘法推导例：求解：（一）作载荷作用下的M图（二）加（三）作图（四）求LCAPMPL+xLCA1L+x正表示与单位力作用方向一致解：或：例：求图示梁的跨中挠度qABL/2L/2M+qL2/81L/4+bh（二）写载荷作用下的内力方程解：AC梁：BD杆：习题13-16图示简易吊车吊重P=2.83kN.撑杆AC长为2m，截面I=8.53*106mm4。拉杆BD的横截面面积为600mm2如撑杆只考虑弯曲的影响，试求C点的垂直位移，设E=200GN/m2。（三）加（一）对AC梁、BD杆进行受力分析由AC受三力平衡易求得：Rx1x211BD杆：（五）求fc:（四）作用下内力方程写x1x2x1x2（一）写载荷作用下的内力方程解：FC梁：FD杆：HF杆：FpxNFD600NHF1例：图示结构，均已知，求C截面垂直位移fc（二）加600EAEIEAHDBFpaaaFC（三）写作用下内力方程FC梁：FD杆：FpxNFD600NHF1600EAEIEAHDBFpaaaFCHF杆：（四）求C截面垂直位移fc600EAEIEAHDBFpaaaFC10.18(a)刚架各部分的EI相等，试