华北理工杨梅材料力学课件03平面图形的几何性质

第3章平面图形的几何性质

(Geometricalpropertiesofplanegraph)§3.0

本章导读§3.1

一次矩（静矩与形心）§3.2

二次矩（惯性矩和极惯性矩）§3.3

平行移轴公式（组合截面的二次矩）§3.4

主惯性轴第3章作业本章导读在计算杆件的应力和变形时，需要用到杆件横截面的几何性质。例如，第2章在对拉压杆的计算时要用到面积A，同样在计算圆轴扭转的应力和变形时将用到极惯性矩Ip，在计算梁的弯曲应力和变形时将用到一次矩Sz、惯性矩Iz等截面性质。教学的基本要求：正确理解静矩、惯性矩、极惯性矩、主惯性轴的概念并结合平行移轴公式和转轴公式可熟练计算这些物理量。教学内容的重点：静矩、惯性矩、极惯性矩的计算，平移轴公式的应用。教学内容的难点：平移和旋转轴的变换公式及在计算截面特性参数中的综合应用。授课学时：2学时+1学时*内容：静矩和形心；惯性矩；惯性积；平行移轴和旋转轴定理。§3.1一次矩3.1.0

回顾3.1.1

静矩(Staticmoment)

3.1.2

形心拉压正应力（第2章）扭转切应力（第4章）弯曲正应力（第6章）背景：应力的计算通常要用到构件截面的几何特性参数，例如：RETURN3.1.0回顾dAyzzy——称为图形对于z轴和y轴的静矩RETURN3.1.1

静矩(Staticalmoment)图3.1a3.1.2形心dAyzzy讨论（见下页）1、坐标轴2、正负3、量纲4、轴过形心5、叠加原理利用静力学力矩定理（理论力学），可得平面图形的形心坐标：NEXT讨论

同一截面对不同轴的一次矩是不同的。

一次矩可能为正,也可能为负。截面一次矩的单位是mm^3。当某轴通过截面形心时，则截面对该轴一次矩为零反之若截面对某轴的一次矩为零，则该轴必通过形心叠加原理。讨论1、坐标轴2、正负3、量纲4、轴过形心5、叠加原理dAyzzyNEXT特例1：对称图形形心的位置有一个对称轴形心C位于该轴上zCynext图3.1b有两个对称轴两个对称轴的交点就是形心C的位置yzC特例2：对称图形形心的位置next图3.1cCyz对某点对称（中心对称）形心C位于对称中心特例3：中心对称next图3.1d由n个规则形状组成的图形zCyyz组合（复合）图形的形心nextRETURNP7例3.1

试确定下图的形心。解：组合图形，用正、负面积法解之解法1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图4-4a801101010yzC2图3.2aC1C1(0,0)C2(-35,60)next解法2、用负面积法求解，图形分割及坐标如图4-4b图3.2bC1（0，0）C2（40-35，60-55）C2负面积C1yz406011070RETURN注：正、负面积法y坐标相差55mm，而55-20.3=34.7§3.2二次矩3.2.1

惯性矩(Momentofinertia)3.2.2

惯性半径3.2.3

极惯性矩3.2.4惯性积3.2.5

举例3.2.1惯性矩—绕Z轴的惯性矩—绕Y轴的惯性矩讨论：1）正负、量纲、坐标轴2）惯性矩叠加原理RETURN图3.3adAyzzyr3.2.2惯性半径—绕Z轴的惯性半径—绕Y轴的惯性半径RETURN图3.3bdAyzzyr3.2.3极惯性矩dAyzzyr——是面积对极点的二次矩RETURN3.2.4惯性积dAyzzyrRETURN(1)截面关于互相垂直两轴惯性矩之和为极惯性矩Ip;(2)惯性矩Iy、Iz

及极惯性矩Ip恒为正值;(3)惯性积Iyz可正、可负也可为零，当y、z轴中有一个为对称轴时，Iyz

=0。例3.2

计算矩形截面关于形心对称轴x、y的惯性矩Ix、Iy

和惯性半径ix、iy。解:

取平行于x轴的狭长矩形计算微面积dA，即dA

=

bdy。截面二次矩和惯性半径next3.2.5举例图3.4根据惯性矩Ix及惯性半径ix

的定义，有根据对偶性，可知截面二次矩和惯性半径returnNext圆例3.3

计算圆形截面对形心轴x、y

的惯性矩Ix、Iy

和惯性半径ix、iy

及关于圆心O的极惯性矩Ip。解:取平行于x

轴的狭长矩形计算微面积dA，即截面二次矩和惯性半径next图3.5圆形截面关于x轴的惯性矩根据对称性，可知惯性半径为:截面二次矩和惯性半径注意到Ip=Ix+Iy，有：next

也可按计算极惯性矩，取狭窄圆环计算微面积dA，即与前面结果一致截面二次矩和惯性半径next——质点Newton定律对于平面图形，当密度取单位值时，dm=dA，此时转动惯量就等于极惯性矩

关于极惯性矩的含义理解——J

是什么？

J为转动惯量（Rotationalinertia）：return§3.3平行移轴公式dAxyyxr与转动惯量的平行移轴定理类似以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图abCxCyC1、C点必须为形心2、a、b要考虑正负号。—平行移轴公式NEXT例图3.8例3.6：计算组合截面的二次矩矩形1矩形2已知组合截面尺寸：计算截面对轴z的惯性矩bthtx2x1xCC1C2CyCs以（x2,y2)为基准坐标，则NEXT图3.9确定移轴量（ai,bi)矩形1：质心C到x1

轴和y1轴的距离:矩形2：质心C到x

2轴和y2轴的距离:由平行移轴定理：矩形1对xC

轴的惯性矩:矩形2对xC轴的惯性矩:故整个截面对xC轴的惯性矩：bthtx2x1xCC1C2ysCRETURN图3.9§3.4*主惯性轴3.4.1

转轴公式3.4.2

主惯性轴3.4..1

转轴公式再考虑同一截面关于x1Oy1轴系的二次轴矩考虑图示截面

关于xOy

轴系的二次轴矩NEXT图3.10注意到

x1Oy1是由xOy

逆时针转动

角得到的，有

将上式代入前面各式，有NEXT图3.10NEXT用三角学中的倍角公式对以上各式进行改造，有此即为坐标旋转时，截面二次矩的变换公式。仔细分析可知:

上式中的第二式是第一式又逆时针转过90

的结果,因而三个式子实际上只有两个独立的公式：一个是惯性矩的转轴公式，另一个是惯性积的转轴公式，即第三式。NEXT

结论2.研究极值，=0给出关于式（3.8a)—(3.8c)的讨论(e)

上式也恰为Ix1y1=0的条件结论1.上式表明，在坐标旋转时截面的二次轴矩均是关于转角

的、以180

为周期的周期函数。NEXT惯性矩Ix1的极值坐标系x0Oy0相对于xOy坐标系的逆时针转角

0可由下式计算：(3.9)结论3.

截面关于互相垂直两轴的惯性矩之和为常量。此规律常用来检查某些计算结果的正确性。RETURN由式（3.9）可解出相差90

的两个解：

0和

0＋90，从而可确定一对坐标轴x0和y0。x0Oy0称为主惯性轴系，如果O是截面的形心，x0Oy0

称为形心主惯性轴系。截面对此轴系应有：①惯性积4.5.2主惯性轴②惯性矩式（3.10）确定的惯性矩称为主惯性矩，如果O是形心，则Imax、Imin又称为形心主惯性矩。(3.10)NEXT注：(1)利用式（3.10）计算极值惯性矩Imax和Imin时，计算结果和

0或

0＋90的对应关系不清楚。因而作者并不推荐读者使用式（3.10），而建议将式（3.9）解出的

0和

0＋90直接代入式（3.8）计算极值惯性矩，以便明确极值惯性矩与轴的对应关系。(2)若xoy

轴系中有一个轴是截面的对称轴，则截面

关于xy

轴的惯性积Ixy=0，则x轴和y轴一定是截面的主惯性轴。主惯性轴NEXT例3.7

试确定图示截面的形心主惯轴的位置，并计算形心主惯性矩。解:图示截面具有反对称性，反对称中心为C，因而C

即为截面的形心。将图示截面分为三个矩形截面。取图示xCy

坐标轴为计算参考轴系，三个矩形截面关于

xCy

轴系的二次轴矩为:NEXT图3.11矩形①

矩形②NEXT矩形③:矩形③和矩形①关于

x、y轴反对称，有整个截面对

xCy

轴系的二次轴矩为NEXT将以上数据代入式（4-10），有解出

0的两个解是